Theorem cxpmul2 26653

Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 26652 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpmul2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2

Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
2	1	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)))
3		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
4	2, 3	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0)))
5	4	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))))
6		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
7	6	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))
9	7, 8	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)))
10	9	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘))))
11		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
12	11	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
14	12, 13	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16		oveq2 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
17	16	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))
19	17, 18	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
20	19	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))))
21		cxp0 26634	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑𝑐0) = 1)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐0) = 1)
23		mul01 11325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
25	24	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴↑𝑐0))
26		cxpcl 26638	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ)
27	26	exp0d 14102	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0) = 1)
28	22, 25, 27	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑0))
29		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
30		0cn 11136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℂ
31		cxp0 26634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0↑𝑐0) = 1
33		1t1e1 12338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 1) = 1
34	32, 33	eqtr4i 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0↑𝑐0) = (1 · 1)
35		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
37	36	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = (0 · (𝑘 + 1)))
38		nn0p1nn 12476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40	39	nncnd 12190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
41	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
42	41	mul02d 11344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · (𝑘 + 1)) = 0)
43	37, 42	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = 0)
44	35, 43	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐0))
45	36	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = (0 · 𝑘))
46		nn0cn 12447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℂ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
48	47	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
49	48	mul02d 11344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · 𝑘) = 0)
50	45, 49	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = 0)
51	35, 50	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = (0↑𝑐0))
52	51, 32	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = 1)
53	35, 36	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
54	53, 32	eqtrdi 2787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = 1)
55	52, 54	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (1 · 1))
56	34, 44, 55	3eqtr4a 2797	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
57		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
58	57	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
59		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
60	59, 47	mulcld 11165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
61	60	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
62		cxpcl 26638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
63	58, 61, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
64	63	mul01d 11345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0) = 0)
65		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
66	65	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
67	59	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
68		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
69		0cxp 26630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
70	67, 68, 69	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
71	66, 70	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = 0)
72	71	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0))
73	65	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
74	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
75	67, 74	mulcld 11165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
76	39	nnne0d 12227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
77	76	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
78	67, 74, 68, 77	mulne0d 11802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
79		0cxp 26630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
80	75, 78, 79	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
81	73, 80	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
82	64, 72, 81	3eqtr4rd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
83	56, 82	pm2.61dane 3019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
84	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
85	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
86		1cnd 11139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
87	84, 85, 86	adddid 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
88	84	mulridd 11162	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
89	88	oveq2d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
90	87, 89	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
91	90	oveq2d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
92	57	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
93		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
94	60	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
95		cxpadd 26643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
96	92, 93, 94, 84, 95	syl211anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
97	91, 96	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
98	83, 97	pm2.61dane 3019	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
99		expp1 14030	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
100	26, 99	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵)))
101	98, 100	eqeq12d 2752	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴↑𝑐𝐵)) = (((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴↑𝑐𝐵))))
102	29, 101	imbitrrid 246	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
103	102	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
104	103	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
105	5, 10, 15, 20, 28, 104	nn0ind 12624	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
106	105	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶)))
107	106	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴↑𝑐𝐵)↑𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023  ↑_𝑐ccxp 26519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-cxp 26521

This theorem is referenced by:  cxproot  26654  cxpmul2z  26655  cxpmul2d  26673  logbgcd1irr  26758  cos9thpiminplylem4  33929