MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccordt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccordt 21390
Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccordt (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))

Proof of Theorem iccordt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 6909 . 2 (𝐴[,]𝐵) = ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 letsr 17581 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
3 ledm 17578 . . . . . . 7 * = dom ≤
43ordtcld3 21375 . . . . . 6 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
52, 4mp3an1 1578 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
65rgen2a 3187 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
7 df-icc 12471 . . . . 5 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
87fmpt2 7501 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )) ↔ [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
96, 8mpbi 222 . . 3 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
10 letop 21382 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
11 0cld 21214 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
139, 12f0cli 6620 . 2 ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
141, 13eqeltri 2903 1 (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386  wcel 2166  wral 3118  {crab 3122  c0 4145  cop 4404   class class class wbr 4874   × cxp 5341  wf 6120  cfv 6124  (class class class)co 6906  *cxr 10391  cle 10393  [,]cicc 12467  ordTopcordt 16513   TosetRel ctsr 17553  Topctop 21069  Clsdccld 21192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fi 8587  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-icc 12471  df-topgen 16458  df-ordt 16515  df-ps 17554  df-tsr 17555  df-top 21070  df-topon 21087  df-bases 21122  df-cld 21195
This theorem is referenced by:  lecldbas  21395
  Copyright terms: Public domain W3C validator