MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpexp 24636
Description: Relate the complex power function to the integer power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem cxpexp
StepHypRef Expression
1 elnn0 11497 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2 nncn 11231 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 nnne0 11256 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4 0cxp 24634 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
52, 3, 4syl2anc 567 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = 0)
6 0exp 13103 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝐵) = 0)
75, 6eqtr4d 2808 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
8 0cn 10235 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
9 cxpval 24632 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))))
108, 8, 9mp2an 666 . . . . . . . . . 10 (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0))))
11 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 0 = 0
1211iftruei 4233 . . . . . . . . . 10 if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))) = if(0 = 0, 1, 0)
1311iftruei 4233 . . . . . . . . . 10 if(0 = 0, 1, 0) = 1
1410, 12, 133eqtri 2797 . . . . . . . . 9 (0↑𝑐0) = 1
15 0exp0e1 13073 . . . . . . . . 9 (0↑0) = 1
1614, 15eqtr4i 2796 . . . . . . . 8 (0↑𝑐0) = (0↑0)
17 oveq2 6802 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
18 oveq2 6802 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (0↑𝐵) = (0↑0))
1916, 17, 183eqtr4a 2831 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
207, 19jaoi 838 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
211, 20sylbi 207 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
22 oveq1 6801 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
23 oveq1 6801 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴𝐵) = (0↑𝐵))
2422, 23eqeq12d 2786 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵) ↔ (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵)))
2521, 24syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵)))
2625adantl 467 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵)))
2726imp 393 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
28 nn0z 11603 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
29 cxpexpz 24635 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
30293expa 1111 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
3128, 30sylan2 574 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
3231an32s 625 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
3327, 32pm2.61dane 3030 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wo 828   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  ifcif 4226  cfv 6032  (class class class)co 6794  cc 10137  0cc0 10139  1c1 10140   · cmul 10144  cn 11223  0cn0 11495  cz 11580  cexp 13068  expce 14999  logclog 24523  𝑐ccxp 24524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ioo 12385  df-ioc 12386  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-mod 12878  df-seq 13010  df-exp 13069  df-fac 13266  df-bc 13295  df-hash 13323  df-shft 14016  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-limsup 14411  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626  df-ef 15005  df-sin 15007  df-cos 15008  df-pi 15010  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-mulg 17750  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-cnfld 19963  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23851  df-dv 23852  df-log 24525  df-cxp 24526
This theorem is referenced by:  cxp0  24638  cxp1  24639  root1id  24717  dfef2  24919  zetacvg  24963  sgmppw  25144  chpchtsum  25166  logexprlim  25172  dchrabs  25207  bposlem5  25235  bposlem6  25236  ostth2lem3  25546  binomcxplemnn0  39075  binomcxplemnotnn0  39082  etransclem46  41015
  Copyright terms: Public domain W3C validator