Theorem 0cld 23267

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 4330	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ ∅) = ∪ 𝐽
2	1	topopn 23135	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝐽
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5	4	iscld2 23257	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
6	3, 5	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
7	2, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6537  Topctop 23122  Clsdccld 23245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-top 23123  df-cld 23248

This theorem is used by:  cls0  23309  indiscld  23320  iscldtop  23324  iccordt  23443  isconn2  23643  tgptsmscld  24381  mblfinlem2  38409  mblfinlem3  38410  ismblfin  38412