Theorem cxpexp 26809

Description: Relate the complex power function to the integer power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Proof of Theorem cxpexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12505	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		nncn 12240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nnne0 12269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4		0cxp 26807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = 0)
6		0exp 14133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝐵) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
8		0cn 11197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		cxpval 26805	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))))
10	8, 8, 9	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0))))
11		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = 0
12	11	iftruei 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))) = if(0 = 0, 1, 0)
13	11	iftruei 4493	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, 1, 0) = 1
14	10, 12, 13	3eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑𝑐0) = 1
15		0exp0e1 14102	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) = 1
16	14, 15	eqtr4i 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑𝑐0) = (0↑0)
17		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
18		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝐵) = (0↑0))
19	16, 17, 18	3eqtr4a 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
20	7, 19	jaoi 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
21	1, 20	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
22		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
23		oveq1 7417	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝐵) = (0↑𝐵))
24	22, 23	eqeq12d 2777	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵) ↔ (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵)))
25	21, 24	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
26	25	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
27	26	imp 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
28		nn0z 12614	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
29		cxpexpz 26808	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
30	29	3expa 1134	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
31	28, 30	sylan2 604	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
32	31	an32s 664	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
33	27, 32	pm2.61dane 3043	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ifcif 4486  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11097  0cc0 11099  1c1 11100   · cmul 11104  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590  ↑cexp 14097  expce 16114  logclog 26695  ↑_𝑐ccxp 26696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15104  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-limsup 15522  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-ef 16120  df-sin 16122  df-cos 16123  df-pi 16125  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-hom 17333  df-cco 17334  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-pt 17496  df-prds 17499  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-mulg 19133  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-psmet 21493  df-xmet 21494  df-met 21495  df-bl 21496  df-mopn 21497  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-cld 23155  df-ntr 23156  df-cls 23157  df-nei 23234  df-lp 23272  df-perf 23273  df-cn 23363  df-cnp 23364  df-haus 23451  df-tx 23698  df-hmeo 23891  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-xms 24456  df-ms 24457  df-tms 24458  df-cncf 25016  df-limc 26004  df-dv 26005  df-log 26697  df-cxp 26698

This theorem is referenced by:  cxp0  26811  cxp1  26812  root1id  26895  dfef2  27111  zetacvg  27155  sgmppw  27337  chpchtsum  27359  logexprlim  27365  dchrabs  27400  bposlem5  27428  bposlem6  27429  ostth2lem3  27775  2sqr3minply  34136  aks4d1p1p2  42805  aks4d1p1p4  42806  binomcxplemnn0  45029  binomcxplemnotnn0  45036  etransclem46  46964