Theorem redc0 13599

Description: Two ways to express decidability of real number equality. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
redc0	⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem redc0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7872	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		eqeq1 2164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 𝑦))
3	2	dcbid 824	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝑧 = 𝑦))
4		eqeq2 2167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑧 = 𝑦 ↔ 𝑧 = 0))
5	4	dcbid 824	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0 → (DECID 𝑧 = 𝑦 ↔ DECID 𝑧 = 0))
6	3, 5	rspc2v 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦 → DECID 𝑧 = 0))
7	1, 6	mpan2 422	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦 → DECID 𝑧 = 0))
8	7	impcom 124	. . 3 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦 ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → DECID 𝑧 = 0)
9	8	ralrimiva 2530	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦 → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0)
10		eqeq1 2164	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (𝑧 = 0 ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
11	10	dcbid 824	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑥 − 𝑦) → (DECID 𝑧 = 0 ↔ DECID (𝑥 − 𝑦) = 0))
12		simpl 108	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0)
13		resubcl 8133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
14	13	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
15	11, 12, 14	rspcdva 2821	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID (𝑥 − 𝑦) = 0)
16		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
17	16	recnd 7900	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
19	18	recnd 7900	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
20	17, 19	subeq0ad 8190	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
21	20	dcbid 824	. . . 4 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (DECID (𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ DECID 𝑥 = 𝑦))
22	15, 21	mpbid 146	. . 3 ⊢ ((∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → DECID 𝑥 = 𝑦)
23	22	ralrimivva 2539	. 2 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦)
24	9, 23	impbii 125	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ DECID 𝑧 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  (class class class)co 5821  ℝcr 7725  0cc0 7726   − cmin 8040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-setind 4495  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-sub 8042  df-neg 8043

This theorem is referenced by:  dcapnconstALT  13603