Theorem tgptsmscld 23302

Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgptsmscls.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tgptsmscls.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptsmscls.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tgptsmscls.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tgptsmscld	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem tgptsmscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptsmscls.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
2		tgptsmscls.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgptsmscls.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tgptopon 23233	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 22062	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
8		0cld 22189	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
10		eleq1 2826	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → ((𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∅ ∈ (Clsd‘𝐽)))
11	9, 10	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
12		n0 4280	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
13		tgptsmscls.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ CMnd)
15	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
16		tgptsmscls.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tgptsmscls.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	3, 2, 14, 15, 17, 19, 20	tgptsmscls 23301	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{𝑥}))
22		tgptps 23231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
24	3, 13, 23, 16, 18	tsmscl 23286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
25		toponuni 22063	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
27	24, 26	sseqtrd 3961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
28	27	sselda 3921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
29	28	snssd 4742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
30		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31	30	clscld 22198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
32	7, 29, 31	syl2an2r 682	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
33	21, 32	eqeltrd 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
34	33	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
35	34	exlimdv 1936	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
36	12, 35	syl5bi 241	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
37	11, 36	pm2.61dne 3031	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  {csn 4561  ∪ cuni 4839  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  TopOpenctopn 17132  CMndccmn 19386  Topctop 22042  TopOnctopon 22059  TopSpctps 22081  Clsdccld 22167  clsccl 22169  TopGrpctgp 23222   tsums ctsu 23277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-plusf 18325  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-eqg 18754  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-tmd 23223  df-tgp 23224  df-tsms 23278

This theorem is referenced by: (None)