MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgptsmscld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgptsmscld 23486
Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tgptsmscls.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
tgptsmscls.j 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptsmscls.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a (𝜑𝐴𝑉)
tgptsmscls.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
tgptsmscld (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem tgptsmscld
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgptsmscls.2 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TopGrp)
2 tgptsmscls.j . . . . . . 7 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3 tgptsmscls.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
42, 3tgptopon 23417 . . . . . 6 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6 topontop 22246 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Top)
8 0cld 22373 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
97, 8syl 17 . . 3 (𝜑 → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
10 eleq1 2825 . . 3 ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → ((𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∅ ∈ (Clsd‘𝐽)))
119, 10syl5ibrcom 246 . 2 (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
12 n0 4304 . . 3 ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
13 tgptsmscls.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ CMnd)
151adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
16 tgptsmscls.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐴𝑉)
18 tgptsmscls.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
1918adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐹:𝐴𝐵)
20 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
213, 2, 14, 15, 17, 19, 20tgptsmscls 23485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{𝑥}))
22 tgptps 23415 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
231, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ TopSp)
243, 13, 23, 16, 18tsmscl 23470 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
25 toponuni 22247 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = 𝐽)
265, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐽)
2724, 26sseqtrd 3982 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐽)
2827sselda 3942 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 𝐽)
2928snssd 4767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑥} ⊆ 𝐽)
30 eqid 2736 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
3130clscld 22382 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑥} ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
327, 29, 31syl2an2r 683 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
3321, 32eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
3433ex 413 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
3534exlimdv 1936 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
3612, 35biimtrid 241 . 2 (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
3711, 36pm2.61dne 3029 1 (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2941  wss 3908  c0 4280  {csn 4584   cuni 4863  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  TopOpenctopn 17295  CMndccmn 19553  Topctop 22226  TopOnctopon 22243  TopSpctps 22265  Clsdccld 22351  clsccl 22353  TopGrpctgp 23406   tsums ctsu 23461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-ec 8646  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-hash 14223  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-plusf 18488  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-mhm 18593  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-eqg 18918  df-ghm 18997  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-tmd 23407  df-tgp 23408  df-tsms 23462
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator