MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abscxpbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abscxpbnd 26494
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abscxpbnd.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
abscxpbnd.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
abscxpbnd.3 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต))
abscxpbnd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
abscxpbnd.5 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘€)
Assertion
Ref Expression
abscxpbnd (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))

Proof of Theorem abscxpbnd
StepHypRef Expression
1 1le1 11847 . . . . 5 1 โ‰ค 1
21a1i 11 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ 1 โ‰ค 1)
3 oveq12 7421 . . . . . . . 8 ((๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (0โ†‘๐‘0))
43adantll 711 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (0โ†‘๐‘0))
5 0cn 11211 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„‚
6 cxp0 26411 . . . . . . . 8 (0 โˆˆ โ„‚ โ†’ (0โ†‘๐‘0) = 1)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 (0โ†‘๐‘0) = 1
84, 7eqtrdi 2787 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = 1)
98fveq2d 6896 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = (absโ€˜1))
10 abs1 15249 . . . . 5 (absโ€˜1) = 1
119, 10eqtrdi 2787 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = 1)
12 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (๐ต = 0 โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) = (โ„œโ€˜0))
13 re0 15104 . . . . . . . . 9 (โ„œโ€˜0) = 0
1412, 13eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (๐ต = 0 โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) = 0)
1514oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐ต = 0 โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) = (๐‘€โ†‘๐‘0))
16 abscxpbnd.4 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
1716recnd 11247 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
1817cxp0d 26446 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘0) = 1)
1918adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘0) = 1)
2015, 19sylan9eqr 2793 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) = 1)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ๐ต = 0)
2221abs00bd 15243 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (absโ€˜๐ต) = 0)
2322oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) = (0 ยท ฯ€))
24 picn 26202 . . . . . . . . . 10 ฯ€ โˆˆ โ„‚
2524mul02i 11408 . . . . . . . . 9 (0 ยท ฯ€) = 0
2623, 25eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) = 0)
2726fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)) = (expโ€˜0))
28 ef0 16039 . . . . . . 7 (expโ€˜0) = 1
2927, 28eqtrdi 2787 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)) = 1)
3020, 29oveq12d 7430 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))) = (1 ยท 1))
31 1t1e1 12379 . . . . 5 (1 ยท 1) = 1
3230, 31eqtrdi 2787 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))) = 1)
332, 11, 323brtr4d 5181 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต = 0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
34 simplr 766 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ด = 0)
3534oveq1d 7427 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (0โ†‘๐‘๐ต))
36 abscxpbnd.2 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3736adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
38 0cxp 26407 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (0โ†‘๐‘๐ต) = 0)
3937, 38sylan 579 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (0โ†‘๐‘๐ต) = 0)
4035, 39eqtrd 2771 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = 0)
4140abs00bd 15243 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = 0)
42 0red 11222 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
43 abscxpbnd.1 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
4443abscld 15388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
4543absge0d 15396 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
46 abscxpbnd.5 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘€)
4742, 44, 16, 45, 46letrd 11376 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘€)
4836recld 15146 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
4916, 47, 48recxpcld 26464 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
5049ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
5136abscld 15388 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
5251ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
53 pire 26201 . . . . . . 7 ฯ€ โˆˆ โ„
54 remulcl 11198 . . . . . . 7 (((absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
5552, 53, 54sylancl 585 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
5655reefcld 16036 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
5716, 47, 48cxpge0d 26465 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)))
5857ad2antrr 723 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)))
5955rpefcld 16053 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)) โˆˆ โ„+)
6059rpge0d 13025 . . . . 5 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)))
6150, 56, 58, 60mulge0d 11796 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
6241, 61eqbrtrd 5171 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
6333, 62pm2.61dane 3028 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด = 0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
6443adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
65 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
6636adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6764, 65, 66cxpefd 26453 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘๐ต) = (expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
6867fveq2d 6896 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = (absโ€˜(expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))))
69 logcl 26310 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7043, 69sylan 579 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
7166, 70mulcld 11239 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ต ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
72 absef 16145 . . . . 5 ((๐ต ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))))
7371, 72syl 17 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))))
7466recld 15146 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
7570recld 15146 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
7674, 75remulcld 11249 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
7776recnd 11247 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
7866imcld 15147 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
7970imcld 15147 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
8079renegcld 11646 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
8178, 80remulcld 11249 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
8281recnd 11247 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
83 efadd 16042 . . . . . 6 ((((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚ โˆง ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = ((expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
8477, 82, 83syl2anc 583 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = ((expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
8578, 79remulcld 11249 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
8685recnd 11247 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„‚)
8777, 86negsubd 11582 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + -((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
8878recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
8979recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9088, 89mulneg2d 11673 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = -((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
9190oveq2d 7428 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + -((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
9266, 70remuld 15170 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))) = (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
9387, 91, 923eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด))))
9493fveq2d 6896 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) + ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))))
95 relog 26338 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)) = (logโ€˜(absโ€˜๐ด)))
9643, 95sylan 579 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)) = (logโ€˜(absโ€˜๐ด)))
9796oveq2d 7428 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด))) = ((โ„œโ€˜๐ต) ยท (logโ€˜(absโ€˜๐ด))))
9897fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) = (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (logโ€˜(absโ€˜๐ด)))))
9944recnd 11247 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
10099adantr 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
10143abs00ad 15242 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) = 0 โ†” ๐ด = 0))
102101necon3bid 2984 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ด) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
103102biimpar 477 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰  0)
10474recnd 11247 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
105100, 103, 104cxpefd 26453 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) = (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (logโ€˜(absโ€˜๐ด)))))
10698, 105eqtr4d 2774 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)))
107106oveq1d 7427 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((expโ€˜((โ„œโ€˜๐ต) ยท (โ„œโ€˜(logโ€˜๐ด)))) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
10884, 94, 1073eqtr3d 2779 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(๐ต ยท (logโ€˜๐ด)))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
10968, 73, 1083eqtrd 2775 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
11064abscld 15388 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
11164absge0d 15396 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
112110, 111, 74recxpcld 26464 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
11381reefcld 16036 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
114112, 113remulcld 11249 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
11549adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
116115, 113remulcld 11249 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โˆˆ โ„)
11751, 53, 54sylancl 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
118117reefcld 16036 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
119118adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)) โˆˆ โ„)
120115, 119remulcld 11249 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))) โˆˆ โ„)
12181rpefcld 16053 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„+)
122121rpge0d 13025 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
12316adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
124 abscxpbnd.3 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต))
125124adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (โ„œโ€˜๐ต))
12646adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ด) โ‰ค ๐‘€)
127110, 111, 123, 74, 125, 126cxple2ad 26466 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) โ‰ค (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)))
128112, 115, 113, 122, 127lemul1ad 12158 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))))
12957adantr 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)))
13088abscld 15388 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„)
13180recnd 11247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
132131abscld 15388 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„)
133130, 132remulcld 11249 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
134117adantr 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
13581leabsd 15366 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค (absโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
13688, 131absmuld 15406 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) = ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
137135, 136breqtrd 5175 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
13866abscld 15388 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
139138, 132remulcld 11249 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โˆˆ โ„)
140131absge0d 15396 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
141 absimle 15261 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โ‰ค (absโ€˜๐ต))
14266, 141syl 17 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) โ‰ค (absโ€˜๐ต))
143130, 138, 132, 140, 142lemul1ad 12158 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))))
14453a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
14566absge0d 15396 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ต))
14689absnegd 15401 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) = (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
147 logimcl 26311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
14843, 147sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€))
149148simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ -ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
15053renegcli 11526 . . . . . . . . . . . . 13 -ฯ€ โˆˆ โ„
151 ltle 11307 . . . . . . . . . . . . 13 ((-ฯ€ โˆˆ โ„ โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
152150, 79, 151sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (-ฯ€ < (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))
153149, 152mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ -ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))
154148simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)
155 absle 15267 . . . . . . . . . . . 12 (((โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
15679, 53, 155sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€ โ†” (-ฯ€ โ‰ค (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โˆง (โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)) โ‰ค ฯ€)))
157153, 154, 156mpbir2and 710 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
158146, 157eqbrtrd 5171 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ฯ€)
159132, 144, 138, 145, 158lemul2ad 12159 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜๐ต) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))
160133, 139, 134, 143, 159letrd 11376 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((absโ€˜(โ„‘โ€˜๐ต)) ยท (absโ€˜-(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))
16181, 133, 134, 137, 160letrd 11376 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))
162 efle 16066 . . . . . . 7 ((((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„ โˆง ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โˆˆ โ„) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โ†” (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
16381, 134, 162syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))) โ‰ค ((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€) โ†” (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
164161, 163mpbid 231 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด)))) โ‰ค (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€)))
165113, 119, 115, 129, 164lemul2ad 12159 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
166114, 116, 120, 128, 165letrd 11376 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((โ„‘โ€˜๐ต) ยท -(โ„‘โ€˜(logโ€˜๐ด))))) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
167109, 166eqbrtrd 5171 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
16863, 167pm2.61dane 3028 1 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘๐ต)) โ‰ค ((๐‘€โ†‘๐‘(โ„œโ€˜๐ต)) ยท (expโ€˜((absโ€˜๐ต) ยท ฯ€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11111  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  -cneg 11450  โ„œcre 15049  โ„‘cim 15050  abscabs 15186  expce 16010  ฯ€cpi 16015  logclog 26296  โ†‘๐‘ccxp 26297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26298  df-cxp 26299
This theorem is referenced by:  o1cxp  26712
  Copyright terms: Public domain W3C validator