Theorem vtxdgfif 16414

Description: In a finite graph, the vertex degree function is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgfif.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfif.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdgfif.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdgfif.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfif.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfif	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfif

Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfif.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		vtxdgf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vtxdgfif.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vtxdgfif.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
5	2, 3, 4	vtxdgfval 16409	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}))))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}))))
7		vtxdgfif.afi	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
9		vtxdgfif.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
12	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UPGraph)
13	2, 3, 4, 8, 10, 11, 12	vtxedgfi 16410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
14		hashcl 11169	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 9571	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ)
17	2, 3, 4, 8, 10, 11, 12	vtxlpfi 16411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin)
18		hashcl 11169	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 9571	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ)
21	16, 20	rexaddd 10206	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})))
22	15, 19	nn0addcld 9574	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
23	21, 22	eqeltrd 2311	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
24	6, 23	fmpt3d 5838	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526  {csn 3694   ↦ cmpt 4176  dom cdm 4754  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Fincfn 6988   + caddc 8146  ℕ₀cn0 9513   +_𝑒 cxad 10122  ♯chash 11163  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  UPGraphcupgr 16212  VtxDegcvtxdg 16407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-dec 9728  df-uz 9872  df-xadd 10125  df-ihash 11164  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-upgren 16214  df-vtxdg 16408

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16433  eupth2lem3lem1fi  16589  eupth2lem3lem2fi  16590  konigsberglem5  16613