Theorem cxpsqrt 26905

Description: The complex exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the complex square root function (the branch cut is in the same place for both functions), and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpsqrt	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem cxpsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12476	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		halfre 12475	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3		halfgt0 12477	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 / 2)
4	2, 3	gt0ne0ii 11768	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
5		0cxp 26868	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 2)) = 0)
6	1, 4, 5	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (0↑𝑐(1 / 2)) = 0
7		sqrt0 15318	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
8	6, 7	eqtr4i 2792	. . . 4 ⊢ (0↑𝑐(1 / 2)) = (√‘0)
9		oveq1 7430	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (0↑𝑐(1 / 2)))
10		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
11	8, 9, 10	3eqtr4a 2827	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13		ax-icn 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ∈ ℂ
14		sqrtcl 15439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
16		sqmul 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
17	13, 15, 16	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
18		i2 14258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i↑2) = -1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i↑2) = -1)
20		sqrtth 15442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
21	20	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
22	19, 21	oveq12d 7441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
23		mulm1 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
24	23	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
25	17, 22, 24	3eqtrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
26		cxpsqrtlem 26904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
27	26	resqcld 14181	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
28	25, 27	eqeltrrd 2867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
29		negeq0 11530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
30	29	necon3bid 3005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
31	30	biimpa 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ≠ 0)
33	25, 32	eqnetrd 3028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0)
34		sq0i 14249	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · (√‘𝐴)) = 0 → ((i · (√‘𝐴))↑2) = 0)
35	34	necon3i 2993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0 → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
36	33, 35	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
37	26, 36	sqgt0d 14306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < ((i · (√‘𝐴))↑2))
38	37, 25	breqtrd 5142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < -𝐴)
39	28, 38	elrpd 13075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
40		logneg 26790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
41	39, 40	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
42		negneg 11526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
44	43	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
45	39	relogcld 26825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
46	45	recnd 11255	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℂ)
47		picn 26658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
48	13, 47	mulcli 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
49		addcom 11414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
50	46, 48, 49	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
51	41, 44, 50	3eqtr3d 2809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘𝐴) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
52	51	oveq2d 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))))
53		adddi 11207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
54	1, 48, 46, 53	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
55	52, 54	eqtrd 2801	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
56		2cn 12334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
57		2ne0 12365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
58		divrec2 11907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · π) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π)))
59	48, 56, 57, 58	mp3an 1490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π))
60	13, 47, 56, 57	divassi 11989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · π) / 2) = (i · (π / 2))
61	59, 60	eqtr3i 2791	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (i · π)) = (i · (π / 2))
62	61	oveq1i 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))
63	55, 62	eqtrdi 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
64	63	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
65	47, 56, 57	divcli 11975	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
66	13, 65	mulcli 11234	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
67		mulcl 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
68	1, 46, 67	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
69		efadd 16173	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
70	66, 68, 69	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
71		efhalfpi 26673	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
72	71	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
73		negcl 11475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
74	73	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
75	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76		cxpef 26867	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
77	74, 32, 75, 76	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
78		ax-1cn 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
79		2halves 12480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
80	78, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
81	80	oveq2i 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (-𝐴↑𝑐1)
82		cxp1 26873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑𝑐1) = -𝐴)
83	74, 82	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐1) = -𝐴)
84	81, 83	eqtrid 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = -𝐴)
85		rpcxpcl 26878	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
86	39, 2, 85	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
87	86	rpcnd 13080	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
88	87	sqvald 14199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
89		cxpadd 26881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
90	74, 32, 75, 75, 89	syl211anc 1403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
91	88, 90	eqtr4d 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))))
92	74	sqsqrtd 15519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴)↑2) = -𝐴)
93	84, 91, 92	3eqtr4d 2811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2))
94	86	rprege0d 13085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
95	39	rpsqrtcld 15489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ ℝ+)
96	95	rprege0d 13085	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴)))
97		sq11 14187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴↑𝑐(1 / 2))) ∧ ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴))) → (((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
98	94, 96, 97	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
99	93, 98	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴))
100	77, 99	eqtr3d 2803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = (√‘-𝐴))
101	72, 100	oveq12d 7441	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = (i · (√‘-𝐴)))
102	64, 70, 101	3eqtrd 2805	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (i · (√‘-𝐴)))
103		cxpef 26867	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
104	1, 103	mp3an3 1479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
105	104	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
106	43	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
107	39	rpge0d 13082	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
108	28, 107	sqrtnegd 15499	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
109	106, 108	eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
110	102, 105, 109	3eqtr4d 2811	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
111	110	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
112	80	oveq2i 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴↑𝑐1)
113		cxpadd 26881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
114	1, 1, 113	mp3an23 1482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
115		cxp1 26873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
116	115	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
117	112, 114, 116	3eqtr3a 2825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
118		cxpcl 26876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
119	1, 118	mpan2 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
120	119	sqvald 14199	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
121	120	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
122	20	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
123	117, 121, 122	3eqtr4d 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
124		sqeqor 14272	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
125	119, 14, 124	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
126	125	biimpa 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2)) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
127	123, 126	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
128	127	ord 878	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
129	128	con1d 146	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
130	111, 129	pm2.61d 181	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
131	130	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
132	12, 131	pm2.61dne 3047	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119  ici 11120   + caddc 11121   · cmul 11123   < clt 11261   ≤ cle 11262  -cneg 11460   / cdiv 11889  2c2 12313  ℝ⁺crp 13034  ↑cexp 14117  √csqrt 15310  expce 16140  πcpi 16145  logclog 26756  ↑_𝑐ccxp 26757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196  ax-addf 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-fac 14330  df-bc 14359  df-hash 14387  df-shft 15130  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-limsup 15548  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-ef 16146  df-sin 16148  df-cos 16149  df-pi 16151  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-fbas 21556  df-fg 21557  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cld 23213  df-ntr 23214  df-cls 23215  df-nei 23292  df-lp 23330  df-perf 23331  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-haus 23509  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-fil 24040  df-fm 24132  df-flim 24133  df-flf 24134  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074  df-limc 26062  df-dv 26063  df-log 26758  df-cxp 26759

This theorem is used by:  logsqrt  26906  dvsqrt  26944  dvcnsqrt  26946  resqrtcn  26951  sqrtcn  26952  sqrt2cxp2logb9e3  27001  efiatan  27114  efiatan2  27119  sqrtlim  27174  chpchtlim  27680  logdivsqrle  35069