Theorem tgptsmscld 24500

Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgptsmscls.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tgptsmscls.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptsmscls.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tgptsmscls.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tgptsmscld	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem tgptsmscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptsmscls.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
2		tgptsmscls.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgptsmscls.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tgptopon 24431	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 23261	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
8		0cld 23386	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
9	7, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
10		eleq1 2852	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → ((𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∅ ∈ (Clsd‘𝐽)))
11	9, 10	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
12		n0 4303	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
13		tgptsmscls.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ CMnd)
15	1	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
16		tgptsmscls.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tgptsmscls.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	3, 2, 14, 15, 17, 19, 20	tgptsmscls 24499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{𝑥}))
22		tgptps 24429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
23	1, 22	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
24	3, 13, 23, 16, 18	tsmscl 24484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
25		toponuni 23262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
26	5, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
27	24, 26	sseqtrd 3949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
28	27	sselda 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
29	28	snssd 4747	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
30		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31	30	clscld 23395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
32	7, 29, 31	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
33	21, 32	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
34	33	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
35	34	exlimdv 1968	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
36	12, 35	biimtrid 245	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
37	11, 36	pm2.61dne 3045	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588  ∪ cuni 4870  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  TopOpenctopn 17621  CMndccmn 20024  Topctop 23241  TopOnctopon 23258  TopSpctps 23280  Clsdccld 23364  clsccl 23366  TopGrpctgp 24420   tsums ctsu 24475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8877  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-oi 9531  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-hash 14502  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-plusf 18844  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-submnd 19008  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-eqg 19364  df-ghm 19457  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-tmd 24421  df-tgp 24422  df-tsms 24476

This theorem is used by: (None)