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Theorem mbfi1fseqlem5 25754
Description: Lemma for mbfi1fseq 25756. Verify that 𝐺 describes an increasing sequence of positive functions. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfi1fseq.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfi1fseq.2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
mbfi1fseq.3 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
mbfi1fseq.4 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
Assertion
Ref Expression
mbfi1fseqlem5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝐺𝐴) ∧ (𝐺𝐴) ∘r ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺   𝑚,𝐽   𝜑,𝑚,𝑥,𝑦   𝐴,𝑚,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑦,𝑚)   𝐽(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mbfi1fseqlem5
StepHypRef Expression
1 mbfi1fseq.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
21adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
32ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
4 elrege0 13494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
53, 4sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
65simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
8 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℕ0)
9 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
107, 8, 9sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
1110ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℕ)
1211nnred 12281 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℝ)
136, 12remulcld 11291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
1411nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (2↑𝐴))
16 mulge0 11781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2↑𝐴))) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
175, 12, 15, 16syl12anc 837 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
18 flge0nn0 13860 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℕ0)
1913, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℕ0)
2019nn0red 12588 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ)
2119nn0ge0d 12590 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
2211nngt0d 12315 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 < (2↑𝐴))
23 divge0 12137 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))) ∧ ((2↑𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝐴))) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
2420, 21, 12, 22, 23syl22anc 839 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
25 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
2625fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
27 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → 𝑚 = 𝐴)
2827oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (2↑𝑚) = (2↑𝐴))
2926, 28oveq12d 7449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) = ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
3029fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
3130, 28oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝐴𝑦 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
32 mbfi1fseq.3 . . . . . . . . 9 𝐽 = (𝑚 ∈ ℕ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)))
33 ovex 7464 . . . . . . . . 9 ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ V
3431, 32, 33ovmpoa 7588 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
3534adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)))
3624, 35breqtrrd 5171 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴𝐽𝑥))
378nn0ge0d 12590 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝐴)
3837ad2antlr 727 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ 𝐴)
39 breq2 5147 . . . . . . 7 ((𝐴𝐽𝑥) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) → (0 ≤ (𝐴𝐽𝑥) ↔ 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴)))
40 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝐴 = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) → (0 ≤ 𝐴 ↔ 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴)))
4139, 40ifboth 4565 . . . . . 6 ((0 ≤ (𝐴𝐽𝑥) ∧ 0 ≤ 𝐴) → 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
4236, 38, 41syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
43 0le0 12367 . . . . 5 0 ≤ 0
44 breq2 5147 . . . . . 6 (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) → (0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
45 breq2 5147 . . . . . 6 (0 = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
4644, 45ifboth 4565 . . . . 5 ((0 ≤ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
4742, 43, 46sylancl 586 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
4847ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
49 0re 11263 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
50 fnconstg 6796 . . . . . . 7 (0 ∈ ℝ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
5149, 50ax-mp 5 . . . . . 6 (ℂ × {0}) Fn ℂ
52 df-0p 25705 . . . . . . 7 0𝑝 = (ℂ × {0})
5352fneq1i 6665 . . . . . 6 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
5451, 53mpbir 231 . . . . 5 0𝑝 Fn ℂ
5554a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 0𝑝 Fn ℂ)
56 mbfi1fseq.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
57 mbfi1fseq.4 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝑚[,]𝑚), if((𝑚𝐽𝑥) ≤ 𝑚, (𝑚𝐽𝑥), 𝑚), 0)))
5856, 1, 32, 57mbfi1fseqlem4 25753 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ⟶dom ∫1)
5958ffvelcdmda 7104 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) ∈ dom ∫1)
60 i1ff 25711 . . . . 5 ((𝐺𝐴) ∈ dom ∫1 → (𝐺𝐴):ℝ⟶ℝ)
61 ffn 6736 . . . . 5 ((𝐺𝐴):ℝ⟶ℝ → (𝐺𝐴) Fn ℝ)
6259, 60, 613syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) Fn ℝ)
63 cnex 11236 . . . . 5 ℂ ∈ V
6463a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ℂ ∈ V)
65 reex 11246 . . . . 5 ℝ ∈ V
6665a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
67 ax-resscn 11212 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
68 sseqin2 4223 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
6967, 68mpbi 230 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
70 0pval 25706 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
7170adantl 481 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
7256, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 25751 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐺𝐴) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
7372fveq1d 6908 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥))
7473ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥))
75 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
76 rge0ssre 13496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
77 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
78 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
791, 77, 78syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ (0[,)+∞))
8076, 79sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
81 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℕ0)
82 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
837, 81, 82sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ ℕ → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
8483ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
8584nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (2↑𝑚) ∈ ℝ)
8680, 85remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
87 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
8988, 84nndivred 12320 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
9089ralrimivva 3202 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
9132fmpo 8093 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑚 ∈ ℕ ∀𝑦 ∈ ℝ ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) ∈ ℝ ↔ 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
9290, 91sylib 218 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ)
93 fovcdm 7603 . . . . . . . . . 10 ((𝐽:(ℕ × ℝ)⟶ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
9492, 93syl3an1 1164 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
95943expa 1119 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ)
96 nnre 12273 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
9796ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9895, 97ifcld 4572 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∈ ℝ)
99 ifcl 4571 . . . . . . 7 ((if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ)
10098, 49, 99sylancl 586 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ)
101 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
102101fvmpt2 7027 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10375, 100, 102syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10474, 103eqtrd 2777 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺𝐴)‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0))
10555, 62, 64, 66, 69, 71, 104ofrfval 7707 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝐺𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0)))
10648, 105mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ (𝐺𝐴))
10756, 1, 32mbfi1fseqlem1 25750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
108107ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐽:(ℕ × ℝ)⟶(0[,)+∞))
109 peano2nn 12278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
110109ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
111108, 110, 75fovcdmd 7605 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ (0[,)+∞))
112 elrege0 13494 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥)))
113111, 112sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥)))
114113simpld 494 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∈ ℝ)
115 min1 13231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴𝐽𝑥))
11695, 97, 115syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴𝐽𝑥))
117 2cn 12341 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℂ
1188ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
119 expp1 14109 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
120117, 118, 119sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) = ((2↑𝐴) · 2))
121120oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) = (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · ((2↑𝐴) · 2)))
12235, 95eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℝ)
123122recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℂ)
12412recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ∈ ℂ)
125 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 2 ∈ ℂ)
126123, 124, 125mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) · 2) = (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · ((2↑𝐴) · 2)))
12720recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℂ)
12811nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑𝐴) ≠ 0)
129127, 124, 128divcan1d 12044 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))))
130129oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑𝐴)) · 2) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2))
131121, 126, 1303eqtr2d 2783 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2))
132 flle 13839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
13313, 132syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)))
134 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
135 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
136134, 135pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
137136a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
138 lemul1 12119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2)))
13920, 13, 137, 138syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2)))
140133, 139mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2))
141120oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) = ((𝐹𝑥) · ((2↑𝐴) · 2)))
1426recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
143142, 124, 125mulassd 11284 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2) = ((𝐹𝑥) · ((2↑𝐴) · 2)))
144141, 143eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) = (((𝐹𝑥) · (2↑𝐴)) · 2))
145140, 144breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))
146110nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ0)
147 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
1487, 146, 147sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℕ)
149148nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
1506, 149remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ)
15113flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℤ)
152 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
153 zmulcl 12666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ)
154151, 152, 153sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ)
155 flge 13845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ∈ ℤ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))))
156150, 154, 155syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))))
157145, 156mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) · 2) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
158131, 157eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
159 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ)
160150, 159syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ)
161148nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 < (2↑(𝐴 + 1)))
162 lemuldiv 12148 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ∈ ℝ ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ∈ ℝ ∧ ((2↑(𝐴 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑(𝐴 + 1)))) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1)))))
163122, 160, 149, 161, 162syl112anc 1376 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) · (2↑(𝐴 + 1))) ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1)))))
164158, 163mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑𝐴))) / (2↑𝐴)) ≤ ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
165 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
166165fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
167 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → 𝑚 = (𝐴 + 1))
168167oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (2↑𝑚) = (2↑(𝐴 + 1)))
169166, 168oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((𝐹𝑦) · (2↑𝑚)) = ((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1))))
170169fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) = (⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))))
171170, 168oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 = (𝐴 + 1) ∧ 𝑦 = 𝑥) → ((⌊‘((𝐹𝑦) · (2↑𝑚))) / (2↑𝑚)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
172 ovex 7464 . . . . . . . . . . . 12 ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))) ∈ V
173171, 32, 172ovmpoa 7588 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
174110, 75, 173syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = ((⌊‘((𝐹𝑥) · (2↑(𝐴 + 1)))) / (2↑(𝐴 + 1))))
175164, 35, 1743brtr4d 5175 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴𝐽𝑥) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
17698, 95, 114, 116, 175letrd 11418 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
177110nnred 12281 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
178 min2 13232 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐽𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ 𝐴)
17995, 97, 178syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ 𝐴)
18097lep1d 12199 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ (𝐴 + 1))
18198, 97, 177, 179, 180letrd 11418 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1))
182 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ↔ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
183 breq2 5147 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 1) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1) ↔ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
184182, 183ifboth 4565 . . . . . . . 8 ((if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∧ if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ (𝐴 + 1)) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
185176, 181, 184syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
186185adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴) ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
187 iftrue 4531 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
188187adantl 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴))
189177renegcld 11690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 1) ∈ ℝ)
19097, 177lenegd 11842 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ (𝐴 + 1) ↔ -(𝐴 + 1) ≤ -𝐴))
191180, 190mpbid 232 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 + 1) ≤ -𝐴)
192 iccss 13455 . . . . . . . . 9 (((-(𝐴 + 1) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℝ) ∧ (-(𝐴 + 1) ≤ -𝐴𝐴 ≤ (𝐴 + 1))) → (-𝐴[,]𝐴) ⊆ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
193189, 177, 191, 180, 192syl22anc 839 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝐴[,]𝐴) ⊆ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
194193sselda 3983 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → 𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)))
195194iftrued 4533 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
196186, 188, 1953brtr4d 5175 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
197 iffalse 4534 . . . . . . 7 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = 0)
198197adantl 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) = 0)
199113simprd 495 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥))
200146nn0ge0d 12590 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐴 + 1))
201 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 1)𝐽𝑥) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ↔ 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
202 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 1) = if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) → (0 ≤ (𝐴 + 1) ↔ 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1))))
203201, 202ifboth 4565 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ ((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐴 + 1)) → 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
204199, 200, 203syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)))
205 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) → (0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
206 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (0 = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
207205, 206ifboth 4565 . . . . . . . 8 ((0 ≤ if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
208204, 43, 207sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
209208adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
210198, 209eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴)) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
211196, 210pm2.61dan 813 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
212211ralrimiva 3146 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
213 ffvelcdm 7101 . . . . . 6 ((𝐺:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝐴 + 1) ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1)
21458, 109, 213syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1)
215 i1ff 25711 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐴 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝐺‘(𝐴 + 1)):ℝ⟶ℝ)
216 ffn 6736 . . . . 5 ((𝐺‘(𝐴 + 1)):ℝ⟶ℝ → (𝐺‘(𝐴 + 1)) Fn ℝ)
217214, 215, 2163syl 18 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺‘(𝐴 + 1)) Fn ℝ)
218 inidm 4227 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
21956, 1, 32, 57mbfi1fseqlem2 25751 . . . . . . 7 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝐴 + 1)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
220219fveq1d 6908 . . . . . 6 ((𝐴 + 1) ∈ ℕ → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥))
221110, 220syl 17 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥))
222114, 177ifcld 4572 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∈ ℝ)
223 ifcl 4571 . . . . . . 7 ((if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ)
224222, 49, 223sylancl 586 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ)
225 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
226225fvmpt2 7027 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0) ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
22775, 224, 226syl2anc 584 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
228221, 227eqtrd 2777 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐺‘(𝐴 + 1))‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0))
22962, 217, 66, 66, 218, 104, 228ofrfval 7707 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐴) ∘r ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (-𝐴[,]𝐴), if((𝐴𝐽𝑥) ≤ 𝐴, (𝐴𝐽𝑥), 𝐴), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (-(𝐴 + 1)[,](𝐴 + 1)), if(((𝐴 + 1)𝐽𝑥) ≤ (𝐴 + 1), ((𝐴 + 1)𝐽𝑥), (𝐴 + 1)), 0)))
230212, 229mpbird 257 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (𝐺𝐴) ∘r ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1)))
231106, 230jca 511 1 ((𝜑𝐴 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝐺𝐴) ∧ (𝐺𝐴) ∘r ≤ (𝐺‘(𝐴 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  r cofr 7696  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  cfl 13830  cexp 14102  MblFncmbf 25649  1citg1 25650  0𝑝c0p 25704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  mbfi1fseqlem6  25755
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