Theorem cxpmul2 26645

Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 26644 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpmul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
2	1	oveq2d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)))
3		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))))
6		oveq2 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
7	6	oveq2d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))))
11		oveq2 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 7363	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
17	16	oveq2d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18		oveq2 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
19	17, 18	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
20	19	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))))
21		cxp0 26626	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐0) = 1)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
23		mul01 11303	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
25	24	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴↑𝑐0))
26		cxpcl 26630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
27	26	exp0d 14054	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0) = 1)
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
29		oveq1 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
30		0cn 11115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
31		cxp0 26626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑𝑐0) = 1
33		1t1e1 12293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) = 1
34	32, 33	eqtr4i 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑𝑐0) = (1 · 1)
35		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
37	36	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = (0 · (𝑘 + 1)))
38		nn0p1nn 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40	39	nncnd 12152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · (𝑘 + 1)) = 0)
43	37, 42	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = 0)
44	35, 43	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐0))
45	36	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = (0 · 𝑘))
46		nn0cn 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
49	48	mul02d 11322	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · 𝑘) = 0)
50	45, 49	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = 0)
51	35, 50	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = (0↑𝑐0))
52	51, 32	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = 1)
53	35, 36	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
54	53, 32	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = 1)
55	52, 54	oveq12d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (1 · 1))
56	34, 44, 55	3eqtr4a 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
57		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
59		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	59, 47	mulcld 11143	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
61	60	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
62		cxpcl 26630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
63	58, 61, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
64	63	mul01d 11323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0) = 0)
65		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
66	65	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
67	59	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
69		0cxp 26622	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
70	67, 68, 69	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
71	66, 70	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = 0)
72	71	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0))
73	65	oveq1d 7370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
74	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
75	67, 74	mulcld 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
76	39	nnne0d 12186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
77	76	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
78	67, 74, 68, 77	mulne0d 11780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
79		0cxp 26622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
80	75, 78, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
81	73, 80	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
82	64, 72, 81	3eqtr4rd 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
83	56, 82	pm2.61dane 3016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
84	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
85	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
86		1cnd 11118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	adddid 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
88	84	mulridd 11140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
89	88	oveq2d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
90	87, 89	eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
91	90	oveq2d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
92	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
93		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
94	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
95		cxpadd 26635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
96	92, 93, 94, 84, 95	syl211anc 1378	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
97	91, 96	eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
98	83, 97	pm2.61dane 3016	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
99		expp1 13982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
100	26, 99	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
101	98, 100	eqeq12d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵))))
102	29, 101	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
103	102	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
104	103	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
105	5, 10, 15, 20, 28, 104	nn0ind 12578	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
106	105	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
107	106	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  ↑cexp 13975  ↑_𝑐ccxp 26511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-pi 15986  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815  df-log 26512  df-cxp 26513

This theorem is referenced by:  cxproot  26646  cxpmul2z  26647  cxpmul2d  26665  logbgcd1irr  26751  cos9thpiminplylem4  33870