Theorem 0cld 22923

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 4329	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ ∅) = ∪ 𝐽
2	1	topopn 22791	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3		0ss 4351	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝐽
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5	4	iscld2 22913	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
6	3, 5	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
7	2, 6	mpbird 257	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ∅c0 4284  ∪ cuni 4858  ‘cfv 6482  Topctop 22778  Clsdccld 22901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fv 6490  df-top 22779  df-cld 22904

This theorem is referenced by:  cls0  22965  indiscld  22976  iscldtop  22980  iccordt  23099  isconn2  23299  tgptsmscld  24036  mblfinlem2  37658  mblfinlem3  37659  ismblfin  37661