MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpmul2 26746
Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 26745 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpmul2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
21oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 0)))
3 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))
42, 3eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0)))
54imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))))
6 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
76oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘)))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘))))
11 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
1716oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))
1917, 18eqeq12d 2751 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
2019imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))))
21 cxp0 26727 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐0) = 1)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐0) = 1)
23 mul01 11438 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
2524oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴𝑐0))
26 cxpcl 26731 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
2726exp0d 14177 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵)↑0) = 1)
2822, 25, 273eqtr4d 2785 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))
29 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
30 0cn 11251 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
31 cxp0 26727 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0↑𝑐0) = 1
33 1t1e1 12426 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) = 1
3432, 33eqtr4i 2766 . . . . . . . . . . 11 (0↑𝑐0) = (1 · 1)
35 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
3736oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = (0 · (𝑘 + 1)))
38 nn0p1nn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4039nncnd 12280 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4241mul02d 11457 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · (𝑘 + 1)) = 0)
4337, 42eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = 0)
4435, 43oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐0))
4536oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = (0 · 𝑘))
46 nn0cn 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
4847ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
4948mul02d 11457 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · 𝑘) = 0)
5045, 49eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = 0)
5135, 50oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = (0↑𝑐0))
5251, 32eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = 1)
5335, 36oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
5453, 32eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 1)
5552, 54oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (1 · 1))
5634, 44, 553eqtr4a 2801 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
57 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
59 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6059, 47mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
6160ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
62 cxpcl 26731 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6358, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6463mul01d 11458 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0) = 0)
65 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
6665oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
6759ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
69 0cxp 26723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
7166, 70eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 0)
7271oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0))
7365oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
7440ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7567, 74mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7639nnne0d 12314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7776ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7867, 74, 68, 77mulne0d 11913 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
79 0cxp 26723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8075, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8173, 80eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8264, 72, 813eqtr4rd 2786 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
8356, 82pm2.61dane 3027 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
8459adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
8547adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
86 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
8784, 85, 86adddid 11283 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
8884mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
8988oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
9087, 89eqtrd 2775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
9190oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
9257adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
93 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
9460adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
95 cxpadd 26736 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9692, 93, 94, 84, 95syl211anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9791, 96eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9883, 97pm2.61dane 3027 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
99 expp1 14106 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
10026, 99sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
10198, 100eqeq12d 2751 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵))))
10229, 101imbitrrid 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
103102expcom 413 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
104103a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
1055, 10, 15, 20, 28, 104nn0ind 12711 . . 3 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
106105com12 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
1071063impia 1116 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  0cn0 12524  cexp 14099  𝑐ccxp 26612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-cxp 26614
This theorem is referenced by:  cxproot  26747  cxpmul2z  26748  cxpmul2d  26766  logbgcd1irr  26852
  Copyright terms: Public domain W3C validator