MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpmul2 25185
Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 25184 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpmul2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7156 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
21oveq2d 7164 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 0)))
3 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))
42, 3eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0)))
54imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))))
6 oveq2 7156 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
76oveq2d 7164 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘)))
109imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘))))
11 oveq2 7156 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 7164 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 7156 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
1716oveq2d 7164 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))
1917, 18eqeq12d 2842 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
2019imbi2d 342 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))))
21 cxp0 25166 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐0) = 1)
2221adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐0) = 1)
23 mul01 10808 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
2423adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
2524oveq2d 7164 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴𝑐0))
26 cxpcl 25170 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
2726exp0d 13494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵)↑0) = 1)
2822, 25, 273eqtr4d 2871 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))
29 oveq1 7155 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
30 0cn 10622 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
31 cxp0 25166 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0↑𝑐0) = 1
33 1t1e1 11788 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) = 1
3432, 33eqtr4i 2852 . . . . . . . . . . 11 (0↑𝑐0) = (1 · 1)
35 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
3736oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = (0 · (𝑘 + 1)))
38 nn0p1nn 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4039nncnd 11643 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4241mul02d 10827 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · (𝑘 + 1)) = 0)
4337, 42eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = 0)
4435, 43oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐0))
4536oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = (0 · 𝑘))
46 nn0cn 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
4847ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
4948mul02d 10827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · 𝑘) = 0)
5045, 49eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = 0)
5135, 50oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = (0↑𝑐0))
5251, 32syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = 1)
5335, 36oveq12d 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
5453, 32syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 1)
5552, 54oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (1 · 1))
5634, 44, 553eqtr4a 2887 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
57 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5857ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
59 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6059, 47mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
6160ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
62 cxpcl 25170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6358, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6463mul01d 10828 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0) = 0)
65 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
6665oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
6759ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
68 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
69 0cxp 25162 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
7166, 70eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 0)
7271oveq2d 7164 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0))
7365oveq1d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
7440ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7567, 74mulcld 10650 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7639nnne0d 11676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7776ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7867, 74, 68, 77mulne0d 11281 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
79 0cxp 25162 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8075, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8173, 80eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8264, 72, 813eqtr4rd 2872 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
8356, 82pm2.61dane 3109 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
8459adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
8547adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
86 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
8784, 85, 86adddid 10654 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
8884mulid1d 10647 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
8988oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
9087, 89eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
9190oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
9257adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
93 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
9460adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
95 cxpadd 25175 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9692, 93, 94, 84, 95syl211anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9791, 96eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9883, 97pm2.61dane 3109 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
99 expp1 13426 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
10026, 99sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
10198, 100eqeq12d 2842 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵))))
10229, 101syl5ibr 247 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
103102expcom 414 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
104103a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
1055, 10, 15, 20, 28, 104nn0ind 12066 . . 3 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
106105com12 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
1071063impia 1111 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  (class class class)co 7148  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  cn 11627  0cn0 11886  cexp 13419  𝑐ccxp 25052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-mulg 18155  df-cntz 18377  df-cmn 18828  df-psmet 20453  df-xmet 20454  df-met 20455  df-bl 20456  df-mopn 20457  df-fbas 20458  df-fg 20459  df-cnfld 20462  df-top 21418  df-topon 21435  df-topsp 21457  df-bases 21470  df-cld 21543  df-ntr 21544  df-cls 21545  df-nei 21622  df-lp 21660  df-perf 21661  df-cn 21751  df-cnp 21752  df-haus 21839  df-tx 22086  df-hmeo 22279  df-fil 22370  df-fm 22462  df-flim 22463  df-flf 22464  df-xms 22845  df-ms 22846  df-tms 22847  df-cncf 23401  df-limc 24379  df-dv 24380  df-log 25053  df-cxp 25054
This theorem is referenced by:  cxproot  25186  cxpmul2z  25187  cxpmul2d  25205  logbgcd1irr  25285
  Copyright terms: Public domain W3C validator