MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpsqrt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpsqrt 25297
Description: The complex exponential function with exponent 1 / 2 exactly matches the complex square root function (the branch cut is in the same place for both functions), and thus serves as a suitable generalization to other 𝑛-th roots and irrational roots. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpsqrt (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))

Proof of Theorem cxpsqrt
StepHypRef Expression
1 halfcn 11844 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℂ
2 halfre 11843 . . . . . . 7 (1 / 2) ∈ ℝ
3 halfgt0 11845 . . . . . . 7 0 < (1 / 2)
42, 3gt0ne0ii 11169 . . . . . 6 (1 / 2) ≠ 0
5 0cxp 25260 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ≠ 0) → (0↑𝑐(1 / 2)) = 0)
61, 4, 5mp2an 691 . . . . 5 (0↑𝑐(1 / 2)) = 0
7 sqrt0 14596 . . . . 5 (√‘0) = 0
86, 7eqtr4i 2827 . . . 4 (0↑𝑐(1 / 2)) = (√‘0)
9 oveq1 7146 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (0↑𝑐(1 / 2)))
10 fveq2 6649 . . . 4 (𝐴 = 0 → (√‘𝐴) = (√‘0))
118, 9, 103eqtr4a 2862 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
1211a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13 ax-icn 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
14 sqrtcl 14716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) ∈ ℂ)
16 sqmul 13485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
1713, 15, 16sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)))
18 i2 13565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (i↑2) = -1
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i↑2) = -1)
20 sqrtth 14719 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
2219, 21oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i↑2) · ((√‘𝐴)↑2)) = (-1 · 𝐴))
23 mulm1 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
2517, 22, 243eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) = -𝐴)
26 cxpsqrtlem 25296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ∈ ℝ)
2726resqcld 13611 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
2825, 27eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ)
29 negeq0 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 = 0 ↔ -𝐴 = 0))
3029necon3bid 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 ↔ -𝐴 ≠ 0))
3130biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → -𝐴 ≠ 0)
3231adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ≠ 0)
3325, 32eqnetrd 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0)
34 sq0i 13556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((i · (√‘𝐴)) = 0 → ((i · (√‘𝐴))↑2) = 0)
3534necon3i 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((i · (√‘𝐴))↑2) ≠ 0 → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3633, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (i · (√‘𝐴)) ≠ 0)
3726, 36sqgt0d 13613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < ((i · (√‘𝐴))↑2))
3837, 25breqtrd 5059 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 < -𝐴)
3928, 38elrpd 12420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℝ+)
40 logneg 25182 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = ((log‘-𝐴) + (i · π)))
42 negneg 10929 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℂ → --𝐴 = 𝐴)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → --𝐴 = 𝐴)
4443fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘--𝐴) = (log‘𝐴))
4539relogcld 25217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℝ)
4645recnd 10662 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘-𝐴) ∈ ℂ)
47 picn 25055 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℂ
4813, 47mulcli 10641 . . . . . . . . . . . . 13 (i · π) ∈ ℂ
49 addcom 10819 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘-𝐴) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5046, 48, 49sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((log‘-𝐴) + (i · π)) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5141, 44, 503eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (log‘𝐴) = ((i · π) + (log‘-𝐴)))
5251oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))))
53 adddi 10619 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (i · π) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
541, 48, 46, 53mp3an12i 1462 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · ((i · π) + (log‘-𝐴))) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
5552, 54eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
56 2cn 11704 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
57 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
58 divrec2 11308 . . . . . . . . . . . 12 (((i · π) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π)))
5948, 56, 57, 58mp3an 1458 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = ((1 / 2) · (i · π))
6013, 47, 56, 57divassi 11389 . . . . . . . . . . 11 ((i · π) / 2) = (i · (π / 2))
6159, 60eqtr3i 2826 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) · (i · π)) = (i · (π / 2))
6261oveq1i 7149 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) · (i · π)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))
6355, 62eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘𝐴)) = ((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
6463fveq2d 6653 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
6547, 56, 57divcli 11375 . . . . . . . . 9 (π / 2) ∈ ℂ
6613, 65mulcli 10641 . . . . . . . 8 (i · (π / 2)) ∈ ℂ
67 mulcl 10614 . . . . . . . . 9 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (log‘-𝐴) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
681, 46, 67sylancr 590 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ)
69 efadd 15442 . . . . . . . 8 (((i · (π / 2)) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · (log‘-𝐴)) ∈ ℂ) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
7066, 68, 69sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((i · (π / 2)) + ((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))))
71 efhalfpi 25067 . . . . . . . . 9 (exp‘(i · (π / 2))) = i
7271a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘(i · (π / 2))) = i)
73 negcl 10879 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → -𝐴 ∈ ℂ)
751a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
76 cxpef 25259 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
7774, 32, 75, 76syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))))
78 ax-1cn 10588 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
79 2halves 11857 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℂ → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
8078, 79ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1
8180oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (-𝐴𝑐1)
82 cxp1 25265 . . . . . . . . . . . . 13 (-𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8374, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐1) = -𝐴)
8481, 83syl5eq 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = -𝐴)
85 rpcxpcl 25270 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-𝐴 ∈ ℝ+ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8639, 2, 85sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ+)
8786rpcnd 12425 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
8887sqvald 13507 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
89 cxpadd 25273 . . . . . . . . . . . . 13 (((-𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9074, 32, 75, 75, 89syl211anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((-𝐴𝑐(1 / 2)) · (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9188, 90eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = (-𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))))
9274sqsqrtd 14794 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴)↑2) = -𝐴)
9384, 91, 923eqtr4d 2846 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2))
9486rprege0d 12430 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))))
9539rpsqrtcld 14766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘-𝐴) ∈ ℝ+)
9695rprege0d 12430 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴)))
97 sq11 13496 . . . . . . . . . . 11 ((((-𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (-𝐴𝑐(1 / 2))) ∧ ((√‘-𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘-𝐴))) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
9894, 96, 97syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (((-𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘-𝐴)↑2) ↔ (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴)))
9993, 98mpbid 235 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (-𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘-𝐴))
10077, 99eqtr3d 2838 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴))) = (√‘-𝐴))
10172, 100oveq12d 7157 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → ((exp‘(i · (π / 2))) · (exp‘((1 / 2) · (log‘-𝐴)))) = (i · (√‘-𝐴)))
10264, 70, 1013eqtrd 2840 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))) = (i · (√‘-𝐴)))
103 cxpef 25259 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
1041, 103mp3an3 1447 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
105104adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (exp‘((1 / 2) · (log‘𝐴))))
10643fveq2d 6653 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (√‘𝐴))
10739rpge0d 12427 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → 0 ≤ -𝐴)
10828, 107sqrtnegd 14776 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘--𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
109106, 108eqtr3d 2838 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (√‘𝐴) = (i · (√‘-𝐴)))
110102, 105, 1093eqtr4d 2846 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
111110ex 416 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
11280oveq2i 7150 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = (𝐴𝑐1)
113 cxpadd 25273 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (1 / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
1141, 1, 113mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
115 cxp1 25265 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
116115adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐1) = 𝐴)
117112, 114, 1163eqtr3a 2860 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))) = 𝐴)
118 cxpcl 25268 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 / 2) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
1191, 118mpan2 690 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ)
120119sqvald 13507 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
121120adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((𝐴𝑐(1 / 2)) · (𝐴𝑐(1 / 2))))
12220adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((√‘𝐴)↑2) = 𝐴)
123117, 121, 1223eqtr4d 2846 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2))
124 sqeqor 13578 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐(1 / 2)) ∈ ℂ ∧ (√‘𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
125119, 14, 124syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2) ↔ ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴))))
126125biimpa 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝐴𝑐(1 / 2))↑2) = ((√‘𝐴)↑2)) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
127123, 126syldan 594 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) ∨ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
128127ord 861 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴)))
129128con1d 147 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (¬ (𝐴𝑐(1 / 2)) = -(√‘𝐴) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
130111, 129pm2.61d 182 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
131130ex 416 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴)))
13212, 131pm2.61dne 3076 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐(1 / 2)) = (√‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531  ici 10532   + caddc 10533   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  -cneg 10864   / cdiv 11290  2c2 11684  +crp 12381  cexp 13429  csqrt 14587  expce 15410  πcpi 15415  logclog 25149  𝑐ccxp 25150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473  df-log 25151  df-cxp 25152
This theorem is referenced by:  logsqrt  25298  dvsqrt  25334  dvcnsqrt  25336  resqrtcn  25341  sqrtcn  25342  sqrt2cxp2logb9e3  25388  efiatan  25501  efiatan2  25506  sqrtlim  25561  chpchtlim  26066  logdivsqrle  32029
  Copyright terms: Public domain W3C validator