MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscxpbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abscxpbnd 26797
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abscxpbnd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
abscxpbnd.3 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
abscxpbnd.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abscxpbnd.5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 11892 . . . . 5 1 ≤ 1
21a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 1)
3 oveq12 7441 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
43adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
5 0cn 11254 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
6 cxp0 26713 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (0↑𝑐0) = 1
84, 7eqtrdi 2792 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 1)
98fveq2d 6909 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘1))
10 abs1 15337 . . . . 5 (abs‘1) = 1
119, 10eqtrdi 2792 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = 1)
12 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘0))
13 re0 15192 . . . . . . . . 9 (ℜ‘0) = 0
1412, 13eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (ℜ‘𝐵) = 0)
1514oveq2d 7448 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) = (𝑀𝑐0))
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1716recnd 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1817cxp0d 26748 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑐0) = 1)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑀𝑐0) = 1)
2015, 19sylan9eqr 2798 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) = 1)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
2221abs00bd 15331 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) = 0)
2322oveq1d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((abs‘𝐵) · π) = (0 · π))
24 picn 26502 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
2524mul02i 11451 . . . . . . . . 9 (0 · π) = 0
2623, 25eqtrdi 2792 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((abs‘𝐵) · π) = 0)
2726fveq2d 6909 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) = (exp‘0))
28 ef0 16128 . . . . . . 7 (exp‘0) = 1
2927, 28eqtrdi 2792 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) = 1)
3020, 29oveq12d 7450 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) = (1 · 1))
31 1t1e1 12429 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3230, 31eqtrdi 2792 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) = 1)
332, 11, 323brtr4d 5174 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
34 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
3534oveq1d 7447 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 0cxp 26709 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
3937, 38sylan 580 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
4035, 39eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 0)
4140abs00bd 15331 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = 0)
42 0red 11265 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4443abscld 15476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4543absge0d 15484 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
4742, 44, 16, 45, 46letrd 11419 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
4836recld 15234 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
4916, 47, 48recxpcld 26766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5049ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5136abscld 15476 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
53 pire 26501 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
54 remulcl 11241 . . . . . . 7 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
5552, 53, 54sylancl 586 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
5655reefcld 16125 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
5716, 47, 48cxpge0d 26767 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
5857ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
5955rpefcld 16142 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ+)
6059rpge0d 13082 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
6150, 56, 58, 60mulge0d 11841 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6241, 61eqbrtrd 5164 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6333, 62pm2.61dane 3028 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6443adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6636adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6764, 65, 66cxpefd 26755 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
6867fveq2d 6909 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
69 logcl 26611 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7043, 69sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7166, 70mulcld 11282 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
72 absef 16234 . . . . 5 ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7371, 72syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7466recld 15234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
7570recld 15234 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 11292 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
7776recnd 11290 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
7866imcld 15235 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
7970imcld 15235 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8079renegcld 11691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8178, 80remulcld 11292 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8281recnd 11290 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
83 efadd 16131 . . . . . 6 ((((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
8477, 82, 83syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
8578, 79remulcld 11292 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8685recnd 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
8777, 86negsubd 11627 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
8878recnd 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
8979recnd 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9088, 89mulneg2d 11718 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) = -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))))
9190oveq2d 7448 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
9266, 70remuld 15258 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
9387, 91, 923eqtr4d 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
9493fveq2d 6909 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
95 relog 26640 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
9643, 95sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
9796oveq2d 7448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴))))
9897fveq2d 6909 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
9944recnd 11290 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10099adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10143abs00ad 15330 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
102101necon3bid 2984 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
103102biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
10474recnd 11290 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
105100, 103, 104cxpefd 26755 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
10698, 105eqtr4d 2779 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)))
107106oveq1d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
10884, 94, 1073eqtr3d 2784 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
10968, 73, 1083eqtrd 2780 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
11064abscld 15476 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11164absge0d 15484 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
112110, 111, 74recxpcld 26766 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
11381reefcld 16125 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 11292 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
11549adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
116115, 113remulcld 11292 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
11751, 53, 54sylancl 586 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
118117reefcld 16125 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
119118adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 11292 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) ∈ ℝ)
12181rpefcld 16142 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ+)
122121rpge0d 13082 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
12316adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
125124adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
12646adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 26768 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 12208 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
12957adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
13088abscld 15476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
13180recnd 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
132131abscld 15476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
133130, 132remulcld 11292 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
134117adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
13581leabsd 15454 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
13688, 131absmuld 15494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
137135, 136breqtrd 5168 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
13866abscld 15476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
139138, 132remulcld 11292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
140131absge0d 15484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))))
141 absimle 15349 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
14266, 141syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 12208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
14453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → π ∈ ℝ)
14566absge0d 15484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
14689absnegd 15489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
147 logimcl 26612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
14843, 147sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
149148simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
15053renegcli 11571 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ
151 ltle 11350 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
152150, 79, 151sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
154148simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
155 absle 15355 . . . . . . . . . . . 12 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
15679, 53, 155sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
157153, 154, 156mpbir2and 713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
158146, 157eqbrtrd 5164 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 12209 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
160133, 139, 134, 143, 159letrd 11419 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
16181, 133, 134, 137, 160letrd 11419 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
162 efle 16155 . . . . . . 7 ((((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
16381, 134, 162syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
164161, 163mpbid 232 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 12209 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
166114, 116, 120, 128, 165letrd 11419 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
167109, 166eqbrtrd 5164 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
16863, 167pm2.61dane 3028 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939   class class class wbr 5142  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494  cre 15137  cim 15138  abscabs 15274  expce 16098  πcpi 16103  logclog 26597  𝑐ccxp 26598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-cxp 26600
This theorem is referenced by:  o1cxp  27019
  Copyright terms: Public domain W3C validator