Theorem topopn 22850

Description: The underlying set of a topology is an open set. (Contributed by NM, 17-Jul-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
1open.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
topopn	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)

Proof of Theorem topopn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1open.1	. 2 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ssid 3956	. . 3 ⊢ 𝐽 ⊆ 𝐽
3		uniopn 22841	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐽 ⊆ 𝐽) → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
4	2, 3	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ∪ 𝐽 ∈ 𝐽)
5	1, 4	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ∪ cuni 4863  Topctop 22837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-3an 1088  df-tru 1544  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-in 3908  df-ss 3918  df-pw 4556  df-uni 4864  df-top 22838

This theorem is referenced by:  riinopn  22852  toponmax  22870  cldval  22967  ntrfval  22968  clsfval  22969  iscld  22971  ntrval  22980  clsval  22981  0cld  22982  clsval2  22994  ntrtop  23014  toponmre  23037  neifval  23043  neif  23044  neival  23046  isnei  23047  tpnei  23065  lpfval  23082  lpval  23083  restcld  23116  restcls  23125  restntr  23126  cnrest  23229  cmpsub  23344  hauscmplem  23350  cmpfi  23352  isconn2  23358  connsubclo  23368  1stcfb  23389  1stcelcls  23405  islly2  23428  lly1stc  23440  islocfin  23461  finlocfin  23464  cmpkgen  23495  llycmpkgen  23496  ptbasid  23519  ptpjpre2  23524  ptopn2  23528  xkoopn  23533  xkouni  23543  txcld  23547  txcn  23570  ptrescn  23583  txtube  23584  txhaus  23591  xkoptsub  23598  xkopt  23599  xkopjcn  23600  qtoptop  23644  qtopuni  23646  opnfbas  23786  flimval  23907  flimfil  23913  hausflim  23925  hauspwpwf1  23931  hauspwpwdom  23932  flimfnfcls  23972  cnpfcfi  23984  bcthlem5  25284  dvply1  26247  cldssbrsiga  34344  dya2iocucvr  34441  kur14lem7  35406  kur14lem9  35408  connpconn  35429  cvmliftmolem1  35475  ordtop  36630  pibt2  37622  ntrelmap  44366  clselmap  44368  dssmapntrcls  44369  dssmapclsntr  44370  toprestsubel  45398  reopn  45537  toplatglb0  49244