Theorem cls0 22583

Description: The closure of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cls0	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem cls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cld 22541	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
2		cldcls 22545	. 2 ⊢ (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∅c0 4322  ‘cfv 6543  Topctop 22394  Clsdccld 22519  clsccl 22521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 22395  df-cld 22522  df-cls 22524

This theorem is referenced by:  dfac14lem  23120  flimclslem  23487