Theorem 0cld 23318

Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)

Assertion

Ref	Expression
0cld	⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dif0 4326	. . 3 ⊢ (∪ 𝐽 ∖ ∅) = ∪ 𝐽
2	1	topopn 23186	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ 𝐽
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
5	4	iscld2 23308	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ ∪ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
6	3, 5	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ (∪ 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
7	2, 6	mpbird 260	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  ‘cfv 6527  Topctop 23173  Clsdccld 23296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fv 6535  df-top 23174  df-cld 23299

This theorem is used by:  cls0  23360  indiscld  23371  iscldtop  23375  iccordt  23494  isconn2  23694  tgptsmscld  24432  mblfinlem2  38496  mblfinlem3  38497  ismblfin  38499