Theorem dcapnconstALT 16734

Description: Decidability of real number apartness implies the existence of a certain non-constant function from real numbers to integers. A proof of dcapnconst 16733 by means of dceqnconst 16732. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dcapnconstALT	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓

Proof of Theorem dcapnconstALT

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tridceq 16728	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑦 = 𝑧)
2		reap0 16730	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0)
3		redc0 16729	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑦 = 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0)
4	1, 2, 3	3imtr3i 200	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0)
5		dceqnconst 16732	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))
6	4, 5	syl 14	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 841   ∨ w3o 1003   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ≠ wne 2401  ∀wral 2509   class class class wbr 4089  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  ℝcr 8036  0cc0 8037   < clt 8219   # cap 8766  ℤcz 9484  ℝ⁺crp 9893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-inn 9149  df-z 9485  df-rp 9894

This theorem is referenced by: (None)