MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cxpexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cxpexp 25969
Description: Relate the complex power function to the integer power function. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cxpexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem cxpexp
StepHypRef Expression
1 elnn0 12373 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
2 nncn 12119 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
3 nnne0 12145 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
4 0cxp 25967 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (0↑𝑐𝐵) = 0)
52, 3, 4syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = 0)
6 0exp 13957 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝐵) = 0)
75, 6eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
8 0cn 11105 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℂ
9 cxpval 25965 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))))
108, 8, 9mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (0↑𝑐0) = if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0))))
11 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 0 = 0
1211iftruei 4491 . . . . . . . . . 10 if(0 = 0, if(0 = 0, 1, 0), (exp‘(0 · (log‘0)))) = if(0 = 0, 1, 0)
1311iftruei 4491 . . . . . . . . . 10 if(0 = 0, 1, 0) = 1
1410, 12, 133eqtri 2768 . . . . . . . . 9 (0↑𝑐0) = 1
15 0exp0e1 13926 . . . . . . . . 9 (0↑0) = 1
1614, 15eqtr4i 2767 . . . . . . . 8 (0↑𝑐0) = (0↑0)
17 oveq2 7359 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝑐0))
18 oveq2 7359 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (0↑𝐵) = (0↑0))
1916, 17, 183eqtr4a 2802 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
207, 19jaoi 855 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
211, 20sylbi 216 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ0 → (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵))
22 oveq1 7358 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐𝐵) = (0↑𝑐𝐵))
23 oveq1 7358 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (𝐴𝐵) = (0↑𝐵))
2422, 23eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝐴 = 0 → ((𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵) ↔ (0↑𝑐𝐵) = (0↑𝐵)))
2521, 24syl5ibrcom 246 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵)))
2625adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 0 → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵)))
2726imp 407 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
28 nn0z 12482 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℤ)
29 cxpexpz 25968 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
30293expa 1118 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
3128, 30sylan2 593 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
3231an32s 650 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
3327, 32pm2.61dane 3030 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑐𝐵) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  ifcif 4484  cfv 6493  (class class class)co 7351  cc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014  cn 12111  0cn0 12371  cz 12457  cexp 13921  expce 15898  logclog 25856  𝑐ccxp 25857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ioc 13223  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-exp 13922  df-fac 14128  df-bc 14157  df-hash 14185  df-shft 14906  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-limsup 15307  df-clim 15324  df-rlim 15325  df-sum 15525  df-ef 15904  df-sin 15906  df-cos 15907  df-pi 15909  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-hom 17111  df-cco 17112  df-rest 17258  df-topn 17259  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-topgen 17279  df-pt 17280  df-prds 17283  df-xrs 17338  df-qtop 17343  df-imas 17344  df-xps 17346  df-mre 17420  df-mrc 17421  df-acs 17423  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-submnd 18556  df-mulg 18826  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-psmet 20735  df-xmet 20736  df-met 20737  df-bl 20738  df-mopn 20739  df-fbas 20740  df-fg 20741  df-cnfld 20744  df-top 22189  df-topon 22206  df-topsp 22228  df-bases 22242  df-cld 22316  df-ntr 22317  df-cls 22318  df-nei 22395  df-lp 22433  df-perf 22434  df-cn 22524  df-cnp 22525  df-haus 22612  df-tx 22859  df-hmeo 23052  df-fil 23143  df-fm 23235  df-flim 23236  df-flf 23237  df-xms 23619  df-ms 23620  df-tms 23621  df-cncf 24187  df-limc 25176  df-dv 25177  df-log 25858  df-cxp 25859
This theorem is referenced by:  cxp0  25971  cxp1  25972  root1id  26053  dfef2  26266  zetacvg  26310  sgmppw  26491  chpchtsum  26513  logexprlim  26519  dchrabs  26554  bposlem5  26582  bposlem6  26583  ostth2lem3  26929  aks4d1p1p2  40459  aks4d1p1p4  40460  binomcxplemnn0  42534  binomcxplemnotnn0  42541  etransclem46  44416
  Copyright terms: Public domain W3C validator