Theorem cxpsqrtth 26950

Description: Square root theorem over the complex numbers for the complex power function. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29. Compare with sqrtth 15444. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cxpsqrtth	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)

Proof of Theorem cxpsqrtth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnne0 12472	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
2		0cxp 26886	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (0↑𝑐2) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0↑𝑐2) = 0
4		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
5		sqrt0 15320	. . . . . 6 ⊢ (√‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = 0)
7	6	oveq1d 7434	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = (0↑𝑐2))
8		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
9	3, 7, 8	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)
10	9	a1d 26	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴))
11		sqrtcl 15441	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
13		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → (√‘𝐴) = 0)
15	13, 14	sqr00d 15523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → 𝐴 = 0)
16	15	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 0))
17	16	necon3d 2981	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (√‘𝐴) ≠ 0))
18	17	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ≠ 0)
19		2z 12645	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 2 ∈ ℤ)
21	12, 18, 20	cxpexpzd 26931	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = ((√‘𝐴)↑2))
22		sqrtth 15444	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
23	22	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)
25	24	expcom 419	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴))
26	10, 25	pm2.61ine 3043	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℂcc 11117  0cc0 11119  2c2 12314  ℤcz 12610  ↑cexp 14119  √csqrt 15312  ↑_𝑐ccxp 26775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197  ax-addf 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-q 12993  df-rp 13037  df-xneg 13157  df-xadd 13158  df-xmul 13159  df-ioo 13396  df-ioc 13397  df-ico 13398  df-icc 13399  df-fz 13556  df-fzo 13704  df-fl 13847  df-mod 13925  df-seq 14060  df-exp 14120  df-fac 14332  df-bc 14361  df-hash 14389  df-shft 15132  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-limsup 15550  df-clim 15567  df-rlim 15568  df-sum 15766  df-ef 16147  df-sin 16149  df-cos 16150  df-pi 16152  df-struct 17233  df-sets 17250  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-ress 17317  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-starv 17351  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-unif 17359  df-hom 17360  df-cco 17361  df-rest 17501  df-topn 17502  df-0g 17520  df-gsum 17521  df-topgen 17522  df-pt 17523  df-prds 17526  df-xrs 17582  df-qtop 17587  df-imas 17588  df-xps 17590  df-mre 17664  df-mrc 17665  df-acs 17667  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-submnd 18883  df-mulg 19182  df-cntz 19435  df-cmn 19900  df-psmet 21568  df-xmet 21569  df-met 21570  df-bl 21571  df-mopn 21572  df-fbas 21573  df-fg 21574  df-cnfld 21577  df-top 23105  df-topon 23122  df-topsp 23144  df-bases 23157  df-cld 23230  df-ntr 23231  df-cls 23232  df-nei 23309  df-lp 23347  df-perf 23348  df-cn 23438  df-cnp 23439  df-haus 23526  df-tx 23774  df-hmeo 23967  df-fil 24058  df-fm 24150  df-flim 24151  df-flf 24152  df-xms 24532  df-ms 24533  df-tms 24534  df-cncf 25092  df-limc 26080  df-dv 26081  df-log 26776  df-cxp 26777

This theorem is used by:  2irrexpq  26951