Theorem cxpexp 24851

Description: Relate the complex power function to the integer power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Proof of Theorem cxpexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11644	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		nncn 11383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nnne0 11410	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4		0cxp 24849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
5	2, 3, 4	syl2anc 579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = 0)
6		0exp 13213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝐵) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
8		0cn 10368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		cxpval 24847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))))
10	8, 8, 9	mp2an 682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0))))
11		eqid 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = 0
12	11	iftruei 4313	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))) = if(0 = 0, 1, 0)
13	11	iftruei 4313	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, 1, 0) = 1
14	10, 12, 13	3eqtri 2805	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑𝑐0) = 1
15		0exp0e1 13183	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) = 1
16	14, 15	eqtr4i 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑𝑐0) = (0↑0)
17		oveq2 6930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
18		oveq2 6930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝐵) = (0↑0))
19	16, 17, 18	3eqtr4a 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
20	7, 19	jaoi 846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
21	1, 20	sylbi 209	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
22		oveq1 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
23		oveq1 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝐵) = (0↑𝐵))
24	22, 23	eqeq12d 2792	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵) ↔ (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵)))
25	21, 24	syl5ibrcom 239	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
26	25	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
27	26	imp 397	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
28		nn0z 11752	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
29		cxpexpz 24850	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
30	29	3expa 1108	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
31	28, 30	sylan2 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
32	31	an32s 642	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
33	27, 32	pm2.61dane 3056	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 836   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  ifcif 4306  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  ℕcn 11374  ℕ₀cn0 11642  ℤcz 11728  ↑cexp 13178  expce 15194  logclog 24738  ↑_𝑐ccxp 24739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-limc 24067  df-dv 24068  df-log 24740  df-cxp 24741

This theorem is referenced by:  cxp0  24853  cxp1  24854  root1id  24935  dfef2  25149  zetacvg  25193  sgmppw  25374  chpchtsum  25396  logexprlim  25402  dchrabs  25437  bposlem5  25465  bposlem6  25466  ostth2lem3  25776  binomcxplemnn0  39486  binomcxplemnotnn0  39493  etransclem46  41406