Theorem dcapnconstALT 14972

Description: Decidability of real number apartness implies the existence of a certain non-constant function from real numbers to integers. A proof of dcapnconst 14971 by means of dceqnconst 14970. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dcapnconstALT	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓

Proof of Theorem dcapnconstALT

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tridceq 14966	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑦 = 𝑧)
2		reap0 14968	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0)
3		redc0 14967	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑦 = 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0)
4	1, 2, 3	3imtr3i 200	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0)
5		dceqnconst 14970	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))
6	4, 5	syl 14	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 834   ∨ w3o 977   ∧ w3a 978   = wceq 1353  ∃wex 1492   ≠ wne 2347  ∀wral 2455   class class class wbr 4005  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  ℝcr 7813  0cc0 7814   < clt 7995   # cap 8541  ℤcz 9256  ℝ⁺crp 9656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-inn 8923  df-z 9257  df-rp 9657

This theorem is referenced by: (None)