Theorem cls0 22983

Description: The closure of the empty set. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Proof shortened by Jim Kingdon, 12-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
cls0	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem cls0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cld 22941	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
2		cldcls 22945	. 2 ⊢ (∅ ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((cls‘𝐽)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4286  ‘cfv 6486  Topctop 22796  Clsdccld 22919  clsccl 22921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-top 22797  df-cld 22922  df-cls 22924

This theorem is referenced by:  dfac14lem  23520  flimclslem  23887