Theorem abbidv 2284

Description: Equivalent wff's yield equal class abstractions (deduction form). (Contributed by NM, 10-Aug-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
abbidv.1	⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
abbidv	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∣ 𝜒})

Distinct variable group:   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑥)

Proof of Theorem abbidv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1516	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		abbidv.1	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ 𝜒))
3	1, 2	abbid 2283	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∣ 𝜒})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1343  {cab 2151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158

This theorem is referenced by:  rabbidva2  2713  cdeqab  2941  csbeq1  3048  sbcel12g  3060  sbceqg  3061  csbeq2  3069  csbeq2d  3070  csbnestgf  3097  csbprc  3454  ifbi  3540  pweq  3562  sneq  3587  csbsng  3637  rabsn  3643  dfopg  3756  opeq1  3758  opeq2  3759  csbunig  3797  unieq  3798  inteq  3827  iineq1  3880  iineq2  3883  dfiin2g  3899  iinrabm  3928  iinxprg  3940  opabbid  4047  dcextest  4558  csbxpg  4685  csbdmg  4798  imasng  4969  csbrng  5065  iotaeq  5161  iotabi  5162  dfimafn  5535  fnsnfv  5545  fndmin  5592  fliftf  5767  oprabbid  5895  recseq  6274  freceq1  6360  freceq2  6361  frec0g  6365  freccllem  6370  frecfcllem  6372  frecsuclem  6374  frecsuc  6375  qseq1  6549  qseq2  6550  qsinxp  6577  mapvalg  6624  ixpsnval  6667  ixpeq1  6675  snexxph  6915  fival  6935  prplnqu  7561  cauappcvgprlemlim  7602  caucvgprprlemell  7626  caucvgprprlemelu  7627  caucvgprprlemcbv  7628  caucvgprprlemval  7629  caucvgprprlemnkeqj  7631  caucvgprprlemml  7635  caucvgprprlemmu  7636  caucvgprprlemopl  7638  caucvgprprlemlol  7639  caucvgprprlemopu  7640  caucvgprprlemloc  7644  caucvgprprlemclphr  7646  caucvgprprlemexbt  7647  caucvgprprlem1  7650  caucvgprprlem2  7651  caucvgsr  7743  pitonnlem2  7788  pitonn  7789  recidpipr  7797  nntopi  7835  axcaucvglemval  7838  shftlem  10758  shftfibg  10762  shftdm  10764  shftfib  10765  negfi  11169  tgval  12689