Theorem vtxdg0v 16053

Description: The degree of a vertex in the null graph is zero (or anything else), because there are no vertices. (Contributed by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
vtxdg0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vtxdg0v	⊢ ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxdg0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdg0v.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	eleq2i 2296	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺))
3		fveq2 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘∅))
4		vtxval0 15869	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘∅) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2278	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = ∅)
6	5	eleq2d 2299	. . . 4 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑈 ∈ ∅))
7	2, 6	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ 𝑉 ↔ 𝑈 ∈ ∅))
8		noel 3495	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑈 ∈ ∅
9	8	pm2.21i 649	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ ∅ → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)
10	7, 9	biimtrdi 163	. 2 ⊢ (𝐺 = ∅ → (𝑈 ∈ 𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0))
11	10	imp 124	1 ⊢ ((𝐺 = ∅ ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∅c0 3491  ‘cfv 5318  0cc0 8010  Vtxcvtx 15828  VtxDegcvtxdg 16045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1re 8104  ax-addrcl 8107

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fo 5324  df-fv 5326  df-1st 6292  df-inn 9122  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-vtx 15830

This theorem is referenced by: (None)