MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2addlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2addlem 25706
Description: Lemma for itg2add 25707. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2add.f3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2add.g1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2add.g3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
itg2add.p1 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2add.p2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
itg2add.p3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
itg2add.q1 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2add.q2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ∧ (π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))))
itg2add.q3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2addlem (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,π‘₯   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐺,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2add.g1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
31, 2mbfadd 25608 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
4 ge0addcl 13469 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
54adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6 itg2add.f2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
7 itg2add.g2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
8 reex 11229 . . . . 5 ℝ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
10 inidm 4213 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
115, 6, 7, 9, 9, 10off 7700 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):β„βŸΆ(0[,)+∞))
12 simpl 481 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
13 simpr 483 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
1412, 13i1fadd 25642 . . . . 5 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
1514adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16 itg2add.p1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
17 itg2add.q1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
18 nnex 12248 . . . . 5 β„• ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
20 inidm 4213 . . . 4 (β„• ∩ β„•) = β„•
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 7700 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘f ∘f + 𝑄):β„•βŸΆdom ∫1)
22 ge0addcl 13469 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2322adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2416ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1)
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
26 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘š))
2726breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ↔ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š)))
28 fvoveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)))
2926, 28breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))))
3027, 29anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)))))
3130rspccva 3600 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))))
3225, 31sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))))
3332simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š))
34 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š)))
35 feq1 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ (𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
3634, 35imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ ((0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 β†’ 𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))))
37 i1ff 25623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
3837ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 Fn ℝ)
3938adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝑓) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
40 0cn 11236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„‚
41 fnconstg 6780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚
43 df-0p 25617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
4443fneq1i 6646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0𝑝 Fn β„‚ ↔ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
4542, 44mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0𝑝 Fn β„‚
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 Fn β„‚)
47 cnex 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ β„‚ ∈ V)
498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
50 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ βŠ† β„‚
51 sseqin2 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ)
5250, 51mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ
53 0pval 25618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0π‘β€˜π‘₯) = 0)
5453adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0π‘β€˜π‘₯) = 0)
55 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
5646, 38, 48, 49, 52, 54, 55ofrfval 7692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯)))
5756biimpa 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝑓) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯))
5837ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
59 elrege0 13463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯)))
6059simplbi2 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
6261ralimdva 3157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
6362imp 405 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
6457, 63syldan 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝑓) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
65 ffnfv 7124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
6639, 64, 65sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝑓) β†’ 𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞))
6766ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 β†’ 𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞)))
6836, 67vtoclga 3555 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
6924, 33, 68sylc 65 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7017ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1)
71 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ∧ (π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))))
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘„β€˜π‘›) = (π‘„β€˜π‘š))
7372breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ↔ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š)))
74 fvoveq1 7439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘š + 1)))
7572, 74breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
7673, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ∧ (π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1)))))
7776rspccva 3600 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ∧ (π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
7871, 77sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
7978simpld 493 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š))
80 breq2 5147 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘„β€˜π‘š) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š)))
81 feq1 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘„β€˜π‘š) β†’ (𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
8280, 81imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (π‘„β€˜π‘š) β†’ ((0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 β†’ 𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))))
8382, 67vtoclga 3555 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
8470, 79, 83sylc 65 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))
858a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
8623, 69, 84, 85, 85, 10off 7700 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
87 0plef 25619 . . . . . . . 8 (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))))
8886, 87sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))))
8988simprd 494 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)))
9016ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn β„•)
9117ffnd 6718 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 Fn β„•)
92 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) = (π‘ƒβ€˜π‘š))
93 eqidd 2726 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) = (π‘„β€˜π‘š))
9490, 91, 19, 19, 20, 92, 93ofval 7693 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) = ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)))
9589, 94breqtrrd 5171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š))
96 i1ff 25623 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆβ„)
9724, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆβ„)
9897ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
99 i1ff 25623 . . . . . . . . . . 11 ((π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆβ„)
10070, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆβ„)
101100ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
102 peano2nn 12254 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
103 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1)
10416, 102, 103syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1)
105 i1ff 25623 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)):β„βŸΆβ„)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)):β„βŸΆβ„)
107106ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
108 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1)
10917, 102, 108syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1)
110 i1ff 25623 . . . . . . . . . . 11 ((π‘„β€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)):β„βŸΆβ„)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)):β„βŸΆβ„)
112111ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
11332simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)))
11497ffnd 6718 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) Fn ℝ)
115106ffnd 6718 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) Fn ℝ)
116 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
117 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
118114, 115, 85, 85, 10, 116, 117ofrfval 7692 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
119113, 118mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
120119r19.21bi 3239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
12178simprd 494 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1)))
122100ffnd 6718 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) Fn ℝ)
123111ffnd 6718 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) Fn ℝ)
124 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
125 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) = ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
126122, 123, 85, 85, 10, 124, 125ofrfval 7692 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
127121, 126mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
128127r19.21bi 3239 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
12998, 101, 107, 112, 120, 128le2addd 11863 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
130129ralrimiva 3136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
13124, 70i1fadd 25642 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) ∈ dom ∫1)
132 i1ff 25623 . . . . . . . . 9 (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆβ„)
133 ffn 6717 . . . . . . . . 9 (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆβ„ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) Fn ℝ)
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) Fn ℝ)
135104, 109i1fadd 25642 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))) ∈ dom ∫1)
136 i1ff 25623 . . . . . . . . . 10 (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))) ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))):β„βŸΆβ„)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))):β„βŸΆβ„)
138137ffnd 6718 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))) Fn ℝ)
139114, 122, 85, 85, 10, 116, 124ofval 7693 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
140115, 123, 85, 85, 10, 117, 125ofval 7693 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1)))β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
141134, 138, 85, 85, 10, 139, 140ofrfval 7692 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))))
142130, 141mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
143 eqidd 2726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)))
144 eqidd 2726 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) = (π‘„β€˜(π‘š + 1)))
14590, 91, 19, 19, 20, 143, 144ofval 7693 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1)) = ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
146102, 145sylan2 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1)) = ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
147142, 94, 1463brtr4d 5175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1)))
14895, 147jca 510 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∧ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1))))
149148ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∧ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1))))
150 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›) = ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š))
151150fveq1d 6894 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
152151cbvmptv 5256 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
153 nnuz 12895 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
154 1zzd 12623 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„€)
155 itg2add.p3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
156 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
157156mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
158 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
159157, 158breq12d 5156 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)))
160159rspccva 3600 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
161155, 160sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
16218mptex 7231 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ V)
164 itg2add.q3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
165 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))
166165mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
167 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
168166, 167breq12d 5156 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))
169168rspccva 3600 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))
170164, 169sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))
17126fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
172 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
173 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ V
174171, 172, 173fvmpt 7000 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
175174adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
17698an32s 650 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
177175, 176eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
178177recnd 11272 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
17972fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
180 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))
181 fvex 6905 . . . . . . . . . . 11 ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ V
182179, 180, 181fvmpt 7000 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
183182adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
184101an32s 650 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
185183, 184eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
186185recnd 11272 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
18794fveq1d 6894 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))β€˜π‘¦))
188187adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))β€˜π‘¦))
189188, 139eqtrd 2765 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
190189an32s 650 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
191 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦))
192 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ V
193151, 191, 192fvmpt 7000 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
194193adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
195175, 183oveq12d 7434 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š)) = (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
196190, 194, 1953eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š)))
197153, 154, 161, 163, 170, 178, 186, 196climadd 15608 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘¦)))
198152, 197eqbrtrrid 5179 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ⇝ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘¦)))
1996ffnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
2007ffnd 6718 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
201 eqidd 2726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
202 eqidd 2726 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
203199, 200, 9, 9, 10, 201, 202ofval 7693 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘¦)))
204198, 203breqtrrd 5171 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ⇝ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘¦))
205204ralrimiva 3136 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ⇝ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘¦))
206 2fveq3 6897 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘—)))
207206cbvmptv 5256 . . 3 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘—)))
208 itg2add.f3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
209 itg2add.g3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
210208, 209readdcld 11273 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
21194fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) = (∫1β€˜((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))))
21224, 70itg1add 25649 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))) = ((∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) + (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š))))
213211, 212eqtrd 2765 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) = ((∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) + (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š))))
214 itg1cl 25632 . . . . . . . 8 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
21524, 214syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
216 itg1cl 25632 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
21770, 216syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
218208adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
219209adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
2206adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
221 icossicc 13445 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
222 fss 6734 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
223220, 221, 222sylancl 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
2241, 6, 16, 25, 155itg2i1fseqle 25702 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ 𝐹)
225 itg2ub 25681 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ≀ (∫2β€˜πΉ))
226223, 24, 224, 225syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ≀ (∫2β€˜πΉ))
2277adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
228 fss 6734 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
229227, 221, 228sylancl 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
2302, 7, 17, 71, 164itg2i1fseqle 25702 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ 𝐺)
231 itg2ub 25681 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ≀ (∫2β€˜πΊ))
232229, 70, 230, 231syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ≀ (∫2β€˜πΊ))
233215, 217, 218, 219, 226, 232le2addd 11863 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) + (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
234213, 233eqbrtrd 5165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
235234ralrimiva 3136 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
236 2fveq3 6897 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘˜)))
237236breq1d 5153 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ ((∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ↔ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘˜)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))))
238237rspccva 3600 . . . 4 ((βˆ€π‘š ∈ β„• (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘˜)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
239235, 238sylan 578 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘˜)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
2403, 11, 21, 149, 205, 207, 210, 239itg2i1fseq2 25704 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ⇝ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)))
241 1zzd 12623 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
242 eqid 2725 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2431, 6, 16, 25, 155, 242, 208itg2i1fseq3 25705 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜))) ⇝ (∫2β€˜πΉ))
24418mptex 7231 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ∈ V
245244a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ∈ V)
246 eqid 2725 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))
2472, 7, 17, 71, 164, 246, 209itg2i1fseq3 25705 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜))) ⇝ (∫2β€˜πΊ))
248 2fveq3 6897 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
249 fvex 6905 . . . . . 6 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ V
250248, 242, 249fvmpt 7000 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
251250adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
252215recnd 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
253251, 252eqeltrd 2825 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
254 2fveq3 6897 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)) = (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)))
255 fvex 6905 . . . . . 6 (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ∈ V
256254, 246, 255fvmpt 7000 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)))
257256adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)))
258217recnd 11272 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ∈ β„‚)
259257, 258eqeltrd 2825 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
260 2fveq3 6897 . . . . . 6 (𝑗 = π‘š β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘—)) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)))
261 fvex 6905 . . . . . 6 (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ∈ V
262260, 207, 261fvmpt 7000 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)))
263262adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)))
264251, 257oveq12d 7434 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) + ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š)) = ((∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) + (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š))))
265213, 263, 2643eqtr4d 2775 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)))β€˜π‘š) = (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) + ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š)))
266153, 241, 243, 245, 247, 253, 259, 265climadd 15608 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ⇝ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
267 climuni 15528 . 2 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ⇝ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ⇝ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))) β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
268240, 266, 267syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680   ∘r cofr 7681  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  +∞cpnf 11275   ≀ cle 11279  β„•cn 12242  [,)cico 13358  [,]cicc 13359   ⇝ cli 15460  MblFncmbf 25561  βˆ«1citg1 25562  βˆ«2citg2 25563  0𝑝c0p 25616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cmp 23309  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-0p 25617
This theorem is referenced by:  itg2add  25707
  Copyright terms: Public domain W3C validator