Theorem cxpexp 26615

Description: Relate the complex power function to the integer power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Proof of Theorem cxpexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12505	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		nncn 12251	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nnne0 12277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4		0cxp 26613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = 0)
6		0exp 14095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝐵) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
8		0cn 11237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		cxpval 26611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))))
10	8, 8, 9	mp2an 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0))))
11		eqid 2728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = 0
12	11	iftruei 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))) = if(0 = 0, 1, 0)
13	11	iftruei 4536	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, 1, 0) = 1
14	10, 12, 13	3eqtri 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑𝑐0) = 1
15		0exp0e1 14064	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) = 1
16	14, 15	eqtr4i 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑𝑐0) = (0↑0)
17		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
18		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝐵) = (0↑0))
19	16, 17, 18	3eqtr4a 2794	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
20	7, 19	jaoi 856	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
21	1, 20	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
22		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
23		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝐵) = (0↑𝐵))
24	22, 23	eqeq12d 2744	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵) ↔ (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵)))
25	21, 24	syl5ibrcom 246	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
26	25	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
27	26	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
28		nn0z 12614	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
29		cxpexpz 26614	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
30	29	3expa 1116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
31	28, 30	sylan2 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
32	31	an32s 651	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
33	27, 32	pm2.61dane 3026	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ifcif 4529  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   · cmul 11144  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12589  ↑cexp 14059  expce 16038  logclog 26501  ↑_𝑐ccxp 26502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504

This theorem is referenced by:  cxp0  26617  cxp1  26618  root1id  26702  dfef2  26916  zetacvg  26960  sgmppw  27143  chpchtsum  27165  logexprlim  27171  dchrabs  27206  bposlem5  27234  bposlem6  27235  ostth2lem3  27581  aks4d1p1p2  41541  aks4d1p1p4  41542  binomcxplemnn0  43786  binomcxplemnotnn0  43793  etransclem46  45668