MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpsqrt 25930
Description: The complex exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the complex square root function (the branch cut is in the same place for both functions), and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrt (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem cxpsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 12261 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
2 halfre 12260 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
3 halfgt0 12262 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
42, 3gt0ne0ii 11584 . . . . . 6 (1 / 2) ≠ 0
5 0cxp 25893 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 2)) = 0)
61, 4, 5mp2an 689 . . . . 5 (0↑𝑐(1 / 2)) = 0
7 sqrt0 15025 . . . . 5 (√‘0) = 0
86, 7eqtr4i 2768 . . . 4 (0↑𝑐(1 / 2)) = (√‘0)
9 oveq1 7322 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (0↑𝑐(1 / 2)))
10 fveq2 6811 . . . 4 (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
118, 9, 103eqtr4a 2803 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
1211a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13 ax-icn 11003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
14 sqrtcl 15145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
16 sqmul 13912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
1713, 15, 16sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
18 i2 13992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i↑2) = -1
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i↑2) = -1)
20 sqrtth 15148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2219, 21oveq12d 7333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
23 mulm1 11489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2423ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2517, 22, 243eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
26 cxpsqrtlem 25929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
2726resqcld 14038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
2825, 27eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
29 negeq0 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3029necon3bid 2986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
3130biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ≠ 0)
3325, 32eqnetrd 3009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0)
34 sq0i 13983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i · (√‘𝐴)) = 0 → ((i · (√‘𝐴))↑2) = 0)
3534necon3i 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0 → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3726, 36sqgt0d 14040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < ((i · (√‘𝐴))↑2))
3837, 25breqtrd 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < -𝐴)
3928, 38elrpd 12842 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
40 logneg 25815 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
42 negneg 11344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
4443fveq2d 6815 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
4539relogcld 25850 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
4645recnd 11076 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℂ)
47 picn 25688 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
4813, 47mulcli 11055 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
49 addcom 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5046, 48, 49sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5141, 44, 503eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘𝐴) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5251oveq2d 7331 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))))
53 adddi 11033 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
541, 48, 46, 53mp3an12i 1464 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
5552, 54eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
56 2cn 12121 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
57 2ne0 12150 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
58 divrec2 11723 . . . . . . . . . . . 12 (((i · π) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π)))
5948, 56, 57, 58mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π))
6013, 47, 56, 57divassi 11804 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = (i · (π / 2))
6159, 60eqtr3i 2767 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (i · π)) = (i · (π / 2))
6261oveq1i 7325 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))
6355, 62eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
6463fveq2d 6815 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
6547, 56, 57divcli 11790 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℂ
6613, 65mulcli 11055 . . . . . . . 8 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
67 mulcl 11028 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
681, 46, 67sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
69 efadd 15875 . . . . . . . 8 (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
7066, 68, 69sylancr 587 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
71 efhalfpi 25700 . . . . . . . . 9 (exp‘(i · (π / 2))) = i
7271a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
73 negcl 11294 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7473ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
751a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76 cxpef 25892 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
7774, 32, 75, 76syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
78 ax-1cn 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
79 2halves 12274 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8180oveq2i 7326 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (-𝐴𝑐1)
82 cxp1 25898 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8374, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8481, 83eqtrid 2789 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = -𝐴)
85 rpcxpcl 25903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8639, 2, 85sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8786rpcnd 12847 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
8887sqvald 13934 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
89 cxpadd 25906 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9074, 32, 75, 75, 89syl211anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9188, 90eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))))
9274sqsqrtd 15223 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴)↑2) = -𝐴)
9384, 91, 923eqtr4d 2787 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2))
9486rprege0d 12852 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9539rpsqrtcld 15195 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ ℝ+)
9695rprege0d 12852 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴)))
97 sq11 13923 . . . . . . . . . . 11 ((((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))) ∧ ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴))) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
9894, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
9993, 98mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴))
10077, 99eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = (√‘-𝐴))
10172, 100oveq12d 7333 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = (i · (√‘-𝐴)))
10264, 70, 1013eqtrd 2781 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (i · (√‘-𝐴)))
103 cxpef 25892 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
1041, 103mp3an3 1449 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
105104adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
10643fveq2d 6815 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
10739rpge0d 12849 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
10828, 107sqrtnegd 15205 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
109106, 108eqtr3d 2779 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
110102, 105, 1093eqtr4d 2787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
111110ex 413 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
11280oveq2i 7326 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴𝑐1)
113 cxpadd 25906 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
1141, 1, 113mp3an23 1452 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
115 cxp1 25898 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
116115adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
117112, 114, 1163eqtr3a 2801 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
118 cxpcl 25901 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
1191, 118mpan2 688 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
120119sqvald 13934 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
121120adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
12220adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
123117, 121, 1223eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
124 sqeqor 14005 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
125119, 14, 124syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
126125biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2)) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
127123, 126syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
128127ord 861 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
129128con1d 145 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
130111, 129pm2.61d 179 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
131130ex 413 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13212, 131pm2.61dne 3029 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2941   class class class wbr 5087  cfv 6465  (class class class)co 7315  cc 10942  cr 10943  0cc0 10944  1c1 10945  ici 10946   + caddc 10947   · cmul 10949   < clt 11082  cle 11083  -cneg 11279   / cdiv 11705  2c2 12101  +crp 12803  cexp 13855  csqrt 15016  expce 15843  πcpi 15848  logclog 25782  𝑐ccxp 25783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-inf2 9470  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022  ax-addf 11023  ax-mulf 11024
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-er 8546  df-map 8665  df-pm 8666  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-fi 9240  df-sup 9271  df-inf 9272  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-xneg 12921  df-xadd 12922  df-xmul 12923  df-ioo 13156  df-ioc 13157  df-ico 13158  df-icc 13159  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-fl 13585  df-mod 13663  df-seq 13795  df-exp 13856  df-fac 14061  df-bc 14090  df-hash 14118  df-shft 14850  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019  df-limsup 15252  df-clim 15269  df-rlim 15270  df-sum 15470  df-ef 15849  df-sin 15851  df-cos 15852  df-pi 15854  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-starv 17047  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-unif 17055  df-hom 17056  df-cco 17057  df-rest 17203  df-topn 17204  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-topgen 17224  df-pt 17225  df-prds 17228  df-xrs 17283  df-qtop 17288  df-imas 17289  df-xps 17291  df-mre 17365  df-mrc 17366  df-acs 17368  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-mulg 18770  df-cntz 18992  df-cmn 19456  df-psmet 20661  df-xmet 20662  df-met 20663  df-bl 20664  df-mopn 20665  df-fbas 20666  df-fg 20667  df-cnfld 20670  df-top 22115  df-topon 22132  df-topsp 22154  df-bases 22168  df-cld 22242  df-ntr 22243  df-cls 22244  df-nei 22321  df-lp 22359  df-perf 22360  df-cn 22450  df-cnp 22451  df-haus 22538  df-tx 22785  df-hmeo 22978  df-fil 23069  df-fm 23161  df-flim 23162  df-flf 23163  df-xms 23545  df-ms 23546  df-tms 23547  df-cncf 24113  df-limc 25102  df-dv 25103  df-log 25784  df-cxp 25785
This theorem is referenced by:  logsqrt  25931  dvsqrt  25967  dvcnsqrt  25969  resqrtcn  25974  sqrtcn  25975  sqrt2cxp2logb9e3  26021  efiatan  26134  efiatan2  26139  sqrtlim  26194  chpchtlim  26699  logdivsqrle  32736
  Copyright terms: Public domain W3C validator