Theorem cxpmul2 25949

Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 25948 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpmul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
2	1	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)))
3		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0)))
5	4	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))))
6		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
7	6	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))))
11		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
17	16	oveq2d 7357	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18		oveq2 7349	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
19	17, 18	eqeq12d 2753	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
20	19	imbi2d 341	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))))
21		cxp0 25930	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐0) = 1)
22	21	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
23		mul01 11259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
24	23	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
25	24	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴↑𝑐0))
26		cxpcl 25934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
27	26	exp0d 13963	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0) = 1)
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
29		oveq1 7348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
30		0cn 11072	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
31		cxp0 25930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑𝑐0) = 1
33		1t1e1 12240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) = 1
34	32, 33	eqtr4i 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑𝑐0) = (1 · 1)
35		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
36		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
37	36	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = (0 · (𝑘 + 1)))
38		nn0p1nn 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
39	38	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40	39	nncnd 12094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · (𝑘 + 1)) = 0)
43	37, 42	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = 0)
44	35, 43	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐0))
45	36	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = (0 · 𝑘))
46		nn0cn 12348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
47	46	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
48	47	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
49	48	mul02d 11278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · 𝑘) = 0)
50	45, 49	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = 0)
51	35, 50	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = (0↑𝑐0))
52	51, 32	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = 1)
53	35, 36	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
54	53, 32	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = 1)
55	52, 54	oveq12d 7359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (1 · 1))
56	34, 44, 55	3eqtr4a 2803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
57		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
59		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	59, 47	mulcld 11100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
61	60	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
62		cxpcl 25934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
63	58, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
64	63	mul01d 11279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0) = 0)
65		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
66	65	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
67	59	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
68		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
69		0cxp 25926	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
70	67, 68, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
71	66, 70	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = 0)
72	71	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0))
73	65	oveq1d 7356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
74	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
75	67, 74	mulcld 11100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
76	39	nnne0d 12128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
77	76	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
78	67, 74, 68, 77	mulne0d 11732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
79		0cxp 25926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
80	75, 78, 79	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
81	73, 80	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
82	64, 72, 81	3eqtr4rd 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
83	56, 82	pm2.61dane 3030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
84	59	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
85	47	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
86		1cnd 11075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	adddid 11104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
88	84	mulid1d 11097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
89	88	oveq2d 7357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
90	87, 89	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
91	90	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
92	57	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
93		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
94	60	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
95		cxpadd 25939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
96	92, 93, 94, 84, 95	syl211anc 1376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
97	91, 96	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
98	83, 97	pm2.61dane 3030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
99		expp1 13894	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
100	26, 99	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
101	98, 100	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵))))
102	29, 101	syl5ibr 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
103	102	expcom 415	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
104	103	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
105	5, 10, 15, 20, 28, 104	nn0ind 12520	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
106	105	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
107	106	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941  (class class class)co 7341  ℂcc 10974  0cc0 10976  1c1 10977   + caddc 10979   · cmul 10981  ℕcn 12078  ℕ₀cn0 12338  ↑cexp 13887  ↑_𝑐ccxp 25816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054  ax-addf 11055  ax-mulf 11056

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-supp 8052  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-2o 8372  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-ixp 8761  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-fsupp 9231  df-fi 9272  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-dec 12543  df-uz 12688  df-q 12794  df-rp 12836  df-xneg 12953  df-xadd 12954  df-xmul 12955  df-ioo 13188  df-ioc 13189  df-ico 13190  df-icc 13191  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-mod 13695  df-seq 13827  df-exp 13888  df-fac 14093  df-bc 14122  df-hash 14150  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879  df-pi 15881  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-hom 17083  df-cco 17084  df-rest 17230  df-topn 17231  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-topgen 17251  df-pt 17252  df-prds 17255  df-xrs 17310  df-qtop 17315  df-imas 17316  df-xps 17318  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-mulg 18797  df-cntz 19019  df-cmn 19483  df-psmet 20694  df-xmet 20695  df-met 20696  df-bl 20697  df-mopn 20698  df-fbas 20699  df-fg 20700  df-cnfld 20703  df-top 22148  df-topon 22165  df-topsp 22187  df-bases 22201  df-cld 22275  df-ntr 22276  df-cls 22277  df-nei 22354  df-lp 22392  df-perf 22393  df-cn 22483  df-cnp 22484  df-haus 22571  df-tx 22818  df-hmeo 23011  df-fil 23102  df-fm 23194  df-flim 23195  df-flf 23196  df-xms 23578  df-ms 23579  df-tms 23580  df-cncf 24146  df-limc 25135  df-dv 25136  df-log 25817  df-cxp 25818

This theorem is referenced by:  cxproot  25950  cxpmul2z  25951  cxpmul2d  25969  logbgcd1irr  26049