Theorem dcapnconstALT 15194

Description: Decidability of real number apartness implies the existence of a certain non-constant function from real numbers to integers. A proof of dcapnconst 15193 by means of dceqnconst 15192. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dcapnconstALT	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓

Proof of Theorem dcapnconstALT

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tridceq 15188	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑦 = 𝑧)
2		reap0 15190	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0)
3		redc0 15189	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑦 = 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0)
4	1, 2, 3	3imtr3i 200	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0)
5		dceqnconst 15192	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))
6	4, 5	syl 14	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 835   ∨ w3o 978   ∧ w3a 979   = wceq 1363  ∃wex 1502   ≠ wne 2359  ∀wral 2467   class class class wbr 4017  ⟶wf 5226  ‘cfv 5230  ℝcr 7827  0cc0 7828   < clt 8009   # cap 8555  ℤcz 9270  ℝ⁺crp 9670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1cn 7921  ax-1re 7922  ax-icn 7923  ax-addcl 7924  ax-addrcl 7925  ax-mulcl 7926  ax-mulrcl 7927  ax-addcom 7928  ax-mulcom 7929  ax-addass 7930  ax-mulass 7931  ax-distr 7932  ax-i2m1 7933  ax-0lt1 7934  ax-1rid 7935  ax-0id 7936  ax-rnegex 7937  ax-precex 7938  ax-cnre 7939  ax-pre-ltirr 7940  ax-pre-ltwlin 7941  ax-pre-lttrn 7942  ax-pre-apti 7943  ax-pre-ltadd 7944  ax-pre-mulgt0 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-nel 2455  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-if 3549  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-riota 5846  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-pnf 8011  df-mnf 8012  df-xr 8013  df-ltxr 8014  df-le 8015  df-sub 8147  df-neg 8148  df-reap 8549  df-ap 8556  df-inn 8937  df-z 9271  df-rp 9671

This theorem is referenced by: (None)