MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxple2 25267
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxple2
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpr 488 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
31, 2elrpd 12406 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43adantr 484 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
65ad2antrr 725 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 488 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
86, 7elrpd 12406 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9 simp3 1135 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 725 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1211rpred 12409 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
13 relogcl 25146 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14133ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 10648 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 relogcl 25146 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
17163ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1812, 17remulcld 10648 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ)
19 efle 15450 . . . . . 6 (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
2015, 18, 19syl2anc 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
21 efle 15450 . . . . . . 7 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2214, 17, 21syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2314, 17, 11lemul2d 12453 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
24 reeflog 25151 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
25243ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
26 reeflog 25151 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
27263ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2825, 27breq12d 5052 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
2922, 23, 283bitr3rd 313 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
30 rpre 12375 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
3231recnd 10646 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
33 rpne0 12383 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
34333ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
3512recnd 10646 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 cxpef 25235 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
3732, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
38 rpre 12375 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
39383ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 10646 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
41 rpne0 12383 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
42413ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
43 cxpef 25235 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4440, 42, 35, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4537, 44breq12d 5052 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
4620, 29, 453bitr4d 314 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
474, 8, 10, 46syl3anc 1368 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
48 0re 10620 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
49 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 ltnle 10697 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5148, 49, 50sylancr 590 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5251biimpa 480 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 0)
539rpred 12409 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
5453adantr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
55 rpcxpcl 25246 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
563, 54, 55syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
57 rpgt0 12379 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐴𝑐𝐶))
58 rpre 12375 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ)
59 ltnle 10697 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6048, 58, 59sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6157, 60mpbid 235 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6256, 61syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6353recnd 10646 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
649rpne0d 12414 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
65 0cxp 25236 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6663, 64, 65syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6766adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6867breq2d 5051 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6962, 68mtbird 328 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶))
7052, 692falsed 380 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)))
71 breq2 5043 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
72 oveq1 7137 . . . . . . 7 (0 = 𝐵 → (0↑𝑐𝐶) = (𝐵𝑐𝐶))
7372breq2d 5051 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
7471, 73bibi12d 349 . . . . 5 (0 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)) ↔ (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7570, 74syl5ibcom 248 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 = 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7675imp 410 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
77 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
78 leloe 10704 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
7948, 5, 78sylancr 590 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
8077, 79mpbid 235 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8180adantr 484 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8247, 76, 81mpjaodan 956 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
83 simpr 488 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
84 simpl2r 1224 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
8583, 84eqbrtrrd 5063 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴𝐵)
8666adantr 484 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
8783oveq1d 7145 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = (𝐴𝑐𝐶))
8886, 87eqtr3d 2858 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴𝑐𝐶))
89 simpl2l 1223 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9053adantr 484 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
91 cxpge0 25253 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9289, 84, 90, 91syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9388, 92eqbrtrrd 5063 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9485, 932thd 268 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
95 simp1r 1195 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
96 leloe 10704 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9748, 49, 96sylancr 590 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9895, 97mpbid 235 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
9982, 94, 98mpjaodan 956 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007   class class class wbr 5039  cfv 6328  (class class class)co 7130  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514   · cmul 10519   < clt 10652  cle 10653  +crp 12367  expce 15394  logclog 25125  𝑐ccxp 25126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ioc 12721  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-bc 13647  df-hash 13675  df-shft 14405  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-ef 15400  df-sin 15402  df-cos 15403  df-pi 15405  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449  df-log 25127  df-cxp 25128
This theorem is referenced by:  cxplt2  25268  cxple2a  25269  cxple2d  25297
  Copyright terms: Public domain W3C validator