MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0cld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0cld 23047
Description: The empty set is closed. Part of Theorem 6.1(1) of [Munkres] p. 93. (Contributed by NM, 4-Oct-2006.)
Assertion
Ref Expression
0cld (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem 0cld
StepHypRef Expression
1 dif0 4377 . . 3 ( 𝐽 ∖ ∅) = 𝐽
21topopn 22913 . 2 (𝐽 ∈ Top → ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽)
3 0ss 4399 . . 3 ∅ ⊆ 𝐽
4 eqid 2736 . . . 4 𝐽 = 𝐽
54iscld2 23037 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ⊆ 𝐽) → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
63, 5mpan2 691 . 2 (𝐽 ∈ Top → (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ( 𝐽 ∖ ∅) ∈ 𝐽))
72, 6mpbird 257 1 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2107  cdif 3947  wss 3950  c0 4332   cuni 4906  cfv 6560  Topctop 22900  Clsdccld 23025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-top 22901  df-cld 23028
This theorem is referenced by:  cls0  23089  indiscld  23100  iscldtop  23104  iccordt  23223  isconn2  23423  tgptsmscld  24160  mblfinlem2  37666  mblfinlem3  37667  ismblfin  37669
  Copyright terms: Public domain W3C validator