Theorem cxpexp 25728

Description: Relate the complex power function to the integer power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Proof of Theorem cxpexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12165	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		nncn 11911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nnne0 11937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4		0cxp 25726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = 0)
6		0exp 13746	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝐵) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
8		0cn 10898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		cxpval 25724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))))
10	8, 8, 9	mp2an 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0))))
11		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = 0
12	11	iftruei 4463	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))) = if(0 = 0, 1, 0)
13	11	iftruei 4463	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, 1, 0) = 1
14	10, 12, 13	3eqtri 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑𝑐0) = 1
15		0exp0e1 13715	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) = 1
16	14, 15	eqtr4i 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑𝑐0) = (0↑0)
17		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
18		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝐵) = (0↑0))
19	16, 17, 18	3eqtr4a 2805	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
20	7, 19	jaoi 853	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
21	1, 20	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
22		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
23		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝐵) = (0↑𝐵))
24	22, 23	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵) ↔ (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵)))
25	21, 24	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
27	26	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
28		nn0z 12273	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
29		cxpexpz 25727	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
30	29	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
31	28, 30	sylan2 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
32	31	an32s 648	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
33	27, 32	pm2.61dane 3031	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ifcif 4456  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ↑cexp 13710  expce 15699  logclog 25615  ↑_𝑐ccxp 25616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-cxp 25618

This theorem is referenced by:  cxp0  25730  cxp1  25731  root1id  25812  dfef2  26025  zetacvg  26069  sgmppw  26250  chpchtsum  26272  logexprlim  26278  dchrabs  26313  bposlem5  26341  bposlem6  26342  ostth2lem3  26688  aks4d1p1p2  40006  aks4d1p1p4  40007  binomcxplemnn0  41856  binomcxplemnotnn0  41863  etransclem46  43711