Theorem cxpsqrt 26667

Description: The complex exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the complex square root function (the branch cut is in the same place for both functions), and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpsqrt	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem cxpsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12391	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		halfre 12390	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3		halfgt0 12392	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 / 2)
4	2, 3	gt0ne0ii 11686	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
5		0cxp 26630	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 2)) = 0)
6	1, 4, 5	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (0↑𝑐(1 / 2)) = 0
7		sqrt0 15203	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
8	6, 7	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ (0↑𝑐(1 / 2)) = (√‘0)
9		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (0↑𝑐(1 / 2)))
10		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
11	8, 9, 10	3eqtr4a 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13		ax-icn 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ∈ ℂ
14		sqrtcl 15324	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
16		sqmul 14081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
17	13, 15, 16	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
18		i2 14164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i↑2) = -1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i↑2) = -1)
20		sqrtth 15327	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
21	20	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
22	19, 21	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
23		mulm1 11591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
24	23	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
25	17, 22, 24	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
26		cxpsqrtlem 26666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
27	26	resqcld 14087	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
28	25, 27	eqeltrrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
29		negeq0 11448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
30	29	necon3bid 2976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
31	30	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ≠ 0)
33	25, 32	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0)
34		sq0i 14155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · (√‘𝐴)) = 0 → ((i · (√‘𝐴))↑2) = 0)
35	34	necon3i 2964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0 → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
37	26, 36	sqgt0d 14212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < ((i · (√‘𝐴))↑2))
38	37, 25	breqtrd 5111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < -𝐴)
39	28, 38	elrpd 12983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
40		logneg 26552	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
42		negneg 11444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
43	42	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
44	43	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
45	39	relogcld 26587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
46	45	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℂ)
47		picn 26422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
48	13, 47	mulcli 11152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
49		addcom 11332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
50	46, 48, 49	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
51	41, 44, 50	3eqtr3d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘𝐴) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
52	51	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))))
53		adddi 11127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
54	1, 48, 46, 53	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
55	52, 54	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
56		2cn 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
57		2ne0 12285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
58		divrec2 11826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · π) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π)))
59	48, 56, 57, 58	mp3an 1464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π))
60	13, 47, 56, 57	divassi 11911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · π) / 2) = (i · (π / 2))
61	59, 60	eqtr3i 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (i · π)) = (i · (π / 2))
62	61	oveq1i 7377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))
63	55, 62	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
64	63	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
65	47, 56, 57	divcli 11897	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
66	13, 65	mulcli 11152	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
67		mulcl 11122	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
68	1, 46, 67	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
69		efadd 16059	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
70	66, 68, 69	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
71		efhalfpi 26435	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
72	71	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
73		negcl 11393	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
74	73	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
75	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76		cxpef 26629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
77	74, 32, 75, 76	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
78		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
79		2halves 12395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
80	78, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
81	80	oveq2i 7378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (-𝐴↑𝑐1)
82		cxp1 26635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑𝑐1) = -𝐴)
83	74, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐1) = -𝐴)
84	81, 83	eqtrid 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = -𝐴)
85		rpcxpcl 26640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
86	39, 2, 85	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
87	86	rpcnd 12988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
88	87	sqvald 14105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
89		cxpadd 26643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
90	74, 32, 75, 75, 89	syl211anc 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
91	88, 90	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))))
92	74	sqsqrtd 15404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴)↑2) = -𝐴)
93	84, 91, 92	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2))
94	86	rprege0d 12993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
95	39	rpsqrtcld 15374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ ℝ+)
96	95	rprege0d 12993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴)))
97		sq11 14093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴↑𝑐(1 / 2))) ∧ ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴))) → (((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
98	94, 96, 97	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
99	93, 98	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴))
100	77, 99	eqtr3d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = (√‘-𝐴))
101	72, 100	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = (i · (√‘-𝐴)))
102	64, 70, 101	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (i · (√‘-𝐴)))
103		cxpef 26629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
104	1, 103	mp3an3 1453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
105	104	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
106	43	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
107	39	rpge0d 12990	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
108	28, 107	sqrtnegd 15384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
109	106, 108	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
110	102, 105, 109	3eqtr4d 2781	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
111	110	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
112	80	oveq2i 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴↑𝑐1)
113		cxpadd 26643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
114	1, 1, 113	mp3an23 1456	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
115		cxp1 26635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
116	115	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
117	112, 114, 116	3eqtr3a 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
118		cxpcl 26638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
119	1, 118	mpan2 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
120	119	sqvald 14105	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
121	120	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
122	20	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
123	117, 121, 122	3eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
124		sqeqor 14178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
125	119, 14, 124	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
126	125	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2)) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
127	123, 126	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
128	127	ord 865	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
129	128	con1d 145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
130	111, 129	pm2.61d 179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
131	130	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
132	12, 131	pm2.61dne 3018	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  ℝ⁺crp 12942  ↑cexp 14023  √csqrt 15195  expce 16026  πcpi 16031  logclog 26518  ↑_𝑐ccxp 26519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-cxp 26521

This theorem is referenced by:  logsqrt  26668  dvsqrt  26706  dvcnsqrt  26708  resqrtcn  26713  sqrtcn  26714  sqrt2cxp2logb9e3  26763  efiatan  26876  efiatan2  26881  sqrtlim  26936  chpchtlim  27442  logdivsqrle  34794