Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2addlem Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Lemma for itg2add 24373. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g3 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
itg2add.p2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2add.p3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
itg2add.q2 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
itg2add.q3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
itg2addlem (𝜑 → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2add.g1 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
31, 2mbfadd 24275 . . 3 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺) ∈ MblFn)
4 ge0addcl 12841 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
54adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6 itg2add.f2 . . . 4 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7 itg2add.g2 . . . 4 (𝜑𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
8 reex 10620 . . . . 5 ℝ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ∈ V)
10 inidm 4145 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
115, 6, 7, 9, 9, 10off 7407 . . 3 (𝜑 → (𝐹f + 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
12 simpl 486 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
13 simpr 488 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
1412, 13i1fadd 24309 . . . . 5 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
1514adantl 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑓f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16 itg2add.p1 . . . 4 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
17 itg2add.q1 . . . 4 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
18 nnex 11634 . . . . 5 ℕ ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ∈ V)
20 inidm 4145 . . . 4 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 7407 . . 3 (𝜑 → (𝑃ff + 𝑄):ℕ⟶dom ∫1)
22 ge0addcl 12841 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2322adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2416ffvelrnda 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1)
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
26 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑚))
2726breq2d 5043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ↔ 0𝑝r ≤ (𝑃𝑚)))
28 fvoveq1 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
2926, 28breq12d 5044 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3027, 29anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))))
3130rspccva 3570 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑛) ∧ (𝑃𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3225, 31sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) ∧ (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
3332simpld 498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ (𝑃𝑚))
34 breq2 5035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑃𝑚) → (0𝑝r𝑓 ↔ 0𝑝r ≤ (𝑃𝑚)))
35 feq1 6469 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑃𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
3634, 35imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑃𝑚) → ((0𝑝r𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
37 i1ff 24290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
3837ffnd 6489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 Fn ℝ)
3938adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝑓) → 𝑓 Fn ℝ)
40 0cn 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℂ
41 fnconstg 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℂ × {0}) Fn ℂ
43 df-0p 24284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0𝑝 = (ℂ × {0})
4443fneq1i 6421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
4542, 44mpbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0𝑝 Fn ℂ
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
47 cnex 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℂ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
50 ax-resscn 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
51 sseqin2 4142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
5250, 51mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
53 0pval 24285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
5453adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
55 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
5646, 38, 48, 49, 52, 54, 55ofrfval 7399 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝r𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥)))
5756biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥))
5837ffvelrnda 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
59 elrege0 12835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑓𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓𝑥)))
6059simplbi2 504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑥) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑓𝑥) → (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑓𝑥) → (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6261ralimdva 3144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6362imp 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞))
6457, 63syldan 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞))
65 ffnfv 6860 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
6639, 64, 65sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝑓) → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞))
6766ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝r𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)))
6836, 67vtoclga 3522 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝r ≤ (𝑃𝑚) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
6924, 33, 68sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
7017ffvelrnda 6829 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∈ dom ∫1)
71 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
72 fveq2 6646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑚))
7372breq2d 5043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ↔ 0𝑝r ≤ (𝑄𝑚)))
74 fvoveq1 7159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘(𝑛 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
7572, 74breq12d 5044 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
7673, 75anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))))
7776rspccva 3570 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑛) ∧ (𝑄𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
7871, 77sylan 583 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) ∧ (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
7978simpld 498 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ (𝑄𝑚))
80 breq2 5035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑄𝑚) → (0𝑝r𝑓 ↔ 0𝑝r ≤ (𝑄𝑚)))
81 feq1 6469 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑄𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
8280, 81imbi12d 348 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑄𝑚) → ((0𝑝r𝑓𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
8382, 67vtoclga 3522 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝r ≤ (𝑄𝑚) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
8470, 79, 83sylc 65 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
858a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
8623, 69, 84, 85, 85, 10off 7407 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞))
87 0plef 24286 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r ≤ ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))))
8886, 87sylib 221 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r ≤ ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))))
8988simprd 499 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)))
9016ffnd 6489 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 Fn ℕ)
9117ffnd 6489 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 Fn ℕ)
92 eqidd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) = (𝑃𝑚))
93 eqidd 2799 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) = (𝑄𝑚))
9490, 91, 19, 19, 20, 92, 93ofval 7400 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)))
9589, 94breqtrrd 5059 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚))
96 i1ff 24290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ)
9724, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚):ℝ⟶ℝ)
9897ffvelrnda 6829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
99 i1ff 24290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ)
10070, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚):ℝ⟶ℝ)
101100ffvelrnda 6829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
102 peano2nn 11640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
103 ffvelrn 6827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
10416, 102, 103syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
105 i1ff 24290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
107106ffvelrnda 6829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
108 ffvelrn 6827 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
10917, 102, 108syl2an 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
110 i1ff 24290 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
112111ffvelrnda 6829 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
11332simprd 499 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))
11497ffnd 6489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) Fn ℝ)
115106ffnd 6489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
116 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
117 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
118114, 115, 85, 85, 10, 116, 117ofrfval 7399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
119113, 118mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
120119r19.21bi 3173 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
12178simprd 499 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))
122100ffnd 6489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) Fn ℝ)
123111ffnd 6489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
124 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
125 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
126122, 123, 85, 85, 10, 124, 125ofrfval 7399 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
127121, 126mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
128127r19.21bi 3173 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
12998, 101, 107, 112, 120, 128le2addd 11251 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
130129ralrimiva 3149 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
13124, 70i1fadd 24309 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) ∈ dom ∫1)
132 i1ff 24290 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ)
133 ffn 6488 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)):ℝ⟶ℝ → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) Fn ℝ)
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) Fn ℝ)
135104, 109i1fadd 24309 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1)
136 i1ff 24290 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
138137ffnd 6489 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
139114, 122, 85, 85, 10, 116, 124ofval 7400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
140115, 123, 85, 85, 10, 117, 125ofval 7400 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1)))‘𝑦) = (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
141134, 138, 85, 85, 10, 139, 140ofrfval 7399 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) ∘r ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))))
142130, 141mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚)) ∘r ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
143 eqidd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
144 eqidd 2799 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
14590, 91, 19, 19, 20, 143, 144ofval 7400 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
146102, 145sylan2 595 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
147142, 94, 1463brtr4d 5063 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1)))
14895, 147jca 515 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
149148ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (0𝑝r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃ff + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
150 fveq2 6646 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚))
151150fveq1d 6648 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦) = (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
152151cbvmptv 5134 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
153 nnuz 12272 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
154 1zzd 12004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
155 itg2add.p3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
156 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑦))
157156mpteq2dv 5127 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)))
158 fveq2 6646 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
159157, 158breq12d 5044 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦)))
160159rspccva 3570 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
161155, 160sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹𝑦))
16218mptex 6964 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
164 itg2add.q3 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
165 fveq2 6646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑦))
166165mpteq2dv 5127 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)))
167 fveq2 6646 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑦))
168166, 167breq12d 5044 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦)))
169168rspccva 3570 . . . . . . . 8 ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
170164, 169sylan 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺𝑦))
17126fveq1d 6648 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃𝑛)‘𝑦) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
172 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))
173 fvex 6659 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ V
174171, 172, 173fvmpt 6746 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
175174adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃𝑚)‘𝑦))
17698an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
177175, 176eqeltrd 2890 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
178177recnd 10661 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
17972fveq1d 6648 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄𝑛)‘𝑦) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
180 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))
181 fvex 6659 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ V
182179, 180, 181fvmpt 6746 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
183182adantl 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄𝑚)‘𝑦))
184101an32s 651 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
185183, 184eqeltrd 2890 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
186185recnd 10661 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
18794fveq1d 6648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))‘𝑦))
188187adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))‘𝑦))
189188, 139eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
190189an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
191 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))
192 fvex 6659 . . . . . . . . . 10 (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
193151, 191, 192fvmpt 6746 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
194193adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
195175, 183oveq12d 7154 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚)) = (((𝑃𝑚)‘𝑦) + ((𝑄𝑚)‘𝑦)))
196190, 194, 1953eqtr4d 2843 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑦))‘𝑚)))
197153, 154, 161, 163, 170, 178, 186, 196climadd 14983 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
198152, 197eqbrtrrid 5067 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
1996ffnd 6489 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
2007ffnd 6489 . . . . . 6 (𝜑𝐺 Fn ℝ)
201 eqidd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
202 eqidd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺𝑦) = (𝐺𝑦))
203199, 200, 9, 9, 10, 201, 202ofval 7400 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹f + 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹𝑦) + (𝐺𝑦)))
204198, 203breqtrrd 5059 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑦))
205204ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹f + 𝐺)‘𝑦))
206 2fveq3 6651 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑗)))
207206cbvmptv 5134 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑗)))
208 itg2add.f3 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
209 itg2add.g3 . . . 4 (𝜑 → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
210208, 209readdcld 10662 . . 3 (𝜑 → ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∈ ℝ)
21194fveq2d 6650 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))))
21224, 70itg1add 24315 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃𝑚) ∘f + (𝑄𝑚))) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
213211, 212eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
214 itg1cl 24299 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
21524, 214syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℝ)
216 itg1cl 24299 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℝ)
21770, 216syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℝ)
218208adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
219209adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫2𝐺) ∈ ℝ)
2206adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
221 icossicc 12817 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
222 fss 6502 . . . . . . . . 9 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
223220, 221, 222sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
2241, 6, 16, 25, 155itg2i1fseqle 24368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃𝑚) ∘r𝐹)
225 itg2ub 24347 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃𝑚) ∘r𝐹) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
226223, 24, 224, 225syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ≤ (∫2𝐹))
2277adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
228 fss 6502 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
229227, 221, 228sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
2302, 7, 17, 71, 164itg2i1fseqle 24368 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄𝑚) ∘r𝐺)
231 itg2ub 24347 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑄𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑄𝑚) ∘r𝐺) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ≤ (∫2𝐺))
232229, 70, 230, 231syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ≤ (∫2𝐺))
233215, 217, 218, 219, 226, 232le2addd 11251 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
234213, 233eqbrtrd 5053 . . . . 5 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
235234ralrimiva 3149 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
236 2fveq3 6651 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑘)))
237236breq1d 5041 . . . . 5 (𝑚 = 𝑘 → ((∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ↔ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))))
238237rspccva 3570 . . . 4 ((∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
239235, 238sylan 583 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
2403, 11, 21, 149, 205, 207, 210, 239itg2i1fseq2 24370 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹f + 𝐺)))
241 1zzd 12004 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
242 eqid 2798 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))
2431, 6, 16, 25, 155, 242, 208itg2i1fseq3 24371 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘))) ⇝ (∫2𝐹))
24418mptex 6964 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V
245244a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V)
246 eqid 2798 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))
2472, 7, 17, 71, 164, 246, 209itg2i1fseq3 24371 . . 3 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘))) ⇝ (∫2𝐺))
248 2fveq3 6651 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑃𝑘)) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
249 fvex 6659 . . . . . 6 (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ V
250248, 242, 249fvmpt 6746 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
251250adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃𝑚)))
252215recnd 10661 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃𝑚)) ∈ ℂ)
253251, 252eqeltrd 2890 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
254 2fveq3 6651 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑄𝑘)) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
255 fvex 6659 . . . . . 6 (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ V
256254, 246, 255fvmpt 6746 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
257256adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄𝑚)))
258217recnd 10661 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄𝑚)) ∈ ℂ)
259257, 258eqeltrd 2890 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
260 2fveq3 6651 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑚 → (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑗)) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)))
261 fvex 6659 . . . . . 6 (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)) ∈ V
262260, 207, 261fvmpt 6746 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)))
263262adantl 485 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑚)))
264251, 257oveq12d 7154 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃𝑚)) + (∫1‘(𝑄𝑚))))
265213, 263, 2643eqtr4d 2843 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄𝑘)))‘𝑚)))
266153, 241, 243, 245, 247, 253, 259, 265climadd 14983 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
267 climuni 14904 . 2 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃ff + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2𝐹) + (∫2𝐺))) → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
268240, 266, 267syl2anc 587 1 (𝜑 → (∫2‘(𝐹f + 𝐺)) = ((∫2𝐹) + (∫2𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518  dom cdm 5520   Fn wfn 6320  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∘f cof 7389   ∘r cofr 7390  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  +∞cpnf 10664   ≤ cle 10668  ℕcn 11628  [,)cico 12731  [,]cicc 12732   ⇝ cli 14836  MblFncmbf 24228  ∫1citg1 24229  ∫2citg2 24230  0𝑝c0p 24283 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cc 9849  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-ofr 7392  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fi 8862  df-sup 8893  df-inf 8894  df-oi 8961  df-dju 9317  df-card 9355  df-acn 9358  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-q 12340  df-rp 12381  df-xneg 12498  df-xadd 12499  df-xmul 12500  df-ioo 12733  df-ioc 12734  df-ico 12735  df-icc 12736  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-fl 13160  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-rest 16691  df-topgen 16712  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-top 21509  df-topon 21526  df-bases 21561  df-cmp 22002  df-ovol 24078  df-vol 24079  df-mbf 24233  df-itg1 24234  df-itg2 24235  df-0p 24284 This theorem is referenced by:  itg2add  24373
 Copyright terms: Public domain W3C validator