Theorem vtxdgfi0e 16219

Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. This is the base case for the induction for calculating the degree of a vertex, for example in a Königsberg graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdg0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdg0e.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfi0e.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdgfi0e.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = ∅)
vtxdgfi0e.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfi0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfi0e	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxdgfi0e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdg0v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdg0e.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ dom 𝐼 = dom 𝐼
4		vtxdgfi0e.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ∅)
5	4	dmeqd 4939	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = dom ∅)
6		dm0 4951	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = ∅)
8		0fi 7116	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2322	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
10		vtxdgfi0e.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
11		vtxdgfi0e.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vtxdgfi0e.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
13	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12	vtxdgfifival 16215	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
14	7	rabeqdv 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)})
15		rab0 3525	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = ∅)
17	16	fveq2d 5652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) = (♯‘∅))
18		hash0 11104	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) = 0)
20	7	rabeqdv 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})
21		rab0 3525	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅
22	20, 21	eqtrdi 2280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
23	22	fveq2d 5652	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
24	23, 18	eqtrdi 2280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
25	19, 24	oveq12d 6046	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = (0 + 0))
26		00id 8362	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2280	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = 0)
28	13, 27	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  {crab 2515  ∅c0 3496  {csn 3673  dom cdm 4731  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  0cc0 8075   + caddc 8078  ♯chash 11083  Vtxcvtx 15936  iEdgciedg 15937  UPGraphcupgr 16015  VtxDegcvtxdg 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-9 9251  df-n0 9445  df-z 9524  df-dec 9656  df-uz 9800  df-xadd 10052  df-fz 10289  df-ihash 11084  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-edgf 15929  df-vtx 15938  df-iedg 15939  df-upgren 16017  df-vtxdg 16211

This theorem is referenced by:  eupth2lembfi  16401  konigsberglem1  16412  konigsberglem2  16413  konigsberglem3  16414