Theorem tgptsmscld 24073

Description: The set of limit points to an infinite sum in a topological group is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgptsmscls.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
tgptsmscls.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptsmscls.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
tgptsmscls.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
tgptsmscls.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
tgptsmscls.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tgptsmscld	⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Proof of Theorem tgptsmscld

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgptsmscls.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopGrp)
2		tgptsmscls.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
3		tgptsmscls.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	2, 3	tgptopon 24004	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
6		topontop 22835	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐽 ∈ Top)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
8		0cld 22960	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
9	7, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (Clsd‘𝐽))
10		eleq1 2816	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → ((𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽) ↔ ∅ ∈ (Clsd‘𝐽)))
11	9, 10	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) = ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
12		n0 4312	. . 3 ⊢ ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
13		tgptsmscls.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ CMnd)
15	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐺 ∈ TopGrp)
16		tgptsmscls.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
18		tgptsmscls.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
20		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹))
21	3, 2, 14, 15, 17, 19, 20	tgptsmscls 24072	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) = ((cls‘𝐽)‘{𝑥}))
22		tgptps 24002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ TopGrp → 𝐺 ∈ TopSp)
23	1, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TopSp)
24	3, 13, 23, 16, 18	tsmscl 24057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ 𝐵)
25		toponuni 22836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵) → 𝐵 = ∪ 𝐽)
26	5, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = ∪ 𝐽)
27	24, 26	sseqtrd 3980	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ⊆ ∪ 𝐽)
28	27	sselda 3943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐽)
29	28	snssd 4769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽)
30		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
31	30	clscld 22969	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑥} ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
32	7, 29, 31	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → ((cls‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ (Clsd‘𝐽))
33	21, 32	eqeltrd 2828	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹)) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))
34	33	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
35	34	exlimdv 1933	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐺 tsums 𝐹) → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
36	12, 35	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 tsums 𝐹) ≠ ∅ → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽)))
37	11, 36	pm2.61dne 3011	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 tsums 𝐹) ∈ (Clsd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ∪ cuni 4867  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  Basecbs 17157  TopOpenctopn 17362  CMndccmn 19696  Topctop 22815  TopOnctopon 22832  TopSpctps 22854  Clsdccld 22938  clsccl 22940  TopGrpctgp 23993   tsums ctsu 24048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-supp 8118  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8649  df-ec 8651  df-map 8779  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-fsupp 9290  df-oi 9440  df-card 9871  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-n0 12422  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13448  df-fzo 13595  df-seq 13946  df-hash 14275  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-plusf 18550  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-mhm 18694  df-submnd 18695  df-grp 18852  df-minusg 18853  df-sbg 18854  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-ghm 19129  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-fbas 21295  df-fg 21296  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22868  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-tmd 23994  df-tgp 23995  df-tsms 24049

This theorem is referenced by: (None)