MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccordt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccordt 23162
Description: A closed interval is closed in the order topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
iccordt (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))

Proof of Theorem iccordt
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ov 7422 . 2 (𝐴[,]𝐵) = ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2 letsr 18588 . . . . . 6 ≤ ∈ TosetRel
3 ledm 18585 . . . . . . 7 * = dom ≤
43ordtcld3 23147 . . . . . 6 (( ≤ ∈ TosetRel ∧ 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
52, 4mp3an1 1444 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
65rgen2 3187 . . . 4 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
7 df-icc 13366 . . . . 5 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
87fmpo 8073 . . . 4 (∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )) ↔ [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
96, 8mpbi 229 . . 3 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶(Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
10 letop 23154 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ Top
11 0cld 22986 . . . 4 ((ordTop‘ ≤ ) ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ )))
1210, 11ax-mp 5 . . 3 ∅ ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
139, 12f0cli 7107 . 2 ([,]‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
141, 13eqeltri 2821 1 (𝐴[,]𝐵) ∈ (Clsd‘(ordTop‘ ≤ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394  wcel 2098  wral 3050  {crab 3418  c0 4322  cop 4636   class class class wbr 5149   × cxp 5676  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  *cxr 11279  cle 11281  [,]cicc 13362  ordTopcordt 17484   TosetRel ctsr 18560  Topctop 22839  Clsdccld 22964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-icc 13366  df-topgen 17428  df-ordt 17486  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cld 22967
This theorem is referenced by:  lecldbas  23167  icccldii  48120
  Copyright terms: Public domain W3C validator