Theorem vtxdgfi0e 16741

Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. This is the base case for the induction for calculating the degree of a vertex, for example in a Königsberg graph. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdg0v.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdg0e.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfi0e.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
vtxdgfi0e.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 = ∅)
vtxdgfi0e.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfi0e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfi0e	⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vtxdgfi0e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdg0v.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdg0e.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ dom 𝐼 = dom 𝐼
4		vtxdgfi0e.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = ∅)
5	4	dmeqd 4985	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = dom ∅)
6		dm0 4997	. . . . 5 ⊢ dom ∅ = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 = ∅)
8		0fi 7192	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Fin
9	7, 8	eqeltrdi 2329	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐼 ∈ Fin)
10		vtxdgfi0e.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
11		vtxdgfi0e.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
12		vtxdgfi0e.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
13	1, 2, 3, 9, 10, 11, 12	vtxdgfifival 16737	. 2 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})))
14	7	rabeqdv 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)})
15		rab0 3551	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = ∅
16	14, 15	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)} = ∅)
17	16	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) = (♯‘∅))
18		hash0 11257	. . . . 5 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) = 0)
20	7	rabeqdv 2815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = {𝑥 ∈ ∅ ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})
21		rab0 3551	. . . . . . 7 ⊢ {𝑥 ∈ ∅ ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅
22	20, 21	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
23	22	fveq2d 5702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = (♯‘∅))
24	23, 18	eqtrdi 2287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
25	19, 24	oveq12d 6106	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = (0 + 0))
26		00id 8474	. . 3 ⊢ (0 + 0) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2287	. 2 ⊢ (𝜑 → ((♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ 𝑈 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ dom 𝐼 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}})) = 0)
28	13, 27	eqtrd 2271	1 ⊢ (𝜑 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532  ∅c0 3520  {csn 3709  dom cdm 4776  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  0cc0 8185   + caddc 8188  ♯chash 11236  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  UPGraphcupgr 16537  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-xadd 10192  df-fz 10429  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-upgren 16539  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  eupth2lembfi  16923  konigsberglem1  16934  konigsberglem2  16935  konigsberglem3  16936