Theorem tgptsmscld 24319

Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgptsmscls.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tgptsmscls.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptsmscls.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tgptsmscls.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tgptsmscld	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem tgptsmscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptsmscls.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
2		tgptsmscls.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgptsmscls.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tgptopon 24250	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 23081	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
8		0cld 23206	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
10		eleq1 2850	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → ((𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∅ ∈ (Clsd‘𝐽)))
11	9, 10	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
12		n0 4306	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
13		tgptsmscls.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
14	13	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ CMnd)
15	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
16		tgptsmscls.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tgptsmscls.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	18	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	3, 2, 14, 15, 17, 19, 20	tgptsmscls 24318	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{𝑥}))
22		tgptps 24248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
23	1, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
24	3, 13, 23, 16, 18	tsmscl 24303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
25		toponuni 23082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
26	5, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
27	24, 26	sseqtrd 3972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
28	27	sselda 3936	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
29	28	snssd 4751	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
30		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31	30	clscld 23215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
32	7, 29, 31	syl2an2r 697	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
33	21, 32	eqeltrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
34	33	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
35	34	exlimdv 1962	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
36	12, 35	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
37	11, 36	pm2.61dne 3043	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588  ∪ cuni 4871  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  TopOpenctopn 17480  CMndccmn 19856  Topctop 23061  TopOnctopon 23078  TopSpctps 23100  Clsdccld 23184  clsccl 23186  TopGrpctgp 24239   tsums ctsu 24294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-ec 8694  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-plusf 18703  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-eqg 19197  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-fbas 21530  df-fg 21531  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-nei 23266  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-fil 24014  df-fm 24106  df-flim 24107  df-flf 24108  df-tmd 24240  df-tgp 24241  df-tsms 24295

This theorem is used by: (None)