Theorem vtxdgfif 16099

Description: In a finite graph, the vertex degree function is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgfif.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfif.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdgfif.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdgfif.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfif.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfif	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfif

Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfif.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		vtxdgf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vtxdgfif.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vtxdgfif.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
5	2, 3, 4	vtxdgfval 16094	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}))))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}))))
7		vtxdgfif.afi	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
9		vtxdgfif.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
12	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UPGraph)
13	2, 3, 4, 8, 10, 11, 12	vtxedgfi 16095	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
14		hashcl 11033	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 9446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ)
17	2, 3, 4, 8, 10, 11, 12	vtxlpfi 16096	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin)
18		hashcl 11033	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 9446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ)
21	16, 20	rexaddd 10079	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})))
22	15, 19	nn0addcld 9449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
23	21, 22	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
24	6, 23	fmpt3d 5799	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  {csn 3667   ↦ cmpt 4148  dom cdm 4723  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Fincfn 6904   + caddc 8025  ℕ₀cn0 9392   +_𝑒 cxad 9995  ♯chash 11027  Vtxcvtx 15853  iEdgciedg 15854  UPGraphcupgr 15932  VtxDegcvtxdg 16092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-xadd 9998  df-ihash 11028  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-edgf 15846  df-vtx 15855  df-iedg 15856  df-upgren 15934  df-vtxdg 16093

This theorem is referenced by: (None)