MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cld 23062
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 4384 . . 3 ( 𝐽 ∖ ∅) = 𝐽
21topopn 22928 . 2 (𝐽 ∈ Top → ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3 0ss 4406 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
4 eqid 2735 . . . 4 𝐽 = 𝐽
54iscld2 23052 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
63, 5mpan2 691 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
72, 6mpbird 257 1 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2106  cdif 3960  wss 3963  c0 4339   cuni 4912  cfv 6563  Topctop 22915  Clsdccld 23040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-top 22916  df-cld 23043
This theorem is referenced by:  cls0  23104  indiscld  23115  iscldtop  23119  iccordt  23238  isconn2  23438  tgptsmscld  24175  mblfinlem2  37645  mblfinlem3  37646  ismblfin  37648
  Copyright terms: Public domain W3C validator