Theorem cxpsqrt 25930

Description: The complex exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the complex square root function (the branch cut is in the same place for both functions), and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpsqrt	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem cxpsqrt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfcn 12261	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
2		halfre 12260	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
3		halfgt0 12262	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 / 2)
4	2, 3	gt0ne0ii 11584	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
5		0cxp 25893	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 2)) = 0)
6	1, 4, 5	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ (0↑𝑐(1 / 2)) = 0
7		sqrt0 15025	. . . . 5 ⊢ (√‘0) = 0
8	6, 7	eqtr4i 2768	. . . 4 ⊢ (0↑𝑐(1 / 2)) = (√‘0)
9		oveq1 7322	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (0↑𝑐(1 / 2)))
10		fveq2 6811	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
11	8, 9, 10	3eqtr4a 2803	. . 3 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13		ax-icn 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ i ∈ ℂ
14		sqrtcl 15145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
16		sqmul 13912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
17	13, 15, 16	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
18		i2 13992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (i↑2) = -1
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i↑2) = -1)
20		sqrtth 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
21	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
22	19, 21	oveq12d 7333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
23		mulm1 11489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
24	23	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
25	17, 22, 24	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
26		cxpsqrtlem 25929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
27	26	resqcld 14038	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
28	25, 27	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
29		negeq0 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
30	29	necon3bid 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
31	30	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ≠ 0)
33	25, 32	eqnetrd 3009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0)
34		sq0i 13983	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((i · (√‘𝐴)) = 0 → ((i · (√‘𝐴))↑2) = 0)
35	34	necon3i 2974	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0 → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
36	33, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
37	26, 36	sqgt0d 14040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < ((i · (√‘𝐴))↑2))
38	37, 25	breqtrd 5113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < -𝐴)
39	28, 38	elrpd 12842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
40		logneg 25815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
42		negneg 11344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
43	42	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
44	43	fveq2d 6815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
45	39	relogcld 25850	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
46	45	recnd 11076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℂ)
47		picn 25688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ π ∈ ℂ
48	13, 47	mulcli 11055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (i · π) ∈ ℂ
49		addcom 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((log‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
50	46, 48, 49	sylancl 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
51	41, 44, 50	3eqtr3d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘𝐴) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
52	51	oveq2d 7331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))))
53		adddi 11033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
54	1, 48, 46, 53	mp3an12i 1464	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
55	52, 54	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
56		2cn 12121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
57		2ne0 12150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
58		divrec2 11723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((i · π) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π)))
59	48, 56, 57, 58	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π))
60	13, 47, 56, 57	divassi 11804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · π) / 2) = (i · (π / 2))
61	59, 60	eqtr3i 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 / 2) · (i · π)) = (i · (π / 2))
62	61	oveq1i 7325	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))
63	55, 62	eqtrdi 2793	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
64	63	fveq2d 6815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
65	47, 56, 57	divcli 11790	. . . . . . . . 9 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
66	13, 65	mulcli 11055	. . . . . . . 8 ⊢ (i · (π / 2)) ∈ ℂ
67		mulcl 11028	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
68	1, 46, 67	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
69		efadd 15875	. . . . . . . 8 ⊢ (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
70	66, 68, 69	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
71		efhalfpi 25700	. . . . . . . . 9 ⊢ (exp‘(i · (π / 2))) = i
72	71	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
73		negcl 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
74	73	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
75	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76		cxpef 25892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
77	74, 32, 75, 76	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
78		ax-1cn 11002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℂ
79		2halves 12274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
80	78, 79	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
81	80	oveq2i 7326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (-𝐴↑𝑐1)
82		cxp1 25898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑𝑐1) = -𝐴)
83	74, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐1) = -𝐴)
84	81, 83	eqtrid 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = -𝐴)
85		rpcxpcl 25903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
86	39, 2, 85	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
87	86	rpcnd 12847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
88	87	sqvald 13934	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
89		cxpadd 25906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
90	74, 32, 75, 75, 89	syl211anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
91	88, 90	eqtr4d 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = (-𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))))
92	74	sqsqrtd 15223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴)↑2) = -𝐴)
93	84, 91, 92	3eqtr4d 2787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2))
94	86	rprege0d 12852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴↑𝑐(1 / 2))))
95	39	rpsqrtcld 15195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ ℝ+)
96	95	rprege0d 12852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴)))
97		sq11 13923	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((-𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴↑𝑐(1 / 2))) ∧ ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴))) → (((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
98	94, 96, 97	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (((-𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
99	93, 98	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴))
100	77, 99	eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = (√‘-𝐴))
101	72, 100	oveq12d 7333	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = (i · (√‘-𝐴)))
102	64, 70, 101	3eqtrd 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (i · (√‘-𝐴)))
103		cxpef 25892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
104	1, 103	mp3an3 1449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
105	104	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
106	43	fveq2d 6815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
107	39	rpge0d 12849	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
108	28, 107	sqrtnegd 15205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
109	106, 108	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
110	102, 105, 109	3eqtr4d 2787	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
111	110	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
112	80	oveq2i 7326	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴↑𝑐1)
113		cxpadd 25906	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
114	1, 1, 113	mp3an23 1452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
115		cxp1 25898	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
116	115	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐1) = 𝐴)
117	112, 114, 116	3eqtr3a 2801	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
118		cxpcl 25901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
119	1, 118	mpan2 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
120	119	sqvald 13934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
121	120	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) · (𝐴↑𝑐(1 / 2))))
122	20	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
123	117, 121, 122	3eqtr4d 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
124		sqeqor 14005	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
125	119, 14, 124	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
126	125	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴↑𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2)) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
127	123, 126	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
128	127	ord 861	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
129	128	con1d 145	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
130	111, 129	pm2.61d 179	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
131	130	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
132	12, 131	pm2.61dne 3029	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941   class class class wbr 5087  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315  ℂcc 10942  ℝcr 10943  0cc0 10944  1c1 10945  ici 10946   + caddc 10947   · cmul 10949   < clt 11082   ≤ cle 11083  -cneg 11279   / cdiv 11705  2c2 12101  ℝ⁺crp 12803  ↑cexp 13855  √csqrt 15016  expce 15843  πcpi 15848  logclog 25782  ↑_𝑐ccxp 25783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-inf2 9470  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-pre-sup 11022  ax-addf 11023  ax-mulf 11024

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-er 8546  df-map 8665  df-pm 8666  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-fi 9240  df-sup 9271  df-inf 9272  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-q 12762  df-rp 12804  df-xneg 12921  df-xadd 12922  df-xmul 12923  df-ioo 13156  df-ioc 13157  df-ico 13158  df-icc 13159  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-fl 13585  df-mod 13663  df-seq 13795  df-exp 13856  df-fac 14061  df-bc 14090  df-hash 14118  df-shft 14850  df-cj 14882  df-re 14883  df-im 14884  df-sqrt 15018  df-abs 15019  df-limsup 15252  df-clim 15269  df-rlim 15270  df-sum 15470  df-ef 15849  df-sin 15851  df-cos 15852  df-pi 15854  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-starv 17047  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-unif 17055  df-hom 17056  df-cco 17057  df-rest 17203  df-topn 17204  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-topgen 17224  df-pt 17225  df-prds 17228  df-xrs 17283  df-qtop 17288  df-imas 17289  df-xps 17291  df-mre 17365  df-mrc 17366  df-acs 17368  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-submnd 18501  df-mulg 18770  df-cntz 18992  df-cmn 19456  df-psmet 20661  df-xmet 20662  df-met 20663  df-bl 20664  df-mopn 20665  df-fbas 20666  df-fg 20667  df-cnfld 20670  df-top 22115  df-topon 22132  df-topsp 22154  df-bases 22168  df-cld 22242  df-ntr 22243  df-cls 22244  df-nei 22321  df-lp 22359  df-perf 22360  df-cn 22450  df-cnp 22451  df-haus 22538  df-tx 22785  df-hmeo 22978  df-fil 23069  df-fm 23161  df-flim 23162  df-flf 23163  df-xms 23545  df-ms 23546  df-tms 23547  df-cncf 24113  df-limc 25102  df-dv 25103  df-log 25784  df-cxp 25785

This theorem is referenced by:  logsqrt  25931  dvsqrt  25967  dvcnsqrt  25969  resqrtcn  25974  sqrtcn  25975  sqrt2cxp2logb9e3  26021  efiatan  26134  efiatan2  26139  sqrtlim  26194  chpchtlim  26699  logdivsqrle  32736