MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpmul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpmul2 26731
Description: Product of exponents law for complex exponentiation. Variation on cxpmul 26730 with more general conditions on 𝐴 and 𝐵 when 𝐶 is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpmul2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))

Proof of Theorem cxpmul2
Dummy variables 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 0))
21oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 0)))
3 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))
42, 3eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0)))
54imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))))
6 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝑘))
76oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)))
8 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘)))
109imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘))))
11 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · (𝑘 + 1)))
1211oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
13 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐶 → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · 𝐶))
1716oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)))
18 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))
1917, 18eqeq12d 2753 . . . . 5 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥) ↔ (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
2019imbi2d 340 . . . 4 (𝑥 = 𝐶 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑥)) ↔ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))))
21 cxp0 26712 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴𝑐0) = 1)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐0) = 1)
23 mul01 11440 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → (𝐵 · 0) = 0)
2423adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 · 0) = 0)
2524oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = (𝐴𝑐0))
26 cxpcl 26716 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ)
2726exp0d 14180 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐𝐵)↑0) = 1)
2822, 25, 273eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 0)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑0))
29 oveq1 7438 . . . . . . 7 ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
30 0cn 11253 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℂ
31 cxp0 26712 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ ℂ → (0↑𝑐0) = 1)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (0↑𝑐0) = 1
33 1t1e1 12428 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) = 1
3432, 33eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 (0↑𝑐0) = (1 · 1)
35 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
3736oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = (0 · (𝑘 + 1)))
38 nn0p1nn 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
4039nncnd 12282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
4241mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · (𝑘 + 1)) = 0)
4337, 42eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = 0)
4435, 43oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐0))
4536oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = (0 · 𝑘))
46 nn0cn 12536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℂ)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℂ)
4847ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
4948mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (0 · 𝑘) = 0)
5045, 49eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵 · 𝑘) = 0)
5135, 50oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = (0↑𝑐0))
5251, 32eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = 1)
5335, 36oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
5453, 32eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 1)
5552, 54oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (1 · 1))
5634, 44, 553eqtr4a 2803 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
57 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
5857ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
59 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℂ)
6059, 47mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
6160ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
62 cxpcl 26716 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6358, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) ∈ ℂ)
6463mul01d 11460 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0) = 0)
65 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 = 0)
6665oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
6759ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
68 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
69 0cxp 26708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
7067, 68, 69syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
7166, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = 0)
7271oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · 0))
7365oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))))
7440ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
7567, 74mulcld 11281 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
7639nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7776ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
7867, 74, 68, 77mulne0d 11915 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0)
79 0cxp 26708 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 · (𝑘 + 1)) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · (𝑘 + 1)) ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8075, 78, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8173, 80eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = 0)
8264, 72, 813eqtr4rd 2788 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
8356, 82pm2.61dane 3029 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
8459adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
8547adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℂ)
86 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 1 ∈ ℂ)
8784, 85, 86adddid 11285 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)))
8884mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 1) = 𝐵)
8988oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐵 · 𝑘) + (𝐵 · 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
9087, 89eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · (𝑘 + 1)) = ((𝐵 · 𝑘) + 𝐵))
9190oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)))
9257adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
93 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
9460adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ)
95 cxpadd 26721 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9692, 93, 94, 84, 95syl211anc 1378 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐((𝐵 · 𝑘) + 𝐵)) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9791, 96eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
9883, 97pm2.61dane 3029 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)))
99 expp1 14109 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝑐𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
10026, 99sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵)))
10198, 100eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)) ↔ ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) · (𝐴𝑐𝐵)) = (((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) · (𝐴𝑐𝐵))))
10229, 101imbitrrid 246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1))))
103102expcom 413 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
104103a2d 29 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝑘)) → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · (𝑘 + 1))) = ((𝐴𝑐𝐵)↑(𝑘 + 1)))))
1055, 10, 15, 20, 28, 104nn0ind 12713 . . 3 (𝐶 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
106105com12 32 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶)))
1071063impia 1118 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐(𝐵 · 𝐶)) = ((𝐴𝑐𝐵)↑𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cn 12266  0cn0 12526  cexp 14102  𝑐ccxp 26597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598  df-cxp 26599
This theorem is referenced by:  cxproot  26732  cxpmul2z  26733  cxpmul2d  26751  logbgcd1irr  26837
  Copyright terms: Public domain W3C validator