Theorem cxpef 24632

Description: Value of the complex power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpef	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Proof of Theorem cxpef

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cxpval 24631	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
2	1	3adant2 1125	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))))
3		simp2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ≠ 0)
4	3	neneqd 2948	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ¬ 𝐴 = 0)
5	4	iffalsed 4237	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(𝐴 = 0, if(𝐵 = 0, 1, 0), (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴)))) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))
6	2, 5	eqtrd 2805	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (exp‘(𝐵 · (log‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ifcif 4226  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  ℂcc 10140  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  expce 14998  logclog 24522  ↑_𝑐ccxp 24523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-mulcl 10204  ax-i2m1 10210

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-cxp 24525

This theorem is referenced by:  cxpexpz  24634  logcxp  24636  1cxp  24639  ecxp  24640  rpcxpcl  24643  cxpne0  24644  cxpadd  24646  mulcxp  24652  cxpmul  24655  abscxp  24659  abscxp2  24660  cxplt  24661  cxple2  24664  cxpsqrtlem  24669  cxpsqrt  24670  cxpefd  24679  1cubrlem  24789  bposlem9  25238  iexpire  31959