MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscxpbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abscxpbnd 24785
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
abscxpbnd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
abscxpbnd.3 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
abscxpbnd.4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
abscxpbnd.5 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 10909 . . . . 5 1 ≤ 1
21a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 1 ≤ 1)
3 oveq12 6851 . . . . . . . 8 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
43adantll 705 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
5 0cn 10285 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
6 cxp0 24707 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (0↑𝑐0) = 1
84, 7syl6eq 2815 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 1)
98fveq2d 6379 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘1))
10 abs1 14322 . . . . 5 (abs‘1) = 1
119, 10syl6eq 2815 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = 1)
12 fveq2 6375 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → (ℜ‘𝐵) = (ℜ‘0))
13 re0 14177 . . . . . . . . 9 (ℜ‘0) = 0
1412, 13syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (ℜ‘𝐵) = 0)
1514oveq2d 6858 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) = (𝑀𝑐0))
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
1716recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1817cxp0d 24742 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀𝑐0) = 1)
1918adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 0) → (𝑀𝑐0) = 1)
2015, 19sylan9eqr 2821 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) = 1)
21 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
2221abs00bd 14316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘𝐵) = 0)
2322oveq1d 6857 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((abs‘𝐵) · π) = (0 · π))
24 picn 24503 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
2524mul02i 10479 . . . . . . . . 9 (0 · π) = 0
2623, 25syl6eq 2815 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((abs‘𝐵) · π) = 0)
2726fveq2d 6379 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) = (exp‘0))
28 ef0 15103 . . . . . . 7 (exp‘0) = 1
2927, 28syl6eq 2815 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) = 1)
3020, 29oveq12d 6860 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) = (1 · 1))
31 1t1e1 11440 . . . . 5 (1 · 1) = 1
3230, 31syl6eq 2815 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) = 1)
332, 11, 323brtr4d 4841 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
34 simplr 785 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
3534oveq1d 6857 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
38 0cxp 24703 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
3937, 38sylan 575 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
4035, 39eqtrd 2799 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 0)
4140abs00bd 14316 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = 0)
42 0red 10297 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
4443abscld 14460 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
4543absge0d 14468 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐴))
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
4742, 44, 16, 45, 46letrd 10448 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
4836recld 14219 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
4916, 47, 48recxpcld 24760 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5049ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
5136abscld 14460 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
5251ad2antrr 717 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
53 pire 24502 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
54 remulcl 10274 . . . . . . 7 (((abs‘𝐵) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
5552, 53, 54sylancl 580 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
5655reefcld 15100 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
5716, 47, 48cxpge0d 24761 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
5857ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
5955rpefcld 15117 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ+)
6059rpge0d 12074 . . . . 5 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
6150, 56, 58, 60mulge0d 10858 . . . 4 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6241, 61eqbrtrd 4831 . . 3 (((𝜑𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6333, 62pm2.61dane 3024 . 2 ((𝜑𝐴 = 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
6443adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
6636adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6764, 65, 66cxpefd 24749 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
6867fveq2d 6379 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
69 logcl 24606 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7043, 69sylan 575 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
7166, 70mulcld 10314 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
72 absef 15209 . . . . 5 ((𝐵 · (log‘𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7371, 72syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
7466recld 14219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
7570recld 14219 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
7674, 75remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
7776recnd 10322 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
7866imcld 14220 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
7970imcld 14220 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8079renegcld 10711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ)
8178, 80remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8281recnd 10322 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
83 efadd 15106 . . . . . 6 ((((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ ∧ ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
8477, 82, 83syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
8578, 79remulcld 10324 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
8685recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℂ)
8777, 86negsubd 10652 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
8878recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
8979recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
9088, 89mulneg2d 10738 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) = -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴))))
9190oveq2d 6858 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + -((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
9266, 70remuld 14243 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) − ((ℑ‘𝐵) · (ℑ‘(log‘𝐴)))))
9387, 91, 923eqtr4d 2809 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = (ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
9493fveq2d 6379 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) + ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
95 relog 24634 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
9643, 95sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘(log‘𝐴)) = (log‘(abs‘𝐴)))
9796oveq2d 6858 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴))) = ((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴))))
9897fveq2d 6379 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
9944recnd 10322 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10099adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
10143abs00ad 14315 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((abs‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
102101necon3bid 2981 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((abs‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
103102biimpar 469 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≠ 0)
10474recnd 10322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
105100, 103, 104cxpefd 24749 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) = (exp‘((ℜ‘𝐵) · (log‘(abs‘𝐴)))))
10698, 105eqtr4d 2802 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)))
107106oveq1d 6857 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((exp‘((ℜ‘𝐵) · (ℜ‘(log‘𝐴)))) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
10884, 94, 1073eqtr3d 2807 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘(ℜ‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
10968, 73, 1083eqtrd 2803 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) = (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
11064abscld 14460 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
11164absge0d 14468 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
112110, 111, 74recxpcld 24760 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
11381reefcld 15100 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 10324 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
11549adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) ∈ ℝ)
116115, 113remulcld 10324 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ∈ ℝ)
11751, 53, 54sylancl 580 . . . . . . 7 (𝜑 → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
118117reefcld 15100 . . . . . 6 (𝜑 → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
119118adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((abs‘𝐵) · π)) ∈ ℝ)
120115, 119remulcld 10324 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))) ∈ ℝ)
12181rpefcld 15117 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ+)
122121rpge0d 12074 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
12316adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
125124adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
12646adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐴) ≤ 𝑀)
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 24762 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 11217 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))))
12957adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)))
13088abscld 14460 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ∈ ℝ)
13180recnd 10322 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -(ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℂ)
132131abscld 14460 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ)
133130, 132remulcld 10324 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
134117adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ)
13581leabsd 14438 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))))
13688, 131absmuld 14478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) = ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
137135, 136breqtrd 4835 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
13866abscld 14460 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘𝐵) ∈ ℝ)
139138, 132remulcld 10324 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ∈ ℝ)
140131absge0d 14468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))))
141 absimle 14334 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
14266, 141syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘𝐵)) ≤ (abs‘𝐵))
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 11217 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))))
14453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → π ∈ ℝ)
14566absge0d 14468 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (abs‘𝐵))
14689absnegd 14473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) = (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))))
147 logimcl 24607 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
14843, 147sylan 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π))
149148simpld 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -π < (ℑ‘(log‘𝐴)))
15053renegcli 10596 . . . . . . . . . . . . 13 -π ∈ ℝ
151 ltle 10380 . . . . . . . . . . . . 13 ((-π ∈ ℝ ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
152150, 79, 151sylancr 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (-π < (ℑ‘(log‘𝐴)) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴))))
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → -π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)))
154148simprd 489 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)
155 absle 14340 . . . . . . . . . . . 12 (((ℑ‘(log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
15679, 53, 155sylancl 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π ↔ (-π ≤ (ℑ‘(log‘𝐴)) ∧ (ℑ‘(log‘𝐴)) ≤ π)))
157153, 154, 156mpbir2and 704 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
158146, 157eqbrtrd 4831 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ π)
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 11218 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘𝐵) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
160133, 139, 134, 143, 159letrd 10448 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(ℑ‘𝐵)) · (abs‘-(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
16181, 133, 134, 137, 160letrd 10448 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π))
162 efle 15130 . . . . . . 7 ((((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((abs‘𝐵) · π) ∈ ℝ) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
16381, 134, 162syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))) ≤ ((abs‘𝐵) · π) ↔ (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
164161, 163mpbid 223 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴)))) ≤ (exp‘((abs‘𝐵) · π)))
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 11218 . . . 4 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
166114, 116, 120, 128, 165letrd 10448 . . 3 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (((abs‘𝐴)↑𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((ℑ‘𝐵) · -(ℑ‘(log‘𝐴))))) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
167109, 166eqbrtrd 4831 . 2 ((𝜑𝐴 ≠ 0) → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
16863, 167pm2.61dane 3024 1 (𝜑 → (abs‘(𝐴𝑐𝐵)) ≤ ((𝑀𝑐(ℜ‘𝐵)) · (exp‘((abs‘𝐵) · π))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521  cre 14122  cim 14123  abscabs 14259  expce 15074  πcpi 15079  logclog 24592  𝑐ccxp 24593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cxp 24595
This theorem is referenced by:  o1cxp  24992
  Copyright terms: Public domain W3C validator