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Theorem itg2addlem 25643
Description: Lemma for itg2add 25644. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2add.f3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2add.g1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2add.g3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
itg2add.p1 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2add.p2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
itg2add.p3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
itg2add.q1 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
itg2add.q2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ∧ (π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))))
itg2add.q3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
itg2addlem (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,π‘₯   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐺,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 itg2add.g1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
31, 2mbfadd 25545 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
4 ge0addcl 13443 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
54adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6 itg2add.f2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
7 itg2add.g2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
8 reex 11203 . . . . 5 ℝ ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
10 inidm 4213 . . . 4 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
115, 6, 7, 9, 9, 10off 7685 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f + 𝐺):β„βŸΆ(0[,)+∞))
12 simpl 482 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 ∈ dom ∫1)
13 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔 ∈ dom ∫1)
1412, 13i1fadd 25579 . . . . 5 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
1514adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16 itg2add.p1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
17 itg2add.q1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
18 nnex 12222 . . . . 5 β„• ∈ V
1918a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
20 inidm 4213 . . . 4 (β„• ∩ β„•) = β„•
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 7685 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∘f ∘f + 𝑄):β„•βŸΆdom ∫1)
22 ge0addcl 13443 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2322adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
2416ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1)
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))))
26 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘š))
2726breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ↔ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š)))
28 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)))
2926, 28breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))))
3027, 29anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)))))
3130rspccva 3605 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(𝑛 + 1))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))))
3225, 31sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))))
3332simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š))
34 breq2 5145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š)))
35 feq1 6692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ (𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
3634, 35imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ ((0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 β†’ 𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))))
37 i1ff 25560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
3837ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 Fn ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝑓) β†’ 𝑓 Fn ℝ)
40 0cn 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ β„‚
41 fnconstg 6773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚
43 df-0p 25554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
4443fneq1i 6640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0𝑝 Fn β„‚ ↔ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
4542, 44mpbir 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0𝑝 Fn β„‚
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 Fn β„‚)
47 cnex 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„‚ ∈ V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ β„‚ ∈ V)
498a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
50 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ βŠ† β„‚
51 sseqin2 4210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ)
5250, 51mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ
53 0pval 25555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0π‘β€˜π‘₯) = 0)
5453adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0π‘β€˜π‘₯) = 0)
55 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
5646, 38, 48, 49, 52, 54, 55ofrfval 7677 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯)))
5756biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝑓) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯))
5837ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
59 elrege0 13437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯)))
6059simplbi2 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
6158, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
6261ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
6362imp 406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (π‘“β€˜π‘₯)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
6457, 63syldan 590 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝑓) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
65 ffnfv 7114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
6639, 64, 65sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝑓) β†’ 𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞))
6766ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 β†’ 𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞)))
6836, 67vtoclga 3560 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜π‘š) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
6924, 33, 68sylc 65 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7017ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1)
71 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ∧ (π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))))
72 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘„β€˜π‘›) = (π‘„β€˜π‘š))
7372breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ↔ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š)))
74 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)) = (π‘„β€˜(π‘š + 1)))
7572, 74breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1)) ↔ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
7673, 75anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ∧ (π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1)))))
7776rspccva 3605 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘›) ∧ (π‘„β€˜π‘›) ∘r ≀ (π‘„β€˜(𝑛 + 1))) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
7871, 77sylan 579 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
7978simpld 494 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š))
80 breq2 5145 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘„β€˜π‘š) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š)))
81 feq1 6692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (π‘„β€˜π‘š) β†’ (𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
8280, 81imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (π‘„β€˜π‘š) β†’ ((0𝑝 ∘r ≀ 𝑓 β†’ 𝑓:β„βŸΆ(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))))
8382, 67vtoclga 3560 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘„β€˜π‘š) β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
8470, 79, 83sylc 65 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆ(0[,)+∞))
858a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
8623, 69, 84, 85, 85, 10off 7685 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
87 0plef 25556 . . . . . . . 8 (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))))
8886, 87sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))))
8988simprd 495 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)))
9016ffnd 6712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 Fn β„•)
9117ffnd 6712 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 Fn β„•)
92 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) = (π‘ƒβ€˜π‘š))
93 eqidd 2727 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) = (π‘„β€˜π‘š))
9490, 91, 19, 19, 20, 92, 93ofval 7678 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) = ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)))
9589, 94breqtrrd 5169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š))
96 i1ff 25560 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆβ„)
9724, 96syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š):β„βŸΆβ„)
9897ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
99 i1ff 25560 . . . . . . . . . . 11 ((π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆβ„)
10070, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š):β„βŸΆβ„)
101100ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
102 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
103 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1)
10416, 102, 103syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1)
105 i1ff 25560 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)):β„βŸΆβ„)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)):β„βŸΆβ„)
107106ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
108 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄:β„•βŸΆdom ∫1 ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1)
10917, 102, 108syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1)
110 i1ff 25560 . . . . . . . . . . 11 ((π‘„β€˜(π‘š + 1)) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)):β„βŸΆβ„)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)):β„βŸΆβ„)
112111ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
11332simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)))
11497ffnd 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) Fn ℝ)
115106ffnd 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) Fn ℝ)
116 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
117 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
118114, 115, 85, 85, 10, 116, 117ofrfval 7677 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
119113, 118mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
120119r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
12178simprd 495 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1)))
122100ffnd 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) Fn ℝ)
123111ffnd 6712 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) Fn ℝ)
124 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
125 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) = ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
126122, 123, 85, 85, 10, 124, 125ofrfval 7677 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
127121, 126mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
128127r19.21bi 3242 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ≀ ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))
12998, 101, 107, 112, 120, 128le2addd 11837 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
130129ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
13124, 70i1fadd 25579 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) ∈ dom ∫1)
132 i1ff 25560 . . . . . . . . 9 (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆβ„)
133 ffn 6711 . . . . . . . . 9 (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)):β„βŸΆβ„ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) Fn ℝ)
134131, 132, 1333syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) Fn ℝ)
135104, 109i1fadd 25579 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))) ∈ dom ∫1)
136 i1ff 25560 . . . . . . . . . 10 (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))) ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))):β„βŸΆβ„)
137135, 136syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))):β„βŸΆβ„)
138137ffnd 6712 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))) Fn ℝ)
139114, 122, 85, 85, 10, 116, 124ofval 7678 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
140115, 123, 85, 85, 10, 117, 125ofval 7678 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1)))β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦)))
141134, 138, 85, 85, 10, 139, 140ofrfval 7677 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ≀ (((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜(π‘š + 1))β€˜π‘¦))))
142130, 141mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š)) ∘r ≀ ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
143 eqidd 2727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) = (π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)))
144 eqidd 2727 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜(π‘š + 1)) = (π‘„β€˜(π‘š + 1)))
14590, 91, 19, 19, 20, 143, 144ofval 7678 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•) β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1)) = ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
146102, 145sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1)) = ((π‘ƒβ€˜(π‘š + 1)) ∘f + (π‘„β€˜(π‘š + 1))))
147142, 94, 1463brtr4d 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1)))
14895, 147jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0𝑝 ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∧ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1))))
149148ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (0𝑝 ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∧ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š) ∘r ≀ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜(π‘š + 1))))
150 fveq2 6885 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘š β†’ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›) = ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š))
151150fveq1d 6887 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘š β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
152151cbvmptv 5254 . . . . . 6 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
153 nnuz 12869 . . . . . . 7 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
154 1zzd 12597 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„€)
155 itg2add.p3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
156 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
157156mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
158 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘¦))
159157, 158breq12d 5154 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦)))
160159rspccva 3605 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
161155, 160sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΉβ€˜π‘¦))
16218mptex 7220 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ V
163162a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ∈ V)
164 itg2add.q3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
165 fveq2 6885 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))
166165mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
167 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘¦))
168166, 167breq12d 5154 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯) ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦)))
169168rspccva 3605 . . . . . . . 8 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))
170164, 169sylan 579 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ (πΊβ€˜π‘¦))
17126fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
172 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
173 fvex 6898 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ V
174171, 172, 173fvmpt 6992 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
175174adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦))
17698an32s 649 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
177175, 176eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
178177recnd 11246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
17972fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦) = ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
180 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))
181 fvex 6898 . . . . . . . . . . 11 ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ V
182179, 180, 181fvmpt 6992 . . . . . . . . . 10 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
183182adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
184101an32s 649 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ ℝ)
185183, 184eqeltrd 2827 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
186185recnd 11246 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
18794fveq1d 6887 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))β€˜π‘¦))
188187adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))β€˜π‘¦))
189188, 139eqtrd 2766 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
190189an32s 649 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) = (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
191 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦))
192 fvex 6898 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦) ∈ V
193151, 191, 192fvmpt 6992 . . . . . . . . 9 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
194193adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦))
195175, 183oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š)) = (((π‘ƒβ€˜π‘š)β€˜π‘¦) + ((π‘„β€˜π‘š)β€˜π‘¦)))
196190, 194, 1953eqtr4d 2776 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š) + ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘¦))β€˜π‘š)))
197153, 154, 161, 163, 170, 178, 186, 196climadd 15582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)β€˜π‘¦)) ⇝ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘¦)))
198152, 197eqbrtrrid 5177 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ⇝ ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘¦)))
1996ffnd 6712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
2007ffnd 6712 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
201 eqidd 2727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
202 eqidd 2727 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜π‘¦))
203199, 200, 9, 9, 10, 201, 202ofval 7678 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘¦) = ((πΉβ€˜π‘¦) + (πΊβ€˜π‘¦)))
204198, 203breqtrrd 5169 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ⇝ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘¦))
205204ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π‘š ∈ β„• ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)β€˜π‘¦)) ⇝ ((𝐹 ∘f + 𝐺)β€˜π‘¦))
206 2fveq3 6890 . . . 4 (𝑛 = 𝑗 β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘—)))
207206cbvmptv 5254 . . 3 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘—)))
208 itg2add.f3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
209 itg2add.g3 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
210208, 209readdcld 11247 . . 3 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∈ ℝ)
21194fveq2d 6889 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) = (∫1β€˜((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))))
21224, 70itg1add 25586 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((π‘ƒβ€˜π‘š) ∘f + (π‘„β€˜π‘š))) = ((∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) + (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š))))
213211, 212eqtrd 2766 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) = ((∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) + (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š))))
214 itg1cl 25569 . . . . . . . 8 ((π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
21524, 214syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ ℝ)
216 itg1cl 25569 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
21770, 216syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ∈ ℝ)
218208adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
219209adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜πΊ) ∈ ℝ)
2206adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
221 icossicc 13419 . . . . . . . . 9 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
222 fss 6728 . . . . . . . . 9 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
223220, 221, 222sylancl 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
2241, 6, 16, 25, 155itg2i1fseqle 25639 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ 𝐹)
225 itg2ub 25618 . . . . . . . 8 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘ƒβ€˜π‘š) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ≀ (∫2β€˜πΉ))
226223, 24, 224, 225syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ≀ (∫2β€˜πΉ))
2277adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞))
228 fss 6728 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
229227, 221, 228sylancl 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞))
2302, 7, 17, 71, 164itg2i1fseqle 25639 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ 𝐺)
231 itg2ub 25618 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘„β€˜π‘š) ∘r ≀ 𝐺) β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ≀ (∫2β€˜πΊ))
232229, 70, 230, 231syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ≀ (∫2β€˜πΊ))
233215, 217, 218, 219, 226, 232le2addd 11837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) + (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
234213, 233eqbrtrd 5163 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
235234ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘š ∈ β„• (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
236 2fveq3 6890 . . . . . 6 (π‘š = π‘˜ β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘˜)))
237236breq1d 5151 . . . . 5 (π‘š = π‘˜ β†’ ((∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ↔ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘˜)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))))
238237rspccva 3605 . . . 4 ((βˆ€π‘š ∈ β„• (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘˜)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
239235, 238sylan 579 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘˜)) ≀ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
2403, 11, 21, 149, 205, 207, 210, 239itg2i1fseq2 25641 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ⇝ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)))
241 1zzd 12597 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
242 eqid 2726 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))
2431, 6, 16, 25, 155, 242, 208itg2i1fseq3 25642 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜))) ⇝ (∫2β€˜πΉ))
24418mptex 7220 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ∈ V
245244a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ∈ V)
246 eqid 2726 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))
2472, 7, 17, 71, 164, 246, 209itg2i1fseq3 25642 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜))) ⇝ (∫2β€˜πΊ))
248 2fveq3 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
249 fvex 6898 . . . . . 6 (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ V
250248, 242, 249fvmpt 6992 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
251250adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)))
252215recnd 11246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) ∈ β„‚)
253251, 252eqeltrd 2827 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
254 2fveq3 6890 . . . . . 6 (π‘˜ = π‘š β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)) = (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)))
255 fvex 6898 . . . . . 6 (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ∈ V
256254, 246, 255fvmpt 6992 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)))
257256adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)))
258217recnd 11246 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š)) ∈ β„‚)
259257, 258eqeltrd 2827 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
260 2fveq3 6890 . . . . . 6 (𝑗 = π‘š β†’ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘—)) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)))
261 fvex 6898 . . . . . 6 (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)) ∈ V
262260, 207, 261fvmpt 6992 . . . . 5 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)))
263262adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)))β€˜π‘š) = (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘š)))
264251, 257oveq12d 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) + ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š)) = ((∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘š)) + (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘š))))
265213, 263, 2643eqtr4d 2776 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›)))β€˜π‘š) = (((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘ƒβ€˜π‘˜)))β€˜π‘š) + ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘„β€˜π‘˜)))β€˜π‘š)))
266153, 241, 243, 245, 247, 253, 259, 265climadd 15582 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ⇝ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
267 climuni 15502 . 2 (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ⇝ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)β€˜π‘›))) ⇝ ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ))) β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
268240, 266, 267syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2β€˜πΉ) + (∫2β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665   ∘r cofr 7666  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  [,)cico 13332  [,]cicc 13333   ⇝ cli 15434  MblFncmbf 25498  βˆ«1citg1 25499  βˆ«2citg2 25500  0𝑝c0p 25553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504  df-itg2 25505  df-0p 25554
This theorem is referenced by:  itg2add  25644
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