MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpge0 26568
Description: Nonnegative exponentiation with a real exponent is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpge0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))

Proof of Theorem cxpge0
StepHypRef Expression
1 0re 11217 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
2 leloe 11301 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31, 2mpan 687 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
43adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
5 elrp 12979 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
6 rpcxpcl 26561 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℝ+)
76rpge0d 13023 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
87ex 412 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
95, 8sylbir 234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
109impancom 451 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
11 0le1 11738 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
12 0cn 11207 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
13 cxp0 26555 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (0↑𝑐0) = 1
1511, 14breqtrri 5168 . . . . . . . . 9 0 ≤ (0↑𝑐0)
16 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
1716oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 0) → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
1815, 17breqtrrid 5179 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 = 0) → 0 ≤ (0↑𝑐𝐵))
19 0le0 12314 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
20 recn 11199 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
21 0cxp 26551 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
2220, 21sylan 579 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
2319, 22breqtrrid 5179 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 0 ≤ (0↑𝑐𝐵))
2418, 23pm2.61dane 3023 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 0 ≤ (0↑𝑐𝐵))
2524adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (0↑𝑐𝐵))
26 oveq1 7411 . . . . . . 7 (0 = 𝐴 → (0↑𝑐𝐵) = (𝐴𝑐𝐵))
2726breq2d 5153 . . . . . 6 (0 = 𝐴 → (0 ≤ (0↑𝑐𝐵) ↔ 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
2825, 27syl5ibcom 244 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 = 𝐴 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
2910, 28jaod 856 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
304, 29sylbid 239 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵)))
31303impia 1114 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
32313com23 1123 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝑐𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  cc 11107  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   < clt 11249  cle 11250  +crp 12977  𝑐ccxp 26440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-cxp 26442
This theorem is referenced by:  abscxp2  26578  cxple2  26582  cxpge0d  26609  cxpaddlelem  26637
  Copyright terms: Public domain W3C validator