Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | mbfi1fseq.2 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β πΉ:ββΆ(0[,)+β)) |
2 | 1 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π΄ β β) β πΉ:ββΆ(0[,)+β)) |
3 | 2 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (πΉβπ₯) β (0[,)+β)) |
4 | | elrege0 13380 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((πΉβπ₯) β (0[,)+β) β ((πΉβπ₯) β β β§ 0 β€ (πΉβπ₯))) |
5 | 3, 4 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) β β β§ 0 β€ (πΉβπ₯))) |
6 | 5 | simpld 496 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (πΉβπ₯) β β) |
7 | | 2nn 12234 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ 2 β
β |
8 | | nnnn0 12428 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π΄ β β β π΄ β
β0) |
9 | | nnexpcl 13989 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((2
β β β§ π΄
β β0) β (2βπ΄) β β) |
10 | 7, 8, 9 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π΄ β β β
(2βπ΄) β
β) |
11 | 10 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2βπ΄) β
β) |
12 | 11 | nnred 12176 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2βπ΄) β
β) |
13 | 6, 12 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) β β) |
14 | 11 | nnnn0d 12481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2βπ΄) β
β0) |
15 | 14 | nn0ge0d 12484 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ (2βπ΄)) |
16 | | mulge0 11681 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΉβπ₯) β β β§ 0 β€ (πΉβπ₯)) β§ ((2βπ΄) β β β§ 0 β€ (2βπ΄))) β 0 β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) |
17 | 5, 12, 15, 16 | syl12anc 836 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) |
18 | | flge0nn0 13734 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) β β β§ 0 β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β
β0) |
19 | 13, 17, 18 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β
β0) |
20 | 19 | nn0red 12482 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β β) |
21 | 19 | nn0ge0d 12484 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)))) |
22 | 11 | nngt0d 12210 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 < (2βπ΄)) |
23 | | divge0 12032 |
. . . . . . . 8
β’
((((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β β β§ 0 β€
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)))) β§ ((2βπ΄) β β β§ 0 < (2βπ΄))) β 0 β€
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄))) |
24 | 20, 21, 12, 22, 23 | syl22anc 838 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄))) |
25 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π = π΄ β§ π¦ = π₯) β π¦ = π₯) |
26 | 25 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π = π΄ β§ π¦ = π₯) β (πΉβπ¦) = (πΉβπ₯)) |
27 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π = π΄ β§ π¦ = π₯) β π = π΄) |
28 | 27 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π = π΄ β§ π¦ = π₯) β (2βπ) = (2βπ΄)) |
29 | 26, 28 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π = π΄ β§ π¦ = π₯) β ((πΉβπ¦) Β· (2βπ)) = ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) |
30 | 29 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π = π΄ β§ π¦ = π₯) β (ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) = (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)))) |
31 | 30, 28 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π = π΄ β§ π¦ = π₯) β ((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄))) |
32 | | mbfi1fseq.3 |
. . . . . . . . 9
β’ π½ = (π β β, π¦ β β β¦
((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ))) |
33 | | ovex 7394 |
. . . . . . . . 9
β’
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) β V |
34 | 31, 32, 33 | ovmpoa 7514 |
. . . . . . . 8
β’ ((π΄ β β β§ π₯ β β) β (π΄π½π₯) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄))) |
35 | 34 | adantll 713 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (π΄π½π₯) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄))) |
36 | 24, 35 | breqtrrd 5137 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ (π΄π½π₯)) |
37 | 8 | nn0ge0d 12484 |
. . . . . . 7
β’ (π΄ β β β 0 β€
π΄) |
38 | 37 | ad2antlr 726 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ π΄) |
39 | | breq2 5113 |
. . . . . . 7
β’ ((π΄π½π₯) = if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β (0 β€ (π΄π½π₯) β 0 β€ if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄))) |
40 | | breq2 5113 |
. . . . . . 7
β’ (π΄ = if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β (0 β€ π΄ β 0 β€ if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄))) |
41 | 39, 40 | ifboth 4529 |
. . . . . 6
β’ ((0 β€
(π΄π½π₯) β§ 0 β€ π΄) β 0 β€ if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄)) |
42 | 36, 38, 41 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄)) |
43 | | 0le0 12262 |
. . . . 5
β’ 0 β€
0 |
44 | | breq2 5113 |
. . . . . 6
β’
(if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) = if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β (0 β€ if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β 0 β€ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0))) |
45 | | breq2 5113 |
. . . . . 6
β’ (0 =
if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β (0 β€ 0 β 0 β€
if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0))) |
46 | 44, 45 | ifboth 4529 |
. . . . 5
β’ ((0 β€
if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β§ 0 β€ 0) β 0 β€ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0)) |
47 | 42, 43, 46 | sylancl 587 |
. . . 4
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0)) |
48 | 47 | ralrimiva 3140 |
. . 3
β’ ((π β§ π΄ β β) β βπ₯ β β 0 β€ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0)) |
49 | | 0re 11165 |
. . . . . . 7
β’ 0 β
β |
50 | | fnconstg 6734 |
. . . . . . 7
β’ (0 β
β β (β Γ {0}) Fn β) |
51 | 49, 50 | ax-mp 5 |
. . . . . 6
β’ (β
Γ {0}) Fn β |
52 | | df-0p 25057 |
. . . . . . 7
β’
0π = (β Γ {0}) |
53 | 52 | fneq1i 6603 |
. . . . . 6
β’
(0π Fn β β (β Γ {0}) Fn
β) |
54 | 51, 53 | mpbir 230 |
. . . . 5
β’
0π Fn β |
55 | 54 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΄ β β) β
0π Fn β) |
56 | | mbfi1fseq.1 |
. . . . . . 7
β’ (π β πΉ β MblFn) |
57 | | mbfi1fseq.4 |
. . . . . . 7
β’ πΊ = (π β β β¦ (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π[,]π), if((ππ½π₯) β€ π, (ππ½π₯), π), 0))) |
58 | 56, 1, 32, 57 | mbfi1fseqlem4 25106 |
. . . . . 6
β’ (π β πΊ:ββΆdom
β«1) |
59 | 58 | ffvelcdmda 7039 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π΄ β β) β (πΊβπ΄) β dom
β«1) |
60 | | i1ff 25063 |
. . . . 5
β’ ((πΊβπ΄) β dom β«1 β (πΊβπ΄):ββΆβ) |
61 | | ffn 6672 |
. . . . 5
β’ ((πΊβπ΄):ββΆβ β (πΊβπ΄) Fn β) |
62 | 59, 60, 61 | 3syl 18 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΄ β β) β (πΊβπ΄) Fn β) |
63 | | cnex 11140 |
. . . . 5
β’ β
β V |
64 | 63 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΄ β β) β β β
V) |
65 | | reex 11150 |
. . . . 5
β’ β
β V |
66 | 65 | a1i 11 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΄ β β) β β β
V) |
67 | | ax-resscn 11116 |
. . . . 5
β’ β
β β |
68 | | sseqin2 4179 |
. . . . 5
β’ (β
β β β (β β© β) = β) |
69 | 67, 68 | mpbi 229 |
. . . 4
β’ (β
β© β) = β |
70 | | 0pval 25058 |
. . . . 5
β’ (π₯ β β β
(0πβπ₯) = 0) |
71 | 70 | adantl 483 |
. . . 4
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(0πβπ₯) = 0) |
72 | 56, 1, 32, 57 | mbfi1fseqlem2 25104 |
. . . . . . 7
β’ (π΄ β β β (πΊβπ΄) = (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0))) |
73 | 72 | fveq1d 6848 |
. . . . . 6
β’ (π΄ β β β ((πΊβπ΄)βπ₯) = ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0))βπ₯)) |
74 | 73 | ad2antlr 726 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΊβπ΄)βπ₯) = ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0))βπ₯)) |
75 | | simpr 486 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β π₯ β β) |
76 | | rge0ssre 13382 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(0[,)+β) β β |
77 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π β β β§ π¦ β β) β π¦ β
β) |
78 | | ffvelcdm 7036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((πΉ:ββΆ(0[,)+β)
β§ π¦ β β)
β (πΉβπ¦) β
(0[,)+β)) |
79 | 1, 77, 78 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β (πΉβπ¦) β (0[,)+β)) |
80 | 76, 79 | sselid 3946 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β (πΉβπ¦) β β) |
81 | | nnnn0 12428 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β β β π β
β0) |
82 | | nnexpcl 13989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((2
β β β§ π
β β0) β (2βπ) β β) |
83 | 7, 81, 82 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β β β
(2βπ) β
β) |
84 | 83 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β (2βπ) β
β) |
85 | 84 | nnred 12176 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β (2βπ) β
β) |
86 | 80, 85 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β ((πΉβπ¦) Β· (2βπ)) β β) |
87 | | reflcl 13710 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((πΉβπ¦) Β· (2βπ)) β β β
(ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) β β) |
88 | 86, 87 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β
(ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) β β) |
89 | 88, 84 | nndivred 12215 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ (π β β β§ π¦ β β)) β
((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) β β) |
90 | 89 | ralrimivva 3194 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β βπ β β βπ¦ β β ((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) β β) |
91 | 32 | fmpo 8004 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(βπ β
β βπ¦ β
β ((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) β β β π½:(β Γ
β)βΆβ) |
92 | 90, 91 | sylib 217 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π½:(β Γ
β)βΆβ) |
93 | | fovcdm 7528 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π½:(β Γ
β)βΆβ β§ π΄ β β β§ π₯ β β) β (π΄π½π₯) β β) |
94 | 92, 93 | syl3an1 1164 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β§ π΄ β β β§ π₯ β β) β (π΄π½π₯) β β) |
95 | 94 | 3expa 1119 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (π΄π½π₯) β β) |
96 | | nnre 12168 |
. . . . . . . . 9
β’ (π΄ β β β π΄ β
β) |
97 | 96 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β π΄ β β) |
98 | 95, 97 | ifcld 4536 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β β) |
99 | | ifcl 4535 |
. . . . . . 7
β’
((if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β β β§ 0 β β)
β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β β) |
100 | 98, 49, 99 | sylancl 587 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β β) |
101 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0)) = (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0)) |
102 | 101 | fvmpt2 6963 |
. . . . . 6
β’ ((π₯ β β β§ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β β) β ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0))βπ₯) = if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0)) |
103 | 75, 100, 102 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0))βπ₯) = if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0)) |
104 | 74, 103 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΊβπ΄)βπ₯) = if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0)) |
105 | 55, 62, 64, 66, 69, 71, 104 | ofrfval 7631 |
. . 3
β’ ((π β§ π΄ β β) β
(0π βr β€ (πΊβπ΄) β βπ₯ β β 0 β€ if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0))) |
106 | 48, 105 | mpbird 257 |
. 2
β’ ((π β§ π΄ β β) β
0π βr β€ (πΊβπ΄)) |
107 | 56, 1, 32 | mbfi1fseqlem1 25103 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π½:(β Γ
β)βΆ(0[,)+β)) |
108 | 107 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β π½:(β Γ
β)βΆ(0[,)+β)) |
109 | | peano2nn 12173 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π΄ β β β (π΄ + 1) β
β) |
110 | 109 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (π΄ + 1) β β) |
111 | 108, 110,
75 | fovcdmd 7530 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((π΄ + 1)π½π₯) β (0[,)+β)) |
112 | | elrege0 13380 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π΄ + 1)π½π₯) β (0[,)+β) β (((π΄ + 1)π½π₯) β β β§ 0 β€ ((π΄ + 1)π½π₯))) |
113 | 111, 112 | sylib 217 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (((π΄ + 1)π½π₯) β β β§ 0 β€ ((π΄ + 1)π½π₯))) |
114 | 113 | simpld 496 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((π΄ + 1)π½π₯) β β) |
115 | | min1 13117 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π΄π½π₯) β β β§ π΄ β β) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ (π΄π½π₯)) |
116 | 95, 97, 115 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ (π΄π½π₯)) |
117 | | 2cn 12236 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ 2 β
β |
118 | 8 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β π΄ β
β0) |
119 | | expp1 13983 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((2
β β β§ π΄
β β0) β (2β(π΄ + 1)) = ((2βπ΄) Β· 2)) |
120 | 117, 118,
119 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2β(π΄ + 1)) = ((2βπ΄) Β· 2)) |
121 | 120 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· (2β(π΄ + 1))) = (((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· ((2βπ΄) Β· 2))) |
122 | 35, 95 | eqeltrrd 2835 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) β β) |
123 | 122 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) β β) |
124 | 12 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2βπ΄) β
β) |
125 | | 2cnd 12239 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 2 β
β) |
126 | 123, 124,
125 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· (2βπ΄)) Β· 2) = (((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· ((2βπ΄) Β· 2))) |
127 | 20 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β β) |
128 | 11 | nnne0d 12211 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2βπ΄) β 0) |
129 | 127, 124,
128 | divcan1d 11940 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· (2βπ΄)) = (ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)))) |
130 | 129 | oveq1d 7376 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· (2βπ΄)) Β· 2) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2)) |
131 | 121, 126,
130 | 3eqtr2d 2779 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· (2β(π΄ + 1))) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2)) |
132 | | flle 13713 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) β β β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) |
133 | 13, 132 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) |
134 | | 2re 12235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ 2 β
β |
135 | | 2pos 12264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ 0 <
2 |
136 | 134, 135 | pm3.2i 472 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (2 β
β β§ 0 < 2) |
137 | 136 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2 β β
β§ 0 < 2)) |
138 | | lemul1 12015 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β β β§ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) β β β§ (2 β β
β§ 0 < 2)) β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ (((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) Β· 2))) |
139 | 20, 13, 137, 138 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ (((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) Β· 2))) |
140 | 133, 139 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ (((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) Β· 2)) |
141 | 120 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))) = ((πΉβπ₯) Β· ((2βπ΄) Β· 2))) |
142 | 6 | recnd 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (πΉβπ₯) β β) |
143 | 142, 124,
125 | mulassd 11186 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) Β· 2) = ((πΉβπ₯) Β· ((2βπ΄) Β· 2))) |
144 | 141, 143 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))) = (((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄)) Β· 2)) |
145 | 140, 144 | breqtrrd 5137 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) |
146 | 110 | nnnn0d 12481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (π΄ + 1) β
β0) |
147 | | nnexpcl 13989 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((2
β β β§ (π΄ +
1) β β0) β (2β(π΄ + 1)) β β) |
148 | 7, 146, 147 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2β(π΄ + 1)) β
β) |
149 | 148 | nnred 12176 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (2β(π΄ + 1)) β
β) |
150 | 6, 149 | remulcld 11193 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))) β β) |
151 | 13 | flcld 13712 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β β€) |
152 | | 2z 12543 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ 2 β
β€ |
153 | | zmulcl 12560 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) β β€ β§ 2 β β€)
β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β
β€) |
154 | 151, 152,
153 | sylancl 587 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β
β€) |
155 | | flge 13719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))) β β β§
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β β€) β
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))) β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))))) |
156 | 150, 154,
155 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))) β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))))) |
157 | 145, 156 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) Β· 2) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))))) |
158 | 131, 157 | eqbrtrd 5131 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· (2β(π΄ + 1))) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))))) |
159 | | reflcl 13710 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))) β β β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) β β) |
160 | 150, 159 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) β β) |
161 | 148 | nngt0d 12210 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 < (2β(π΄ + 1))) |
162 | | lemuldiv 12043 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) β β β§
(ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) β β β§
((2β(π΄ + 1)) β
β β§ 0 < (2β(π΄ + 1)))) β ((((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· (2β(π΄ + 1))) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) β€ ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) / (2β(π΄ + 1))))) |
163 | 122, 160,
149, 161, 162 | syl112anc 1375 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) Β· (2β(π΄ + 1))) β€ (ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) β ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) β€ ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) / (2β(π΄ + 1))))) |
164 | 158, 163 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2βπ΄))) / (2βπ΄)) β€ ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) / (2β(π΄ + 1)))) |
165 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π = (π΄ + 1) β§ π¦ = π₯) β π¦ = π₯) |
166 | 165 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π = (π΄ + 1) β§ π¦ = π₯) β (πΉβπ¦) = (πΉβπ₯)) |
167 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π = (π΄ + 1) β§ π¦ = π₯) β π = (π΄ + 1)) |
168 | 167 | oveq2d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π = (π΄ + 1) β§ π¦ = π₯) β (2βπ) = (2β(π΄ + 1))) |
169 | 166, 168 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π = (π΄ + 1) β§ π¦ = π₯) β ((πΉβπ¦) Β· (2βπ)) = ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) |
170 | 169 | fveq2d 6850 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π = (π΄ + 1) β§ π¦ = π₯) β (ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) = (ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1))))) |
171 | 170, 168 | oveq12d 7379 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π = (π΄ + 1) β§ π¦ = π₯) β ((ββ((πΉβπ¦) Β· (2βπ))) / (2βπ)) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) / (2β(π΄ + 1)))) |
172 | | ovex 7394 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) / (2β(π΄ + 1))) β V |
173 | 171, 32, 172 | ovmpoa 7514 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (((π΄ + 1) β β β§ π₯ β β) β ((π΄ + 1)π½π₯) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) / (2β(π΄ + 1)))) |
174 | 110, 75, 173 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((π΄ + 1)π½π₯) = ((ββ((πΉβπ₯) Β· (2β(π΄ + 1)))) / (2β(π΄ + 1)))) |
175 | 164, 35, 174 | 3brtr4d 5141 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (π΄π½π₯) β€ ((π΄ + 1)π½π₯)) |
176 | 98, 95, 114, 116, 175 | letrd 11320 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ ((π΄ + 1)π½π₯)) |
177 | 110 | nnred 12176 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (π΄ + 1) β β) |
178 | | min2 13118 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π΄π½π₯) β β β§ π΄ β β) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ π΄) |
179 | 95, 97, 178 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ π΄) |
180 | 97 | lep1d 12094 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β π΄ β€ (π΄ + 1)) |
181 | 98, 97, 177, 179, 180 | letrd 11320 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ (π΄ + 1)) |
182 | | breq2 5113 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π΄ + 1)π½π₯) = if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) β (if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ ((π΄ + 1)π½π₯) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)))) |
183 | | breq2 5113 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π΄ + 1) = if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) β (if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ (π΄ + 1) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)))) |
184 | 182, 183 | ifboth 4529 |
. . . . . . . 8
β’
((if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ ((π΄ + 1)π½π₯) β§ if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ (π΄ + 1)) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1))) |
185 | 176, 181,
184 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1))) |
186 | 185 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π₯ β (-π΄[,]π΄)) β if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄) β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1))) |
187 | | iftrue 4496 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ β (-π΄[,]π΄) β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) = if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄)) |
188 | 187 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π₯ β (-π΄[,]π΄)) β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) = if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄)) |
189 | 177 | renegcld 11590 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β -(π΄ + 1) β β) |
190 | 97, 177 | lenegd 11742 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (π΄ β€ (π΄ + 1) β -(π΄ + 1) β€ -π΄)) |
191 | 180, 190 | mpbid 231 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β -(π΄ + 1) β€ -π΄) |
192 | | iccss 13341 |
. . . . . . . . 9
β’
(((-(π΄ + 1) β
β β§ (π΄ + 1)
β β) β§ (-(π΄
+ 1) β€ -π΄ β§ π΄ β€ (π΄ + 1))) β (-π΄[,]π΄) β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1))) |
193 | 189, 177,
191, 180, 192 | syl22anc 838 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (-π΄[,]π΄) β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1))) |
194 | 193 | sselda 3948 |
. . . . . . 7
β’ ((((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π₯ β (-π΄[,]π΄)) β π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1))) |
195 | 194 | iftrued 4498 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π₯ β (-π΄[,]π΄)) β if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0) = if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1))) |
196 | 186, 188,
195 | 3brtr4d 5141 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π₯ β (-π΄[,]π΄)) β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β€ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
197 | | iffalse 4499 |
. . . . . . 7
β’ (Β¬
π₯ β (-π΄[,]π΄) β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) = 0) |
198 | 197 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ Β¬ π₯ β (-π΄[,]π΄)) β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) = 0) |
199 | 113 | simprd 497 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ ((π΄ + 1)π½π₯)) |
200 | 146 | nn0ge0d 12484 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ (π΄ + 1)) |
201 | | breq2 5113 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π΄ + 1)π½π₯) = if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) β (0 β€ ((π΄ + 1)π½π₯) β 0 β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)))) |
202 | | breq2 5113 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π΄ + 1) = if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) β (0 β€ (π΄ + 1) β 0 β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)))) |
203 | 201, 202 | ifboth 4529 |
. . . . . . . . 9
β’ ((0 β€
((π΄ + 1)π½π₯) β§ 0 β€ (π΄ + 1)) β 0 β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1))) |
204 | 199, 200,
203 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1))) |
205 | | breq2 5113 |
. . . . . . . . 9
β’
(if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) = if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0) β (0 β€ if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) β 0 β€ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0))) |
206 | | breq2 5113 |
. . . . . . . . 9
β’ (0 =
if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0) β (0 β€ 0 β 0 β€
if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0))) |
207 | 205, 206 | ifboth 4529 |
. . . . . . . 8
β’ ((0 β€
if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) β§ 0 β€ 0) β 0 β€
if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
208 | 204, 43, 207 | sylancl 587 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β 0 β€ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
209 | 208 | adantr 482 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ Β¬ π₯ β (-π΄[,]π΄)) β 0 β€ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
210 | 198, 209 | eqbrtrd 5131 |
. . . . 5
β’ ((((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ Β¬ π₯ β (-π΄[,]π΄)) β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β€ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
211 | 196, 210 | pm2.61dan 812 |
. . . 4
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β€ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
212 | 211 | ralrimiva 3140 |
. . 3
β’ ((π β§ π΄ β β) β βπ₯ β β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β€ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
213 | | ffvelcdm 7036 |
. . . . . 6
β’ ((πΊ:ββΆdom
β«1 β§ (π΄
+ 1) β β) β (πΊβ(π΄ + 1)) β dom
β«1) |
214 | 58, 109, 213 | syl2an 597 |
. . . . 5
β’ ((π β§ π΄ β β) β (πΊβ(π΄ + 1)) β dom
β«1) |
215 | | i1ff 25063 |
. . . . 5
β’ ((πΊβ(π΄ + 1)) β dom β«1 β
(πΊβ(π΄ +
1)):ββΆβ) |
216 | | ffn 6672 |
. . . . 5
β’ ((πΊβ(π΄ + 1)):ββΆβ β (πΊβ(π΄ + 1)) Fn β) |
217 | 214, 215,
216 | 3syl 18 |
. . . 4
β’ ((π β§ π΄ β β) β (πΊβ(π΄ + 1)) Fn β) |
218 | | inidm 4182 |
. . . 4
β’ (β
β© β) = β |
219 | 56, 1, 32, 57 | mbfi1fseqlem2 25104 |
. . . . . . 7
β’ ((π΄ + 1) β β β
(πΊβ(π΄ + 1)) = (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0))) |
220 | 219 | fveq1d 6848 |
. . . . . 6
β’ ((π΄ + 1) β β β
((πΊβ(π΄ + 1))βπ₯) = ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0))βπ₯)) |
221 | 110, 220 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΊβ(π΄ + 1))βπ₯) = ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0))βπ₯)) |
222 | 114, 177 | ifcld 4536 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) β β) |
223 | | ifcl 4535 |
. . . . . . 7
β’
((if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)) β β β§ 0 β
β) β if(π₯ β
(-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0) β β) |
224 | 222, 49, 223 | sylancl 587 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0) β β) |
225 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’ (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) = (π₯ β β β¦ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
226 | 225 | fvmpt2 6963 |
. . . . . 6
β’ ((π₯ β β β§ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0) β β) β ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0))βπ₯) = if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
227 | 75, 224, 226 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((π₯ β β β¦ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0))βπ₯) = if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
228 | 221, 227 | eqtrd 2773 |
. . . 4
β’ (((π β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β ((πΊβ(π΄ + 1))βπ₯) = if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0)) |
229 | 62, 217, 66, 66, 218, 104, 228 | ofrfval 7631 |
. . 3
β’ ((π β§ π΄ β β) β ((πΊβπ΄) βr β€ (πΊβ(π΄ + 1)) β βπ₯ β β if(π₯ β (-π΄[,]π΄), if((π΄π½π₯) β€ π΄, (π΄π½π₯), π΄), 0) β€ if(π₯ β (-(π΄ + 1)[,](π΄ + 1)), if(((π΄ + 1)π½π₯) β€ (π΄ + 1), ((π΄ + 1)π½π₯), (π΄ + 1)), 0))) |
230 | 212, 229 | mpbird 257 |
. 2
β’ ((π β§ π΄ β β) β (πΊβπ΄) βr β€ (πΊβ(π΄ + 1))) |
231 | 106, 230 | jca 513 |
1
β’ ((π β§ π΄ β β) β
(0π βr β€ (πΊβπ΄) β§ (πΊβπ΄) βr β€ (πΊβ(π΄ + 1)))) |