Theorem cxpsqrtth 26475

Description: Square root theorem over the complex numbers for the complex power function. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29. Compare with sqrtth 15316. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cxpsqrtth	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)

Proof of Theorem cxpsqrtth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnne0 12427	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
2		0cxp 26411	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (0↑𝑐2) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0↑𝑐2) = 0
4		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
5		sqrt0 15193	. . . . . 6 ⊢ (√‘0) = 0
6	4, 5	eqtrdi 2787	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = 0)
7	6	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = (0↑𝑐2))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
9	3, 7, 8	3eqtr4a 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)
10	9	a1d 25	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴))
11		sqrtcl 15313	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
13		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → (√‘𝐴) = 0)
15	13, 14	sqr00d 15393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → 𝐴 = 0)
16	15	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 0))
17	16	necon3d 2960	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (√‘𝐴) ≠ 0))
18	17	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ≠ 0)
19		2z 12599	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 2 ∈ ℤ)
21	12, 18, 20	cxpexpzd 26456	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = ((√‘𝐴)↑2))
22		sqrtth 15316	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
23	22	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)
25	24	expcom 413	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴))
26	10, 25	pm2.61ine 3024	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11112  0cc0 11114  2c2 12272  ℤcz 12563  ↑cexp 14032  √csqrt 15185  ↑_𝑐ccxp 26301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-cxp 26303

This theorem is referenced by:  2irrexpq  26476