Theorem itg2addlem 24362

Description: Lemma for itg2add 24363. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2add.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
itg2add.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.p2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2add.p3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
itg2add.q1	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.q2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
itg2add.q3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2addlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem itg2addlem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2add.f1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2add.g1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
3	1, 2	mbfadd 24265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
4		ge0addcl 12838	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
5	4	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6		itg2add.f2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7		itg2add.g2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
8		reex 10617	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
10		inidm 4145	. . . 4 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
11	5, 6, 7, 9, 9, 10	off 7404	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
12		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
13		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
14	12, 13	i1fadd 24299	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
15	14	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16		itg2add.p1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
17		itg2add.q1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
18		nnex 11631	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
20		inidm 4145	. . . 4 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
21	15, 16, 17, 19, 19, 20	off 7404	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘f ∘f + 𝑄):ℕ⟶dom ∫1)
22		ge0addcl 12838	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
23	22	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
24	16	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1)
25		itg2add.p2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
26		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑚))
27	26	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚)))
28		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
29	26, 28	breq12d 5043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
30	27, 29	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))))
31	30	rspccva 3570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
32	25, 31	sylan 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
33	32	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚))
34		breq2 5034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → (0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚)))
35		feq1 6468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
36	34, 35	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → ((0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
37		i1ff 24280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
38	37	ffnd 6488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 Fn ℝ)
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝑓) → 𝑓 Fn ℝ)
40		0cn 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		fnconstg 6541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
43		df-0p 24274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
44	43	fneq1i 6420	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
45	42, 44	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
47		cnex 10607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
49	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
50		ax-resscn 10583	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
51		sseqin2 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
52	50, 51	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
53		0pval 24275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
54	53	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
55		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
56	46, 38, 48, 49, 52, 54, 55	ofrfval 7397	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)))
57	56	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥))
58	37	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
59		elrege0 12832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)))
60	59	simplbi2 504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑓‘𝑥) → (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑓‘𝑥) → (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
62	61	ralimdva 3144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
63	62	imp 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
64	57, 63	syldan 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
65		ffnfv 6859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
66	39, 64, 65	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝑓) → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞))
67	66	ex 416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)))
68	36, 67	vtoclga 3522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
69	24, 33, 68	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
70	17	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1)
71		itg2add.q2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
72		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑚))
73	72	breq2d 5042	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚)))
74		fvoveq1 7158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘(𝑛 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
75	72, 74	breq12d 5043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
76	73, 75	anbi12d 633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))))
77	76	rspccva 3570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
78	71, 77	sylan 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
79	78	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚))
80		breq2 5034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → (0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚)))
81		feq1 6468	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
82	80, 81	imbi12d 348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → ((0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
83	82, 67	vtoclga 3522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
84	70, 79, 83	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
85	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
86	23, 69, 84, 85, 85, 10	off 7404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞))
87		0plef 24276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))))
88	86, 87	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))))
89	88	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)))
90	16	ffnd 6488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ℕ)
91	17	ffnd 6488	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn ℕ)
92		eqidd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) = (𝑃‘𝑚))
93		eqidd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
94	90, 91, 19, 19, 20, 92, 93	ofval 7398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)))
95	89, 94	breqtrrd 5058	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚))
96		i1ff 24280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
97	24, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
98	97	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
99		i1ff 24280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
100	70, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
101	100	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
102		peano2nn 11637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
103		ffvelrn 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
104	16, 102, 103	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
105		i1ff 24280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
107	106	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
108		ffvelrn 6826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
109	17, 102, 108	syl2an 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
110		i1ff 24280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
112	111	ffvelrnda 6828	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
113	32	simprd 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))
114	97	ffnd 6488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) Fn ℝ)
115	106	ffnd 6488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
116		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
117		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
118	114, 115, 85, 85, 10, 116, 117	ofrfval 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
119	113, 118	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
120	119	r19.21bi 3173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
121	78	simprd 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))
122	100	ffnd 6488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) Fn ℝ)
123	111	ffnd 6488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
124		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
125		eqidd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
126	122, 123, 85, 85, 10, 124, 125	ofrfval 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
127	121, 126	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
128	127	r19.21bi 3173	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
129	98, 101, 107, 112, 120, 128	le2addd 11248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
130	129	ralrimiva 3149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
131	24, 70	i1fadd 24299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) ∈ dom ∫1)
132		i1ff 24280	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ)
133		ffn 6487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) Fn ℝ)
134	131, 132, 133	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) Fn ℝ)
135	104, 109	i1fadd 24299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1)
136		i1ff 24280	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
138	137	ffnd 6488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
139	114, 122, 85, 85, 10, 116, 124	ofval 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
140	115, 123, 85, 85, 10, 117, 125	ofval 7398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1)))‘𝑦) = (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
141	134, 138, 85, 85, 10, 139, 140	ofrfval 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) ∘r ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))))
142	130, 141	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) ∘r ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
143		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
144		eqidd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
145	90, 91, 19, 19, 20, 143, 144	ofval 7398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
146	102, 145	sylan2 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
147	142, 94, 146	3brtr4d 5062	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1)))
148	95, 147	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
149	148	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
150		fveq2 6645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚))
151	150	fveq1d 6647	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
152	151	cbvmptv 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
153		nnuz 12269	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
154		1zzd 12001	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
155		itg2add.p3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
156		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
157	156	mpteq2dv 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)))
158		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
159	157, 158	breq12d 5043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
160	159	rspccva 3570	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
161	155, 160	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
162	18	mptex 6963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V
163	162	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
164		itg2add.q3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
165		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))
166	165	mpteq2dv 5126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)))
167		fveq2 6645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
168	166, 167	breq12d 5043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
169	168	rspccva 3570	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
170	164, 169	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
171	26	fveq1d 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
172		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
173		fvex 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
174	171, 172, 173	fvmpt 6745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
175	174	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
176	98	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
177	175, 176	eqeltrd 2890	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
178	177	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
179	72	fveq1d 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
180		eqid 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))
181		fvex 6658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
182	179, 180, 181	fvmpt 6745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
183	182	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
184	101	an32s 651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
185	183, 184	eqeltrd 2890	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
186	185	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
187	94	fveq1d 6647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))‘𝑦))
188	187	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))‘𝑦))
189	188, 139	eqtrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
190	189	an32s 651	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
191		eqid 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))
192		fvex 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
193	151, 191, 192	fvmpt 6745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
194	193	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
195	175, 183	oveq12d 7153	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚)) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
196	190, 194, 195	3eqtr4d 2843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚)))
197	153, 154, 161, 163, 170, 178, 186, 196	climadd 14980	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
198	152, 197	eqbrtrrid 5066	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
199	6	ffnd 6488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
200	7	ffnd 6488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
201		eqidd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
202		eqidd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
203	199, 200, 9, 9, 10, 201, 202	ofval 7398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
204	198, 203	breqtrrd 5058	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑦))
205	204	ralrimiva 3149	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑦))
206		2fveq3 6650	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑗)))
207	206	cbvmptv 5133	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑗)))
208		itg2add.f3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
209		itg2add.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
210	208, 209	readdcld 10659	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
211	94	fveq2d 6649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))))
212	24, 70	itg1add 24305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
213	211, 212	eqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
214		itg1cl 24289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
215	24, 214	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
216		itg1cl 24289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℝ)
217	70, 216	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℝ)
218	208	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
219	209	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
220	6	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
221		icossicc 12814	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
222		fss 6501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
223	220, 221, 222	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
224	1, 6, 16, 25, 155	itg2i1fseqle 24358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ 𝐹)
225		itg2ub 24337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐹))
226	223, 24, 224, 225	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐹))
227	7	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
228		fss 6501	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
229	227, 221, 228	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
230	2, 7, 17, 71, 164	itg2i1fseqle 24358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ 𝐺)
231		itg2ub 24337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐺))
232	229, 70, 230, 231	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐺))
233	215, 217, 218, 219, 226, 232	le2addd 11248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
234	213, 233	eqbrtrd 5052	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
235	234	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
236		2fveq3 6650	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑘)))
237	236	breq1d 5040	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
238	237	rspccva 3570	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
239	235, 238	sylan 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
240	3, 11, 21, 149, 205, 207, 210, 239	itg2i1fseq2 24360	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)))
241		1zzd 12001	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
242		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
243	1, 6, 16, 25, 155, 242, 208	itg2i1fseq3 24361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘))) ⇝ (∫2‘𝐹))
244	18	mptex 6963	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V
245	244	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V)
246		eqid 2798	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))
247	2, 7, 17, 71, 164, 246, 209	itg2i1fseq3 24361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘))) ⇝ (∫2‘𝐺))
248		2fveq3 6650	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
249		fvex 6658	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ V
250	248, 242, 249	fvmpt 6745	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
251	250	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
252	215	recnd 10658	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℂ)
253	251, 252	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
254		2fveq3 6650	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑄‘𝑘)) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
255		fvex 6658	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ V
256	254, 246, 255	fvmpt 6745	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
257	256	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
258	217	recnd 10658	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℂ)
259	257, 258	eqeltrd 2890	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
260		2fveq3 6650	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑗)) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)))
261		fvex 6658	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ∈ V
262	260, 207, 261	fvmpt 6745	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)))
263	262	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)))
264	251, 257	oveq12d 7153	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
265	213, 263, 264	3eqtr4d 2843	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚)))
266	153, 241, 243, 245, 247, 253, 259, 265	climadd 14980	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
267		climuni 14901	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
268	240, 266, 267	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  dom cdm 5519   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387   ∘_r cofr 7388  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  +∞cpnf 10661   ≤ cle 10665  ℕcn 11625  [,)cico 12728  [,]cicc 12729   ⇝ cli 14833  MblFncmbf 24218  ∫₁citg1 24219  ∫₂citg2 24220  0_𝑝c0p 24273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-top 21499  df-topon 21516  df-bases 21551  df-cmp 21992  df-ovol 24068  df-vol 24069  df-mbf 24223  df-itg1 24224  df-itg2 24225  df-0p 24274

This theorem is referenced by:  itg2add  24363