MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpef 24751
Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpef ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem cxpef
StepHypRef Expression
1 cxpval 24750 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
213adant2 1162 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
3 simp2 1168 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
43neneqd 2977 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ¬ 𝐴 = 0)
54iffalsed 4289 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
62, 5eqtrd 2834 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2972  ifcif 4278  cfv 6102  (class class class)co 6879  cc 10223  0cc0 10225  1c1 10226   · cmul 10230  expce 15127  logclog 24641  𝑐ccxp 24642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pr 5098  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-mulcl 10287  ax-i2m1 10293
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-nul 4117  df-if 4279  df-sn 4370  df-pr 4372  df-op 4376  df-uni 4630  df-br 4845  df-opab 4907  df-id 5221  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-cxp 24644
This theorem is referenced by:  cxpexpz  24753  logcxp  24755  1cxp  24758  ecxp  24759  rpcxpcl  24762  cxpne0  24763  cxpadd  24765  mulcxp  24771  cxpmul  24774  abscxp  24778  abscxp2  24779  cxplt  24780  cxple2  24783  cxpsqrtlem  24788  cxpsqrt  24789  cxpefd  24798  1cubrlem  24919  bposlem9  25368  iexpire  32134
  Copyright terms: Public domain W3C validator