MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  neips Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem neips 22936
Description: A neighborhood of a set is a neighborhood of every point in the set. Proposition 1 of [BourbakiTop1] p. I.2. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
neips.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
neips ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
Distinct variable groups:   𝐽,𝑝   𝑁,𝑝   𝑆,𝑝   𝑋,𝑝

Proof of Theorem neips
Dummy variables 𝑔 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssi 4811 . . . . . 6 (𝑝𝑆 → {𝑝} ⊆ 𝑆)
2 neiss 22932 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ {𝑝} ⊆ 𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))
31, 2syl3an3 1164 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ∧ 𝑝𝑆) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))
433exp 1118 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → (𝑝𝑆𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}))))
54ralrimdv 3151 . . 3 (𝐽 ∈ Top → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
653ad2ant1 1132 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) → ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
7 r19.28zv 4500 . . . . 5 (𝑆 ≠ ∅ → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
873ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
9 ssrab2 4077 . . . . . . . . . 10 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝐽
10 uniopn 22718 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝐽) → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
119, 10mpan2 688 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
1211ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽)
13 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = 𝑔 → (𝑣𝑁𝑔𝑁))
1413elrab 3683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔 ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ (𝑔𝐽𝑔𝑁))
15 elunii 4913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝𝑔𝑔 ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁}) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1614, 15sylan2br 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝𝑔 ∧ (𝑔𝐽𝑔𝑁)) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1716an12s 646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔𝐽 ∧ (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1817rexlimiva 3146 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
1918ralimi 3082 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → ∀𝑝𝑆 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
20 dfss3 3970 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ ∀𝑝𝑆 𝑝 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2119, 20sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → 𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
2221adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → 𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁})
23 unissb 4943 . . . . . . . . . 10 ( {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁 ↔ ∀ ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁}𝑁)
24 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = → (𝑣𝑁𝑁))
2524elrab 3683 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ↔ (𝐽𝑁))
2625simprbi 496 . . . . . . . . . 10 ( ∈ {𝑣𝐽𝑣𝑁} → 𝑁)
2723, 26mprgbir 3067 . . . . . . . . 9 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁
2822, 27jctir 520 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁))
29 sseq2 4008 . . . . . . . . . 10 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → (𝑆𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁}))
30 sseq1 4007 . . . . . . . . . 10 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → (𝑁 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁))
3129, 30anbi12d 630 . . . . . . . . 9 ( = {𝑣𝐽𝑣𝑁} → ((𝑆𝑁) ↔ (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁)))
3231rspcev 3612 . . . . . . . 8 (( {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∈ 𝐽 ∧ (𝑆 {𝑣𝐽𝑣𝑁} ∧ {𝑣𝐽𝑣𝑁} ⊆ 𝑁)) → ∃𝐽 (𝑆𝑁))
3312, 28, 32syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → ∃𝐽 (𝑆𝑁))
3433ex 412 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁) → ∃𝐽 (𝑆𝑁)))
3534anim2d 611 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
36353adant3 1131 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → ((𝑁𝑋 ∧ ∀𝑝𝑆𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
378, 36sylbid 239 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁)) → (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
38 ssel2 3977 . . . . . . 7 ((𝑆𝑋𝑝𝑆) → 𝑝𝑋)
39 neips.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
4039isneip 22928 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑝𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4138, 40sylan2 592 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑝𝑆)) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4241anassrs 467 . . . . 5 (((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) ∧ 𝑝𝑆) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4342ralbidva 3174 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ ∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
44433adant3 1131 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) ↔ ∀𝑝𝑆 (𝑁𝑋 ∧ ∃𝑔𝐽 (𝑝𝑔𝑔𝑁))))
4539isnei 22926 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
46453adant3 1131 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ (𝑁𝑋 ∧ ∃𝐽 (𝑆𝑁))))
4737, 44, 463imtr4d 294 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝}) → 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆)))
486, 47impbid 211 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅) → (𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘𝑆) ↔ ∀𝑝𝑆 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑝})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3431  wss 3948  c0 4322  {csn 4628   cuni 4908  cfv 6543  Topctop 22714  neicnei 22920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-top 22715  df-nei 22921
This theorem is referenced by:  utop2nei  24074
  Copyright terms: Public domain W3C validator