Theorem dcapnconstALT 16897

Description: Decidability of real number apartness implies the existence of a certain non-constant function from real numbers to integers. A proof of dcapnconst 16896 by means of dceqnconst 16895. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Jul-2024.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dcapnconstALT	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Distinct variable group:   𝑥,𝑓

Proof of Theorem dcapnconstALT

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tridceq 16890	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑦 = 𝑧)
2		reap0 16892	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑧 ∨ 𝑦 = 𝑧 ∨ 𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0)
3		redc0 16891	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑦 = 𝑧 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0)
4	1, 2, 3	3imtr3i 200	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0)
5		dceqnconst 16895	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))
6	4, 5	syl 14	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ DECID 𝑥 # 0 → ∃𝑓(𝑓:ℝ⟶ℤ ∧ (𝑓‘0) = 0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑓‘𝑥) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4  DECID wdc 842   ∨ w3o 1004   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ≠ wne 2414  ∀wral 2522   class class class wbr 4111  ⟶wf 5350  ‘cfv 5354  ℝcr 8131  0cc0 8132   < clt 8313   # cap 8860  ℤcz 9582  ℝ⁺crp 9992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-ap 8861  df-inn 9243  df-z 9583  df-rp 9993

This theorem is referenced by: (None)