Theorem cxpexp 26906

Description: Relate the complex power function to the integer power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

Proof of Theorem cxpexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12533	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2		nncn 12268	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nnne0 12297	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4		0cxp 26904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
5	2, 3, 4	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = 0)
6		0exp 14163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝐵) = 0)
7	5, 6	eqtr4d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
8		0cn 11225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℂ
9		cxpval 26902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))))
10	8, 8, 9	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0))))
11		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 = 0
12	11	iftruei 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))) = if(0 = 0, 1, 0)
13	11	iftruei 4492	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 = 0, 1, 0) = 1
14	10, 12, 13	3eqtri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑𝑐0) = 1
15		0exp0e1 14132	. . . . . . . . 9 ⊢ (0↑0) = 1
16	14, 15	eqtr4i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (0↑𝑐0) = (0↑0)
17		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
18		oveq2 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝐵) = (0↑0))
19	16, 17, 18	3eqtr4a 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
20	7, 19	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
21	1, 20	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
22		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
23		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝐵) = (0↑𝐵))
24	22, 23	eqeq12d 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵) ↔ (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵)))
25	21, 24	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
26	25	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵)))
27	26	imp 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
28		nn0z 12642	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℤ)
29		cxpexpz 26905	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
30	29	3expa 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
31	28, 30	sylan2 605	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
32	31	an32s 665	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))
33	27, 32	pm2.61dane 3044	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑐𝐵) = (𝐴↑𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ifcif 4485  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   · cmul 11132  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ↑cexp 14127  expce 16151  logclog 26792  ↑_𝑐ccxp 26793

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160  df-pi 16162  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-pt 17533  df-prds 17536  df-xrs 17592  df-qtop 17597  df-imas 17598  df-xps 17600  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-submnd 18896  df-mulg 19195  df-cntz 19448  df-cmn 19913  df-psmet 21581  df-xmet 21582  df-met 21583  df-bl 21584  df-mopn 21585  df-fbas 21586  df-fg 21587  df-cnfld 21590  df-top 23123  df-topon 23140  df-topsp 23162  df-bases 23175  df-cld 23248  df-ntr 23249  df-cls 23250  df-nei 23327  df-lp 23365  df-perf 23366  df-cn 23456  df-cnp 23457  df-haus 23544  df-tx 23792  df-hmeo 23985  df-fil 24076  df-fm 24168  df-flim 24169  df-flf 24170  df-xms 24550  df-ms 24551  df-tms 24552  df-cncf 25110  df-limc 26098  df-dv 26099  df-log 26794  df-cxp 26795

This theorem is used by:  cxp0  26908  cxp1  26909  root1id  26992  dfef2  27208  zetacvg  27252  sgmppw  27434  chpchtsum  27456  logexprlim  27462  dchrabs  27497  bposlem5  27525  bposlem6  27526  ostth2lem3  27872  2sqr3minply  34292  aks4d1p1p2  42938  aks4d1p1p4  42939  binomcxplemnn0  45175  binomcxplemnotnn0  45182  etransclem46  47110