MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2addlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2addlem 24293
Description: Lemma for itg2add 24294. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
itg2add.p1 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.p2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2add.p3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2add.q1 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.q2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
itg2add.q3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2addlem (𝜑 → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2add.g1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
31, 2mbfadd 24196 . . 3 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) ∈ MblFn)
4 ge0addcl 12843 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
54adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6 itg2add.f2 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7 itg2add.g2 . . . 4 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
8 reex 10622 . . . . 5 ℝ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
10 inidm 4199 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
115, 6, 7, 9, 9, 10off 7418 . . 3 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
12 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
13 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
1412, 13i1fadd 24230 . . . . 5 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
1514adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑓f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16 itg2add.p1 . . . 4 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
17 itg2add.q1 . . . 4 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
18 nnex 11638 . . . . 5 ℕ ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
20 inidm 4199 . . . 4 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 7418 . . 3 (𝜑 → (𝑃ff + 𝑄):ℕ⟶dom ∫1)
22 ge0addcl 12843 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2322adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2416ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1)
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
26 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑚))
2726breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ↔ 0𝑝r ≤ (𝑃𝑚)))
28 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
2926, 28breq12d 5076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3027, 29anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))))
3130rspccva 3626 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3225, 31sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3332simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ (𝑃𝑚))
34 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑃𝑚) → (0𝑝r𝑓 ↔ 0𝑝r ≤ (𝑃𝑚)))
35 feq1 6494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑃𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
3634, 35imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑃𝑚) → ((0𝑝r𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
37 i1ff 24211 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
3837ffnd 6514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 Fn ℝ)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝑓) → 𝑓 Fn ℝ)
40 0cn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
41 fnconstg 6566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ × {0}) Fn ℂ
43 df-0p 24205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0𝑝 = (ℂ × {0})
4443fneq1i 6449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
4542, 44mpbir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0𝑝 Fn ℂ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
47 cnex 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
50 ax-resscn 10588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
51 sseqin2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
5250, 51mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
53 0pval 24206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
55 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
5646, 38, 48, 49, 52, 54, 55ofrfval 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝r𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥)))
5756biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥))
5837ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
59 elrege0 12837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑓𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓𝑥)))
6059simplbi2 501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑥) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑓𝑥) → (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑓𝑥) → (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6261ralimdva 3182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6362imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞))
6457, 63syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞))
65 ffnfv 6880 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6639, 64, 65sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝑓) → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞))
6766ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝r𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)))
6836, 67vtoclga 3579 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
6924, 33, 68sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
7017ffvelrnda 6849 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∈ dom ∫1)
71 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
72 fveq2 6669 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑚))
7372breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ↔ 0𝑝r ≤ (𝑄𝑚)))
74 fvoveq1 7173 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘(𝑛 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
7572, 74breq12d 5076 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
7673, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))))
7776rspccva 3626 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
7871, 77sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
7978simpld 495 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ (𝑄𝑚))
80 breq2 5067 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑄𝑚) → (0𝑝r𝑓 ↔ 0𝑝r ≤ (𝑄𝑚)))
81 feq1 6494 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑄𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
8280, 81imbi12d 346 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑄𝑚) → ((0𝑝r𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
8382, 67vtoclga 3579 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
8470, 79, 83sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
858a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
8623, 69, 84, 85, 85, 10off 7418 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞))
87 0plef 24207 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r ≤ ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))))
8886, 87sylib 219 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r ≤ ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))))
8988simprd 496 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)))
9016ffnd 6514 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 Fn ℕ)
9117ffnd 6514 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 Fn ℕ)
92 eqidd 2827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) = (𝑃𝑚))
93 eqidd 2827 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) = (𝑄𝑚))
9490, 91, 19, 19, 20, 92, 93ofval 7412 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)))
9589, 94breqtrrd 5091 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚))
96 i1ff 24211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ)
9724, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ)
9897ffvelrnda 6849 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
99 i1ff 24211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ)
10070, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ)
101100ffvelrnda 6849 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
102 peano2nn 11644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
103 ffvelrn 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
10416, 102, 103syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
105 i1ff 24211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
107106ffvelrnda 6849 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
108 ffvelrn 6847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
10917, 102, 108syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
110 i1ff 24211 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
112111ffvelrnda 6849 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
11332simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))
11497ffnd 6514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) Fn ℝ)
115106ffnd 6514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
116 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
117 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
118114, 115, 85, 85, 10, 116, 117ofrfval 7411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
119113, 118mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
120119r19.21bi 3213 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
12178simprd 496 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))
122100ffnd 6514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) Fn ℝ)
123111ffnd 6514 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
124 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
125 eqidd 2827 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
126122, 123, 85, 85, 10, 124, 125ofrfval 7411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
127121, 126mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
128127r19.21bi 3213 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
12998, 101, 107, 112, 120, 128le2addd 11253 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
130129ralrimiva 3187 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
13124, 70i1fadd 24230 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) ∈ dom ∫1)
132 i1ff 24211 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ)
133 ffn 6513 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) Fn ℝ)
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) Fn ℝ)
135104, 109i1fadd 24230 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1)
136 i1ff 24211 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
138137ffnd 6514 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
139114, 122, 85, 85, 10, 116, 124ofval 7412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
140115, 123, 85, 85, 10, 117, 125ofval 7412 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1)))‘𝑦) = (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
141134, 138, 85, 85, 10, 139, 140ofrfval 7411 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) ∘r ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))))
142130, 141mpbird 258 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) ∘r ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
143 eqidd 2827 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
144 eqidd 2827 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
14590, 91, 19, 19, 20, 143, 144ofval 7412 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
146102, 145sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
147142, 94, 1463brtr4d 5095 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1)))
14895, 147jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
149148ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
150 fveq2 6669 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚))
151150fveq1d 6671 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦) = (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
152151cbvmptv 5166 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
153 nnuz 12275 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
154 1zzd 12007 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
155 itg2add.p3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
156 fveq2 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑦))
157156mpteq2dv 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)))
158 fveq2 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
159157, 158breq12d 5076 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
160159rspccva 3626 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
161155, 160sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
16218mptex 6983 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
164 itg2add.q3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
165 fveq2 6669 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑦))
166165mpteq2dv 5159 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)))
167 fveq2 6669 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
168166, 167breq12d 5076 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))
169168rspccva 3626 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
170164, 169sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
17126fveq1d 6671 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
172 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))
173 fvex 6682 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ V
174171, 172, 173fvmpt 6767 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
175174adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
17698an32s 648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
177175, 176eqeltrd 2918 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
178177recnd 10663 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
17972fveq1d 6671 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄𝑛)‘𝑦) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
180 eqid 2826 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))
181 fvex 6682 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ V
182179, 180, 181fvmpt 6767 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
183182adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
184101an32s 648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
185183, 184eqeltrd 2918 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
186185recnd 10663 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
18794fveq1d 6671 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))‘𝑦))
188187adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))‘𝑦))
189188, 139eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
190189an32s 648 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
191 eqid 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))
192 fvex 6682 . . . . . . . . . 10 (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
193151, 191, 192fvmpt 6767 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
194193adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
195175, 183oveq12d 7168 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚)) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
196190, 194, 1953eqtr4d 2871 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚)))
197153, 154, 161, 163, 170, 178, 186, 196climadd 14983 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
198152, 197eqbrtrrid 5099 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
1996ffnd 6514 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
2007ffnd 6514 . . . . . 6 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
201 eqidd 2827 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
202 eqidd 2827 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑦))
203199, 200, 9, 9, 10, 201, 202ofval 7412 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
204198, 203breqtrrd 5091 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑦))
205204ralrimiva 3187 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑦))
206 2fveq3 6674 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑗)))
207206cbvmptv 5166 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑗)))
208 itg2add.f3 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
209 itg2add.g3 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
210208, 209readdcld 10664 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
21194fveq2d 6673 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))))
21224, 70itg1add 24236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
213211, 212eqtrd 2861 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
214 itg1cl 24220 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
21524, 214syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
216 itg1cl 24220 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℝ)
21770, 216syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℝ)
218208adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
219209adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2206adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
221 icossicc 12819 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
222 fss 6526 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
223220, 221, 222sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
2241, 6, 16, 25, 155itg2i1fseqle 24289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∘r𝐹)
225 itg2ub 24268 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑚) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
226223, 24, 224, 225syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
2277adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
228 fss 6526 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
229227, 221, 228sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
2302, 7, 17, 71, 164itg2i1fseqle 24289 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∘r𝐺)
231 itg2ub 24268 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑄𝑚) ∘r𝐺) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ≤ (∫2𝐺))
232229, 70, 230, 231syl3anc 1365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ≤ (∫2𝐺))
233215, 217, 218, 219, 226, 232le2addd 11253 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
234213, 233eqbrtrd 5085 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
235234ralrimiva 3187 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
236 2fveq3 6674 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑘)))
237236breq1d 5073 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
238237rspccva 3626 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
239235, 238sylan 580 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2403, 11, 21, 149, 205, 207, 210, 239itg2i1fseq2 24291 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹f + 𝐺)))
241 1zzd 12007 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
242 eqid 2826 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))
2431, 6, 16, 25, 155, 242, 208itg2i1fseq3 24292 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘))) ⇝ (∫2𝐹))
24418mptex 6983 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V
245244a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V)
246 eqid 2826 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))
2472, 7, 17, 71, 164, 246, 209itg2i1fseq3 24292 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘))) ⇝ (∫2𝐺))
248 2fveq3 6674 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑃𝑘)) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
249 fvex 6682 . . . . . 6 (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ V
250248, 242, 249fvmpt 6767 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
251250adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
252215recnd 10663 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℂ)
253251, 252eqeltrd 2918 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
254 2fveq3 6674 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑄𝑘)) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
255 fvex 6682 . . . . . 6 (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ V
256254, 246, 255fvmpt 6767 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
257256adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
258217recnd 10663 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℂ)
259257, 258eqeltrd 2918 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
260 2fveq3 6674 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑗)) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)))
261 fvex 6682 . . . . . 6 (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ∈ V
262260, 207, 261fvmpt 6767 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)))
263262adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)))
264251, 257oveq12d 7168 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
265213, 263, 2643eqtr4d 2871 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚)))
266153, 241, 243, 245, 247, 253, 259, 265climadd 14983 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
267 climuni 14904 . 2 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
268240, 266, 267syl2anc 584 1 (𝜑 → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  Vcvv 3500  cin 3939  wss 3940  {csn 4564   class class class wbr 5063  cmpt 5143   × cxp 5552  dom cdm 5554   Fn wfn 6349  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7150  f cof 7401  r cofr 7402  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534  +∞cpnf 10666  cle 10670  cn 11632  [,)cico 12735  [,]cicc 12736  cli 14836  MblFncmbf 24149  1citg1 24150  2citg2 24151  0𝑝c0p 24204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cc 9851  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-disj 5029  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-ofr 7404  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-acn 9365  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-cmp 21930  df-ovol 23999  df-vol 24000  df-mbf 24154  df-itg1 24155  df-itg2 24156  df-0p 24205
This theorem is referenced by:  itg2add  24294
  Copyright terms: Public domain W3C validator