MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxple2 26727
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxple2
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1221 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
31, 2elrpd 13069 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43adantr 479 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
65ad2antrr 724 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 483 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
86, 7elrpd 13069 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9 simp3 1135 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 724 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1211rpred 13072 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
13 relogcl 26605 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14133ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 11296 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 relogcl 26605 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
17163ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1812, 17remulcld 11296 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ)
19 efle 16122 . . . . . 6 (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
2015, 18, 19syl2anc 582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
21 efle 16122 . . . . . . 7 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2214, 17, 21syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2314, 17, 11lemul2d 13116 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
24 reeflog 26610 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
25243ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
26 reeflog 26610 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
27263ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2825, 27breq12d 5168 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
2922, 23, 283bitr3rd 309 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
30 rpre 13038 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
3231recnd 11294 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
33 rpne0 13046 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
34333ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
3512recnd 11294 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 cxpef 26695 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
3732, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
38 rpre 13038 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
39383ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 11294 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
41 rpne0 13046 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
42413ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
43 cxpef 26695 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4440, 42, 35, 43syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4537, 44breq12d 5168 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
4620, 29, 453bitr4d 310 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
474, 8, 10, 46syl3anc 1368 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
48 0re 11268 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
49 simp1l 1194 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 ltnle 11345 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5148, 49, 50sylancr 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5251biimpa 475 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 0)
539rpred 13072 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
5453adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
55 rpcxpcl 26706 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
563, 54, 55syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
57 rpgt0 13042 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐴𝑐𝐶))
58 rpre 13038 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ)
59 ltnle 11345 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6048, 58, 59sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6157, 60mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6256, 61syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6353recnd 11294 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
649rpne0d 13077 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
65 0cxp 26696 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6663, 64, 65syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6766adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6867breq2d 5167 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6962, 68mtbird 324 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶))
7052, 692falsed 375 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)))
71 breq2 5159 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
72 oveq1 7433 . . . . . . 7 (0 = 𝐵 → (0↑𝑐𝐶) = (𝐵𝑐𝐶))
7372breq2d 5167 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
7471, 73bibi12d 344 . . . . 5 (0 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)) ↔ (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7570, 74syl5ibcom 244 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 = 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7675imp 405 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
77 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
78 leloe 11352 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
7948, 5, 78sylancr 585 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
8077, 79mpbid 231 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8180adantr 479 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8247, 76, 81mpjaodan 956 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
83 simpr 483 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
84 simpl2r 1224 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
8583, 84eqbrtrrd 5179 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴𝐵)
8666adantr 479 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
8783oveq1d 7441 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = (𝐴𝑐𝐶))
8886, 87eqtr3d 2768 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴𝑐𝐶))
89 simpl2l 1223 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9053adantr 479 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
91 cxpge0 26713 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9289, 84, 90, 91syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9388, 92eqbrtrrd 5179 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9485, 932thd 264 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
95 simp1r 1195 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
96 leloe 11352 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9748, 49, 96sylancr 585 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9895, 97mpbid 231 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
9982, 94, 98mpjaodan 956 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930   class class class wbr 5155  cfv 6556  (class class class)co 7426  cc 11158  cr 11159  0cc0 11160   · cmul 11165   < clt 11300  cle 11301  +crp 13030  expce 16065  logclog 26584  𝑐ccxp 26585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237  ax-pre-sup 11238  ax-addf 11239
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8177  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-2o 8499  df-er 8736  df-map 8859  df-pm 8860  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9408  df-fi 9456  df-sup 9487  df-inf 9488  df-oi 9555  df-card 9984  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11924  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12613  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12987  df-rp 13031  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13384  df-ioc 13385  df-ico 13386  df-icc 13387  df-fz 13541  df-fzo 13684  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14024  df-exp 14084  df-fac 14293  df-bc 14322  df-hash 14350  df-shft 15074  df-cj 15106  df-re 15107  df-im 15108  df-sqrt 15242  df-abs 15243  df-limsup 15475  df-clim 15492  df-rlim 15493  df-sum 15693  df-ef 16071  df-sin 16073  df-cos 16074  df-pi 16076  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-starv 17283  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-ip 17286  df-tset 17287  df-ple 17288  df-ds 17290  df-unif 17291  df-hom 17292  df-cco 17293  df-rest 17439  df-topn 17440  df-0g 17458  df-gsum 17459  df-topgen 17460  df-pt 17461  df-prds 17464  df-xrs 17519  df-qtop 17524  df-imas 17525  df-xps 17527  df-mre 17601  df-mrc 17602  df-acs 17604  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-submnd 18776  df-mulg 19064  df-cntz 19313  df-cmn 19782  df-psmet 21337  df-xmet 21338  df-met 21339  df-bl 21340  df-mopn 21341  df-fbas 21342  df-fg 21343  df-cnfld 21346  df-top 22890  df-topon 22907  df-topsp 22929  df-bases 22943  df-cld 23017  df-ntr 23018  df-cls 23019  df-nei 23096  df-lp 23134  df-perf 23135  df-cn 23225  df-cnp 23226  df-haus 23313  df-tx 23560  df-hmeo 23753  df-fil 23844  df-fm 23936  df-flim 23937  df-flf 23938  df-xms 24320  df-ms 24321  df-tms 24322  df-cncf 24892  df-limc 25889  df-dv 25890  df-log 26586  df-cxp 26587
This theorem is referenced by:  cxplt2  26728  cxple2a  26729  cxple2d  26757
  Copyright terms: Public domain W3C validator