MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpsqrt 24671
Description: The complex exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the complex square root function (the branch cut is in the same place for both functions), and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrt (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem cxpsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 11450 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
2 halfre 11449 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
3 halfgt0 11451 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
42, 3gt0ne0ii 10767 . . . . . 6 (1 / 2) ≠ 0
5 0cxp 24634 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 2)) = 0)
61, 4, 5mp2an 666 . . . . 5 (0↑𝑐(1 / 2)) = 0
7 sqrt0 14191 . . . . 5 (√‘0) = 0
86, 7eqtr4i 2796 . . . 4 (0↑𝑐(1 / 2)) = (√‘0)
9 oveq1 6801 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (0↑𝑐(1 / 2)))
10 fveq2 6333 . . . 4 (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
118, 9, 103eqtr4a 2831 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
1211a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13 ax-icn 10198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
14 sqrtcl 14310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
1514ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
16 sqmul 13134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
1713, 15, 16sylancr 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
18 i2 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i↑2) = -1
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i↑2) = -1)
20 sqrtth 14313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2120ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2219, 21oveq12d 6812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
23 mulm1 10674 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2423ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2517, 22, 243eqtrd 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
26 cxpsqrtlem 24670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
2726resqcld 13243 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
2825, 27eqeltrrd 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
29 negeq0 10538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3029necon3bid 2987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
3130biimpa 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
3231adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ≠ 0)
3325, 32eqnetrd 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0)
34 sq0i 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i · (√‘𝐴)) = 0 → ((i · (√‘𝐴))↑2) = 0)
3534necon3i 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0 → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3726, 36sqgt0d 13245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < ((i · (√‘𝐴))↑2))
3837, 25breqtrd 4813 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < -𝐴)
3928, 38elrpd 12073 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
40 logneg 24556 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
42 negneg 10534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
4342ad2antrr 699 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
4443fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
4539relogcld 24591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
4645recnd 10271 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℂ)
47 picn 24433 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
4813, 47mulcli 10248 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
49 addcom 10425 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5046, 48, 49sylancl 568 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5141, 44, 503eqtr3d 2813 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘𝐴) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5251oveq2d 6810 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))))
53 adddi 10228 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
541, 48, 53mp3an12 1562 . . . . . . . . . . 11 ((log‘-𝐴) ∈ ℂ → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
5546, 54syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
5652, 55eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
57 2cn 11294 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
58 2ne0 11316 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
59 divrec2 10905 . . . . . . . . . . . 12 (((i · π) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π)))
6048, 57, 58, 59mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π))
6113, 47, 57, 58divassi 10984 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = (i · (π / 2))
6260, 61eqtr3i 2795 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (i · π)) = (i · (π / 2))
6362oveq1i 6804 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))
6456, 63syl6eq 2821 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
6564fveq2d 6337 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
6647, 57, 58divcli 10970 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℂ
6713, 66mulcli 10248 . . . . . . . 8 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
68 mulcl 10223 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
691, 46, 68sylancr 569 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
70 efadd 15031 . . . . . . . 8 (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
7167, 69, 70sylancr 569 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
72 efhalfpi 24445 . . . . . . . . 9 (exp‘(i · (π / 2))) = i
7372a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
74 negcl 10484 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7574ad2antrr 699 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
761a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
77 cxpef 24633 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
7875, 32, 76, 77syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
79 ax-1cn 10197 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
80 2halves 11463 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8281oveq2i 6805 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (-𝐴𝑐1)
83 cxp1 24639 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8475, 83syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8582, 84syl5eq 2817 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = -𝐴)
86 rpcxpcl 24644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8739, 2, 86sylancl 568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8887rpcnd 12078 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
8988sqvald 13213 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
90 cxpadd 24647 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9175, 32, 76, 76, 90syl211anc 1482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9289, 91eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))))
9375sqsqrtd 14387 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴)↑2) = -𝐴)
9485, 92, 933eqtr4d 2815 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2))
9587rprege0d 12083 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9639rpsqrtcld 14359 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ ℝ+)
9796rprege0d 12083 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴)))
98 sq11 13144 . . . . . . . . . . 11 ((((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))) ∧ ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴))) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
9995, 97, 98syl2anc 567 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
10094, 99mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴))
10178, 100eqtr3d 2807 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = (√‘-𝐴))
10273, 101oveq12d 6812 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = (i · (√‘-𝐴)))
10365, 71, 1023eqtrd 2809 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (i · (√‘-𝐴)))
104 cxpef 24633 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
1051, 104mp3an3 1561 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
106105adantr 466 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
10743fveq2d 6337 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
10839rpge0d 12080 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
10928, 108sqrtnegd 14369 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
110107, 109eqtr3d 2807 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
111103, 106, 1103eqtr4d 2815 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
112111ex 397 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
11381oveq2i 6805 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴𝑐1)
114 cxpadd 24647 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
1151, 1, 114mp3an23 1564 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
116 cxp1 24639 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
117116adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
118113, 115, 1173eqtr3a 2829 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
119 cxpcl 24642 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
1201, 119mpan2 665 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
121120sqvald 13213 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
122121adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
12320adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
124118, 122, 1233eqtr4d 2815 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
125 sqeqor 13186 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
126120, 14, 125syl2anc 567 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
127126biimpa 462 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2)) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
128124, 127syldan 573 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
129128ord 845 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
130129con1d 141 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
131112, 130pm2.61d 171 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
132131ex 397 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13312, 132pm2.61dne 3029 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140  ici 10141   + caddc 10142   · cmul 10144   < clt 10277  cle 10278  -cneg 10470   / cdiv 10887  2c2 11273  +crp 12036  cexp 13068  csqrt 14182  expce 14999  πcpi 15004  logclog 24523  𝑐ccxp 24524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ioo 12385  df-ioc 12386  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-mod 12878  df-seq 13010  df-exp 13069  df-fac 13266  df-bc 13295  df-hash 13323  df-shft 14016  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-limsup 14411  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626  df-ef 15005  df-sin 15007  df-cos 15008  df-pi 15010  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-mulg 17750  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-cnfld 19963  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23851  df-dv 23852  df-log 24525  df-cxp 24526
This theorem is referenced by:  logsqrt  24672  dvsqrt  24705  dvcnsqrt  24707  resqrtcn  24712  sqrtcn  24713  efiatan  24861  efiatan2  24866  sqrtlim  24921  chpchtlim  25390  logdivsqrle  31069
  Copyright terms: Public domain W3C validator