Theorem vtxdgfif 16288

Description: In a finite graph, the vertex degree function is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgfif.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfif.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdgfif.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdgfif.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfif.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfif	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfif

Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfif.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		vtxdgf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vtxdgfif.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vtxdgfif.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
5	2, 3, 4	vtxdgfval 16283	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}))))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}))))
7		vtxdgfif.afi	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
9		vtxdgfif.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
12	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UPGraph)
13	2, 3, 4, 8, 10, 11, 12	vtxedgfi 16284	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
14		hashcl 11144	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 9554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ)
17	2, 3, 4, 8, 10, 11, 12	vtxlpfi 16285	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin)
18		hashcl 11144	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 9554	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ)
21	16, 20	rexaddd 10187	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})))
22	15, 19	nn0addcld 9557	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
23	21, 22	eqeltrd 2309	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
24	6, 23	fmpt3d 5833	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {crab 2524  {csn 3689   ↦ cmpt 4171  dom cdm 4749  ⟶wf 5348  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Fincfn 6975   + caddc 8130  ℕ₀cn0 9496   +_𝑒 cxad 10103  ♯chash 11138  Vtxcvtx 16007  iEdgciedg 16008  UPGraphcupgr 16086  VtxDegcvtxdg 16281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-2o 6648  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-5 9299  df-6 9300  df-7 9301  df-8 9302  df-9 9303  df-n0 9497  df-z 9578  df-dec 9710  df-uz 9854  df-xadd 10106  df-ihash 11139  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-edgf 16000  df-vtx 16009  df-iedg 16010  df-upgren 16088  df-vtxdg 16282

This theorem is referenced by:  p1evtxdeqfi  16307  eupth2lem3lem1fi  16463  eupth2lem3lem2fi  16464  konigsberglem5  16487