Theorem abbidv 2358

Description: Equivalent wff's yield equal class abstractions (deduction form). (Contributed by NM, 10-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
abbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
abbidv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∣ 𝜒})

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem abbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		abbidv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	1, 2	abbid 2355	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∣ 𝜒})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402  {cab 2224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231

This theorem is used by:  rabbidva2  2805  cdeqab  3041  sbceqbid  3058  csbeq1  3150  sbcel12g  3162  sbceqg  3163  csbeq2  3171  csbeq2d  3172  csbnestgf  3200  csbprc  3572  ifbi  3661  pweq  3691  sneq  3720  csbsng  3770  rabsn  3776  dfopg  3902  opeq1  3904  opeq2  3905  csbunig  3943  unieq  3944  inteq  3973  iineq1  4026  iineq2  4029  dfiin2g  4045  iinrabm  4075  iinxprg  4087  opabbid  4197  dcextest  4730  csbxpg  4858  csbdmg  4977  imasng  5155  csbrng  5252  iotaeq  5349  iotabi  5350  dfimafn  5754  fnsnfv  5765  fndmin  5819  dfimafnf  5958  fliftf  6008  oprabbid  6144  recseq  6582  freceq1  6668  freceq2  6669  frec0g  6673  freccllem  6678  frecfcllem  6680  frecsuclem  6682  frecsuc  6683  qseq1  6862  qseq2  6863  qsinxp  6890  mapvalg  6937  ixpsnval  6989  ixpeq1  6997  snexxph  7274  fival  7310  acneq  7565  prplnqu  7994  cauappcvgprlemlim  8035  caucvgprprlemell  8059  caucvgprprlemelu  8060  caucvgprprlemcbv  8061  caucvgprprlemval  8062  caucvgprprlemnkeqj  8064  caucvgprprlemml  8068  caucvgprprlemmu  8069  caucvgprprlemopl  8071  caucvgprprlemlol  8072  caucvgprprlemopu  8073  caucvgprprlemloc  8077  caucvgprprlemclphr  8079  caucvgprprlemexbt  8080  caucvgprprlem1  8083  caucvgprprlem2  8084  caucvgsr  8176  pitonnlem2  8221  pitonn  8222  recidpipr  8230  nntopi  8268  axcaucvglemval  8271  hashf1lem2  11308  hashf1  11309  hashfac  11310  csbwrdg  11356  shftlem  11603  shftfibg  11607  shftdm  11609  shftfib  11610  negfi  12017  tgval  13675  ptex  13677  eqglact  14087  isghm  14105  ixpsnbasval  14912  plyval  15991  vtxdfifiun  16776