MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxple2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxple2 24849
Description: Ordering property for complex exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxple2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))

Proof of Theorem cxple2
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1297 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
2 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 0 < 𝐴)
31, 2elrpd 12160 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
43adantr 474 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ+)
5 simp2l 1260 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
65ad2antrr 717 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 simpr 479 . . . . 5 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 0 < 𝐵)
86, 7elrpd 12160 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
9 simp3 1172 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
109ad2antrr 717 . . . 4 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ+)
11 simp3 1172 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
1211rpred 12163 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
13 relogcl 24728 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
14133ad2ant1 1167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
1512, 14remulcld 10394 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
16 relogcl 24728 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
17163ad2ant2 1168 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
1812, 17remulcld 10394 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ)
19 efle 15227 . . . . . 6 (((𝐶 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 · (log‘𝐵)) ∈ ℝ) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
2015, 18, 19syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵)) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
21 efle 15227 . . . . . . 7 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (log‘𝐵) ∈ ℝ) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2214, 17, 21syl2anc 579 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵))))
2314, 17, 11lemul2d 12207 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) ≤ (log‘𝐵) ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
24 reeflog 24733 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
25243ad2ant1 1167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
26 reeflog 24733 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
27263ad2ant2 1168 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (exp‘(log‘𝐵)) = 𝐵)
2825, 27breq12d 4888 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((exp‘(log‘𝐴)) ≤ (exp‘(log‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
2922, 23, 283bitr3rd 302 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 · (log‘𝐴)) ≤ (𝐶 · (log‘𝐵))))
30 rpre 12127 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1167 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
3231recnd 10392 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℂ)
33 rpne0 12137 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ+𝐴 ≠ 0)
34333ad2ant1 1167 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≠ 0)
3512recnd 10392 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
36 cxpef 24817 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
3732, 34, 35, 36syl3anc 1494 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))))
38 rpre 12127 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ)
39383ad2ant2 1168 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4039recnd 10392 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
41 rpne0 12137 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ≠ 0)
42413ad2ant2 1168 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐵 ≠ 0)
43 cxpef 24817 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4440, 42, 35, 43syl3anc 1494 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵𝑐𝐶) = (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵))))
4537, 44breq12d 4888 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶) ↔ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐴))) ≤ (exp‘(𝐶 · (log‘𝐵)))))
4620, 29, 453bitr4d 303 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
474, 8, 10, 46syl3anc 1494 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 < 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
48 0re 10365 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
49 simp1l 1258 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
50 ltnle 10443 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5148, 49, 50sylancr 581 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ 0))
5251biimpa 470 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ 𝐴 ≤ 0)
539rpred 12163 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
5453adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
55 rpcxpcl 24828 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
563, 54, 55syl2anc 579 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+)
57 rpgt0 12133 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → 0 < (𝐴𝑐𝐶))
58 rpre 12127 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ)
59 ltnle 10443 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ) → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6048, 58, 59sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → (0 < (𝐴𝑐𝐶) ↔ ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6157, 60mpbid 224 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑐𝐶) ∈ ℝ+ → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6256, 61syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0)
6353recnd 10392 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℂ)
649rpne0d 12168 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≠ 0)
65 0cxp 24818 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6663, 64, 65syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6766adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
6867breq2d 4887 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ 0))
6962, 68mtbird 317 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → ¬ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶))
7052, 692falsed 368 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)))
71 breq2 4879 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → (𝐴 ≤ 0 ↔ 𝐴𝐵))
72 oveq1 6917 . . . . . . 7 (0 = 𝐵 → (0↑𝑐𝐶) = (𝐵𝑐𝐶))
7372breq2d 4887 . . . . . 6 (0 = 𝐵 → ((𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶) ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
7471, 73bibi12d 337 . . . . 5 (0 = 𝐵 → ((𝐴 ≤ 0 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (0↑𝑐𝐶)) ↔ (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7570, 74syl5ibcom 237 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 = 𝐵 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))))
7675imp 397 . . 3 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) ∧ 0 = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
77 simp2r 1261 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐵)
78 leloe 10450 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
7948, 5, 78sylancr 581 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵)))
8077, 79mpbid 224 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8180adantr 474 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (0 < 𝐵 ∨ 0 = 𝐵))
8247, 76, 81mpjaodan 986 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
83 simpr 479 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = 𝐴)
84 simpl2r 1303 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
8583, 84eqbrtrrd 4899 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐴𝐵)
8666adantr 474 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = 0)
8783oveq1d 6925 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (0↑𝑐𝐶) = (𝐴𝑐𝐶))
8886, 87eqtr3d 2863 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 = (𝐴𝑐𝐶))
89 simpl2l 1301 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
9053adantr 474 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
91 cxpge0 24835 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐶 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9289, 84, 90, 91syl3anc 1494 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → 0 ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9388, 92eqbrtrrd 4899 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶))
9485, 932thd 257 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ 0 = 𝐴) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
95 simp1r 1259 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
96 leloe 10450 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9748, 49, 96sylancr 581 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
9895, 97mpbid 224 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
9982, 94, 98mpjaodan 986 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑐𝐶) ≤ (𝐵𝑐𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399  +crp 12119  expce 15171  logclog 24707  𝑐ccxp 24708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-pi 15182  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037  df-log 24709  df-cxp 24710
This theorem is referenced by:  cxplt2  24850  cxple2a  24851  cxple2d  24879
  Copyright terms: Public domain W3C validator