Theorem tgptsmscld 24072

Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgptsmscls.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tgptsmscls.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptsmscls.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tgptsmscls.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tgptsmscld	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem tgptsmscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptsmscls.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
2		tgptsmscls.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgptsmscls.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tgptopon 24003	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 22834	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
8		0cld 22959	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
10		eleq1 2816	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → ((𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∅ ∈ (Clsd‘𝐽)))
11	9, 10	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
12		n0 4312	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
13		tgptsmscls.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ CMnd)
15	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
16		tgptsmscls.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tgptsmscls.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	3, 2, 14, 15, 17, 19, 20	tgptsmscls 24071	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{𝑥}))
22		tgptps 24001	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
24	3, 13, 23, 16, 18	tsmscl 24056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
25		toponuni 22835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
27	24, 26	sseqtrd 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
28	27	sselda 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
29	28	snssd 4769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
30		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31	30	clscld 22968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
32	7, 29, 31	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
33	21, 32	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
34	33	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
35	34	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
36	12, 35	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
37	11, 36	pm2.61dne 3011	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ∪ cuni 4867  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156  TopOpenctopn 17361  CMndccmn 19695  Topctop 22814  TopOnctopon 22831  TopSpctps 22853  Clsdccld 22937  clsccl 22939  TopGrpctgp 23992   tsums ctsu 24047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-ec 8650  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-2 12227  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-hash 14274  df-sets 17111  df-slot 17129  df-ndx 17141  df-base 17157  df-ress 17178  df-plusg 17210  df-0g 17381  df-gsum 17382  df-topgen 17383  df-plusf 18549  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-mhm 18693  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-eqg 19040  df-ghm 19128  df-cntz 19232  df-cmn 19697  df-abl 19698  df-fbas 21294  df-fg 21295  df-top 22815  df-topon 22832  df-topsp 22854  df-bases 22867  df-cld 22940  df-ntr 22941  df-cls 22942  df-nei 23019  df-cn 23148  df-cnp 23149  df-tx 23483  df-hmeo 23676  df-fil 23767  df-fm 23859  df-flim 23860  df-flf 23861  df-tmd 23993  df-tgp 23994  df-tsms 24048

This theorem is referenced by: (None)