Theorem tridceq 16167

Description: Real trichotomy implies decidability of real number equality. Or in other words, analytic LPO implies analytic WLPO (see trilpo 16154 and redcwlpo 16166). Thus, this is an analytic analogue to lpowlpo 7291. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
tridceq	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem tridceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltne 8187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝑦) → 𝑦 ≠ 𝑥)
2	1	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < 𝑦 → 𝑦 ≠ 𝑥))
3	2	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → 𝑦 ≠ 𝑥))
4		olc 713	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 ≠ 𝑦))
5		necom 2461	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 ↔ 𝑥 ≠ 𝑦)
6		dcne 2388	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 ≠ 𝑦))
7	4, 5, 6	3imtr4i 201	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ≠ 𝑥 → DECID 𝑥 = 𝑦)
8	3, 7	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 → DECID 𝑥 = 𝑦))
9		orc 714	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 ≠ 𝑦))
10	9, 6	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → DECID 𝑥 = 𝑦)
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = 𝑦 → DECID 𝑥 = 𝑦))
12		ltne 8187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
13	12	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
14	13	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝑥 ≠ 𝑦))
15	4, 6	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → DECID 𝑥 = 𝑦)
16	14, 15	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥 → DECID 𝑥 = 𝑦))
17	8, 11, 16	3jaod 1317	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → DECID 𝑥 = 𝑦))
18	17	ralimdva 2574	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦))
19	18	ralimia 2568	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 710  DECID wdc 836   ∨ w3o 980   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∀wral 2485   class class class wbr 4054  ℝcr 7954   < clt 8137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-pre-ltirr 8067

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-br 4055  df-opab 4117  df-xp 4694  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-ltxr 8142

This theorem is referenced by:  dcapnconstALT  16173