Theorem cxpsqrtth 24881

Description: Square root theorem over the complex numbers for the complex power function. Theorem I.35 of [Apostol] p. 29. Compare with sqrtth 14488. (Contributed by AV, 23-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cxpsqrtth	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)

Proof of Theorem cxpsqrtth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cnne0 11575	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
2		0cxp 24818	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (0↑𝑐2) = 0)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (0↑𝑐2) = 0
4		fveq2 6437	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
5		sqrt0 14366	. . . . . 6 ⊢ (√‘0) = 0
6	4, 5	syl6eq 2877	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = 0)
7	6	oveq1d 6925	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = (0↑𝑐2))
8		id 22	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
9	3, 7, 8	3eqtr4a 2887	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)
10	9	a1d 25	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴))
11		sqrtcl 14485	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
12	11	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
13		simpl 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
14		simpr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → (√‘𝐴) = 0)
15	13, 14	sqr00d 14564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) = 0) → 𝐴 = 0)
16	15	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴) = 0 → 𝐴 = 0))
17	16	necon3d 3020	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (√‘𝐴) ≠ 0))
18	17	imp 397	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (√‘𝐴) ≠ 0)
19		2z 11744	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℤ
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 2 ∈ ℤ)
21	12, 18, 20	cxpexpzd 24863	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = ((√‘𝐴)↑2))
22		sqrtth 14488	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
23	22	adantr 474	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
24	21, 23	eqtrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)
25	24	expcom 404	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴))
26	10, 25	pm2.61ine 3082	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑𝑐2) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  0cc0 10259  2c2 11413  ℤcz 11711  ↑cexp 13161  √csqrt 14357  ↑_𝑐ccxp 24708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-pi 15182  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037  df-log 24709  df-cxp 24710

This theorem is referenced by:  2irrexpq  24882