Theorem vtxdgfi0e 16054

Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. This is the base case for the induction for calculating the degree of a vertex, for example in a Königsberg graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdg0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdg0e.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfi0e.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdgfi0e.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = ∅)
vtxdgfi0e.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfi0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfi0e	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxdgfi0e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdg0v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdg0e.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ dom 𝐼 = dom 𝐼
4		vtxdgfi0e.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ∅)
5	4	dmeqd 4925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = dom ∅)
6		dm0 4937	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = ∅)
8		0fi 7054	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2320	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
10		vtxdgfi0e.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
11		vtxdgfi0e.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vtxdgfi0e.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
13	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12	vtxdgfifival 16050	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
14	7	rabeqdv 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)})
15		rab0 3520	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = ∅)
17	16	fveq2d 5633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) = (♯‘∅))
18		hash0 11030	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) = 0)
20	7	rabeqdv 2793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})
21		rab0 3520	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅
22	20, 21	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
23	22	fveq2d 5633	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
24	23, 18	eqtrdi 2278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
25	19, 24	oveq12d 6025	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = (0 + 0))
26		00id 8298	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = 0)
28	13, 27	eqtrd 2262	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  ∅c0 3491  {csn 3666  dom cdm 4719  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895  0cc0 8010   + caddc 8013  ♯chash 11009  Vtxcvtx 15828  iEdgciedg 15829  UPGraphcupgr 15906  VtxDegcvtxdg 16045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-xadd 9981  df-fz 10217  df-ihash 11010  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-vtx 15830  df-iedg 15831  df-upgren 15908  df-vtxdg 16046

This theorem is referenced by: (None)