Theorem cls0 22988

Description: The closure of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cls0	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem cls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cld 22946	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
2		cldcls 22950	. 2 ⊢ (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∅c0 4281  ‘cfv 6477  Topctop 22801  Clsdccld 22924  clsccl 22926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-top 22802  df-cld 22927  df-cls 22929

This theorem is referenced by:  dfac14lem  23525  flimclslem  23892