Theorem cls0 23089

Description: The closure of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cls0	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem cls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cld 23047	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
2		cldcls 23051	. 2 ⊢ (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∅c0 4332  ‘cfv 6560  Topctop 22900  Clsdccld 23025  clsccl 23027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-top 22901  df-cld 23028  df-cls 23030

This theorem is referenced by:  dfac14lem  23626  flimclslem  23993