MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccordt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccordt 23238
Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccordt (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))

Proof of Theorem iccordt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7434 . 2 (𝐴[,]𝐵) = ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 letsr 18651 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
3 ledm 18648 . . . . . . 7 * = dom ≤
43ordtcld3 23223 . . . . . 6 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
52, 4mp3an1 1447 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
65rgen2 3197 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
7 df-icc 13391 . . . . 5 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
87fmpo 8092 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )) ↔ [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
96, 8mpbi 230 . . 3 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
10 letop 23230 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
11 0cld 23062 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
139, 12f0cli 7118 . 2 ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
141, 13eqeltri 2835 1 (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  c0 4339  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  *cxr 11292  cle 11294  [,]cicc 13387  ordTopcordt 17546   TosetRel ctsr 18623  Topctop 22915  Clsdccld 23040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-tsr 18625  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043
This theorem is referenced by:  lecldbas  23243  icccldii  48715
  Copyright terms: Public domain W3C validator