Theorem vtxdgfif 16052

Description: In a finite graph, the vertex degree function is a function from vertices to nonnegative integers. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdgf.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdgfif.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdgfif.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
vtxdgfif.afi	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
vtxdgfif.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
vtxdgfif.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)

Assertion

Ref	Expression
vtxdgfif	⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Proof of Theorem vtxdgfif

Dummy variables 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdgfif.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ UPGraph)
2		vtxdgf.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		vtxdgfif.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4		vtxdgfif.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
5	2, 3, 4	vtxdgfval 16047	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}))))
6	1, 5	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺) = (𝑢 ∈ 𝑉 ↦ ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}))))
7		vtxdgfif.afi	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
8	7	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ Fin)
9		vtxdgfif.v	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Fin)
10	9	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
11		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
12	1	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UPGraph)
13	2, 3, 4, 8, 10, 11, 12	vtxedgfi 16048	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin)
14		hashcl 11015	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
15	13, 14	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℕ0)
16	15	nn0red 9434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) ∈ ℝ)
17	2, 3, 4, 8, 10, 11, 12	vtxlpfi 16049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin)
18		hashcl 11015	. . . . . 6 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}} ∈ Fin → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℕ0)
20	19	nn0red 9434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}}) ∈ ℝ)
21	16, 20	rexaddd 10062	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) = ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})))
22	15, 19	nn0addcld 9437	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) + (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
23	21, 22	eqeltrd 2306	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝑢 ∈ (𝐼‘𝑥)}) +𝑒 (♯‘{𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑢}})) ∈ ℕ0)
24	6, 23	fmpt3d 5793	1 ⊢ (𝜑 → (VtxDeg‘𝐺):𝑉⟶ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {crab 2512  {csn 3666   ↦ cmpt 4145  dom cdm 4719  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Fincfn 6895   + caddc 8013  ℕ₀cn0 9380   +_𝑒 cxad 9978  ♯chash 11009  Vtxcvtx 15828  iEdgciedg 15829  UPGraphcupgr 15906  VtxDegcvtxdg 16045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-dec 9590  df-uz 9734  df-xadd 9981  df-ihash 11010  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-edgf 15821  df-vtx 15830  df-iedg 15831  df-upgren 15908  df-vtxdg 16046

This theorem is referenced by: (None)