Theorem itg2addlem 25706

Description: Lemma for itg2add 25707. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2add.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2add.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.f3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2add.g1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
itg2add.g2	⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2add.g3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
itg2add.p1	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.p2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
itg2add.p3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
itg2add.q1	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
itg2add.q2	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
itg2add.q3	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
itg2addlem	⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐹   𝑃,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem itg2addlem

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2add.f1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		itg2add.g1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
3	1, 2	mbfadd 25608	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) ∈ MblFn)
4		ge0addcl 13469	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
5	4	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑧 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (0[,)+∞))
6		itg2add.f2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7		itg2add.g2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
8		reex 11229	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
9	8	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
10		inidm 4213	. . . 4 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
11	5, 6, 7, 9, 9, 10	off 7700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺):ℝ⟶(0[,)+∞))
12		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 ∈ dom ∫1)
13		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔 ∈ dom ∫1)
14	12, 13	i1fadd 25642	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
15	14	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑓 ∘f + 𝑔) ∈ dom ∫1)
16		itg2add.p1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
17		itg2add.q1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
18		nnex 12248	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℕ ∈ V)
20		inidm 4213	. . . 4 ⊢ (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
21	15, 16, 17, 19, 19, 20	off 7700	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∘f ∘f + 𝑄):ℕ⟶dom ∫1)
22		ge0addcl 13469	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
23	22	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ (𝑓 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑔 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑓 + 𝑔) ∈ (0[,)+∞))
24	16	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1)
25		itg2add.p2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))))
26		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑚))
27	26	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚)))
28		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑃‘(𝑛 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
29	26, 28	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
30	27, 29	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))))
31	30	rspccva 3600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑛) ∧ (𝑃‘𝑛) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
32	25, 31	sylan 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) ∧ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1))))
33	32	simpld 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚))
34		breq2 5147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → (0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚)))
35		feq1 6698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
36	34, 35	imbi12d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑃‘𝑚) → ((0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
37		i1ff 25623	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
38	37	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 𝑓 Fn ℝ)
39	38	adantr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝑓) → 𝑓 Fn ℝ)
40		0cn 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ ℂ
41		fnconstg 6780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
43		df-0p 25617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
44	43	fneq1i 6646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
45	42, 44	mpbir 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
47		cnex 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℂ ∈ V
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
49	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
50		ax-resscn 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
51		sseqin2 4209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
52	50, 51	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
53		0pval 25618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
54	53	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
55		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) = (𝑓‘𝑥))
56	46, 38, 48, 49, 52, 54, 55	ofrfval 7692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)))
57	56	biimpa 475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥))
58	37	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑓‘𝑥) ∈ ℝ)
59		elrege0 13463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)))
60	59	simplbi2 499	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓‘𝑥) ∈ ℝ → (0 ≤ (𝑓‘𝑥) → (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑓‘𝑥) → (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
62	61	ralimdva 3157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
63	62	imp 405	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝑓‘𝑥)) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
64	57, 63	syldan 589	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝑓) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
65		ffnfv 7124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑓 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑓‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
66	39, 64, 65	sylanbrc 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝑓) → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞))
67	66	ex 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)))
68	36, 67	vtoclga 3555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑃‘𝑚) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
69	24, 33, 68	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
70	17	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1)
71		itg2add.q2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))))
72		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑚))
73	72	breq2d 5155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚)))
74		fvoveq1 7439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑄‘(𝑛 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
75	72, 74	breq12d 5156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1)) ↔ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
76	73, 75	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ↔ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))))
77	76	rspccva 3600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑛) ∧ (𝑄‘𝑛) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑛 + 1))) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
78	71, 77	sylan 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) ∧ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1))))
79	78	simpld 493	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚))
80		breq2 5147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → (0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 ↔ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚)))
81		feq1 6698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → (𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
82	80, 81	imbi12d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑄‘𝑚) → ((0𝑝 ∘r ≤ 𝑓 → 𝑓:ℝ⟶(0[,)+∞)) ↔ (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))))
83	82, 67	vtoclga 3555	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑄‘𝑚) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞)))
84	70, 79, 83	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶(0[,)+∞))
85	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
86	23, 69, 84, 85, 85, 10	off 7700	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞))
87		0plef 25619	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))))
88	86, 87	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))))
89	88	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)))
90	16	ffnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 Fn ℕ)
91	17	ffnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn ℕ)
92		eqidd 2726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) = (𝑃‘𝑚))
93		eqidd 2726	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) = (𝑄‘𝑚))
94	90, 91, 19, 19, 20, 92, 93	ofval 7693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)))
95	89, 94	breqtrrd 5171	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚))
96		i1ff 25623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
97	24, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
98	97	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
99		i1ff 25623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
100	70, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚):ℝ⟶ℝ)
101	100	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
102		peano2nn 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
103		ffvelcdm 7086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
104	16, 102, 103	syl2an 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
105		i1ff 25623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
107	106	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
108		ffvelcdm 7086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄:ℕ⟶dom ∫1 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
109	17, 102, 108	syl2an 594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1)
110		i1ff 25623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘(𝑚 + 1)) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)):ℝ⟶ℝ)
112	111	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) ∈ ℝ)
113	32	simprd 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)))
114	97	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) Fn ℝ)
115	106	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
116		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
117		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
118	114, 115, 85, 85, 10, 116, 117	ofrfval 7692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘r ≤ (𝑃‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
119	113, 118	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
120	119	r19.21bi 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
121	78	simprd 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)))
122	100	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) Fn ℝ)
123	111	ffnd 6718	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) Fn ℝ)
124		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
125		eqidd 2726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦) = ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
126	122, 123, 85, 85, 10, 124, 125	ofrfval 7692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑚) ∘r ≤ (𝑄‘(𝑚 + 1)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
127	121, 126	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
128	127	r19.21bi 3239	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ≤ ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))
129	98, 101, 107, 112, 120, 128	le2addd 11863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
130	129	ralrimiva 3136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
131	24, 70	i1fadd 25642	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) ∈ dom ∫1)
132		i1ff 25623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ)
133		ffn 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)):ℝ⟶ℝ → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) Fn ℝ)
134	131, 132, 133	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) Fn ℝ)
135	104, 109	i1fadd 25642	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1)
136		i1ff 25623	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))):ℝ⟶ℝ)
138	137	ffnd 6718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) Fn ℝ)
139	114, 122, 85, 85, 10, 116, 124	ofval 7693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
140	115, 123, 85, 85, 10, 117, 125	ofval 7693	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1)))‘𝑦) = (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦)))
141	134, 138, 85, 85, 10, 139, 140	ofrfval 7692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) ∘r ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)) ≤ (((𝑃‘(𝑚 + 1))‘𝑦) + ((𝑄‘(𝑚 + 1))‘𝑦))))
142	130, 141	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚)) ∘r ≤ ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
143		eqidd 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑃‘(𝑚 + 1)) = (𝑃‘(𝑚 + 1)))
144		eqidd 2726	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → (𝑄‘(𝑚 + 1)) = (𝑄‘(𝑚 + 1)))
145	90, 91, 19, 19, 20, 143, 144	ofval 7693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
146	102, 145	sylan2 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1)) = ((𝑃‘(𝑚 + 1)) ∘f + (𝑄‘(𝑚 + 1))))
147	142, 94, 146	3brtr4d 5175	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1)))
148	95, 147	jca 510	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
149	148	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (0𝑝 ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∧ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚) ∘r ≤ ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘(𝑚 + 1))))
150		fveq2 6892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛) = ((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚))
151	150	fveq1d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
152	151	cbvmptv 5256	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
153		nnuz 12895	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
154		1zzd 12623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℤ)
155		itg2add.p3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
156		fveq2 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
157	156	mpteq2dv 5245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)))
158		fveq2 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦))
159	157, 158	breq12d 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦)))
160	159	rspccva 3600	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
161	155, 160	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐹‘𝑦))
162	18	mptex 7231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V
163	162	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ∈ V)
164		itg2add.q3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
165		fveq2 6892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))
166	165	mpteq2dv 5245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)))
167		fveq2 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑦))
168	166, 167	breq12d 5156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦)))
169	168	rspccva 3600	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
170	164, 169	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ (𝐺‘𝑦))
171	26	fveq1d 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
172		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))
173		fvex 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
174	171, 172, 173	fvmpt 7000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
175	174	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑃‘𝑚)‘𝑦))
176	98	an32s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
177	175, 176	eqeltrd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
178	177	recnd 11272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
179	72	fveq1d 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑦) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
180		eqid 2725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))
181		fvex 6905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
182	179, 180, 181	fvmpt 7000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
183	182	adantl 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = ((𝑄‘𝑚)‘𝑦))
184	101	an32s 650	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑚)‘𝑦) ∈ ℝ)
185	183, 184	eqeltrd 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℝ)
186	185	recnd 11272	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) ∈ ℂ)
187	94	fveq1d 6894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))‘𝑦))
188	187	adantr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))‘𝑦))
189	188, 139	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
190	189	an32s 650	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
191		eqid 2725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))
192		fvex 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦) ∈ V
193	151, 191, 192	fvmpt 7000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
194	193	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦))
195	175, 183	oveq12d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚)) = (((𝑃‘𝑚)‘𝑦) + ((𝑄‘𝑚)‘𝑦)))
196	190, 194, 195	3eqtr4d 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚) + ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑦))‘𝑚)))
197	153, 154, 161, 163, 170, 178, 186, 196	climadd 15608	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
198	152, 197	eqbrtrrid 5179	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
199	6	ffnd 6718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
200	7	ffnd 6718	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn ℝ)
201		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
202		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑦) = (𝐺‘𝑦))
203	199, 200, 9, 9, 10, 201, 202	ofval 7693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑦) = ((𝐹‘𝑦) + (𝐺‘𝑦)))
204	198, 203	breqtrrd 5171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑦))
205	204	ralrimiva 3136	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑚 ∈ ℕ ↦ (((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)‘𝑦)) ⇝ ((𝐹 ∘f + 𝐺)‘𝑦))
206		2fveq3 6897	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑗)))
207	206	cbvmptv 5256	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑗)))
208		itg2add.f3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
209		itg2add.g3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
210	208, 209	readdcld 11273	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∈ ℝ)
211	94	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))))
212	24, 70	itg1add 25649	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃‘𝑚) ∘f + (𝑄‘𝑚))) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
213	211, 212	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
214		itg1cl 25632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
215	24, 214	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℝ)
216		itg1cl 25632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℝ)
217	70, 216	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℝ)
218	208	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
219	209	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫2‘𝐺) ∈ ℝ)
220	6	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
221		icossicc 13445	. . . . . . . . 9 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
222		fss 6734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
223	220, 221, 222	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
224	1, 6, 16, 25, 155	itg2i1fseqle 25702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ 𝐹)
225		itg2ub 25681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑃‘𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑃‘𝑚) ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐹))
226	223, 24, 224, 225	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐹))
227	7	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞))
228		fss 6734	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
229	227, 221, 228	sylancl 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞))
230	2, 7, 17, 71, 164	itg2i1fseqle 25702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ 𝐺)
231		itg2ub 25681	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑄‘𝑚) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑄‘𝑚) ∘r ≤ 𝐺) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐺))
232	229, 70, 230, 231	syl3anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ≤ (∫2‘𝐺))
233	215, 217, 218, 219, 226, 232	le2addd 11863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
234	213, 233	eqbrtrd 5165	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
235	234	ralrimiva 3136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
236		2fveq3 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑘)))
237	236	breq1d 5153	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ↔ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))))
238	237	rspccva 3600	. . . 4 ⊢ ((∀𝑚 ∈ ℕ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
239	235, 238	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑘)) ≤ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
240	3, 11, 21, 149, 205, 207, 210, 239	itg2i1fseq2 25704	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)))
241		1zzd 12623	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
242		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))
243	1, 6, 16, 25, 155, 242, 208	itg2i1fseq3 25705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘))) ⇝ (∫2‘𝐹))
244	18	mptex 7231	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V
245	244	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ∈ V)
246		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))
247	2, 7, 17, 71, 164, 246, 209	itg2i1fseq3 25705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘))) ⇝ (∫2‘𝐺))
248		2fveq3 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑃‘𝑘)) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
249		fvex 6905	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ V
250	248, 242, 249	fvmpt 7000	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
251	250	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑃‘𝑚)))
252	215	recnd 11272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑃‘𝑚)) ∈ ℂ)
253	251, 252	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
254		2fveq3 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (∫1‘(𝑄‘𝑘)) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
255		fvex 6905	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ V
256	254, 246, 255	fvmpt 7000	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
257	256	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) = (∫1‘(𝑄‘𝑚)))
258	217	recnd 11272	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∫1‘(𝑄‘𝑚)) ∈ ℂ)
259	257, 258	eqeltrd 2825	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚) ∈ ℂ)
260		2fveq3 6897	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑚 → (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑗)) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)))
261		fvex 6905	. . . . . 6 ⊢ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)) ∈ V
262	260, 207, 261	fvmpt 7000	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)))
263	262	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑚)))
264	251, 257	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚)) = ((∫1‘(𝑃‘𝑚)) + (∫1‘(𝑄‘𝑚))))
265	213, 263, 264	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛)))‘𝑚) = (((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑃‘𝑘)))‘𝑚) + ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (∫1‘(𝑄‘𝑘)))‘𝑚)))
266	153, 241, 243, 245, 247, 253, 259, 265	climadd 15608	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
267		climuni 15528	. 2 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (∫1‘((𝑃 ∘f ∘f + 𝑄)‘𝑛))) ⇝ ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺))) → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))
268	240, 266, 267	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝐹 ∘f + 𝐺)) = ((∫2‘𝐹) + (∫2‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   ⊆ wss 3939  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   × cxp 5670  dom cdm 5672   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7680   ∘_r cofr 7681  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  +∞cpnf 11275   ≤ cle 11279  ℕcn 12242  [,)cico 13358  [,]cicc 13359   ⇝ cli 15460  MblFncmbf 25561  ∫₁citg1 25562  ∫₂citg2 25563  0_𝑝c0p 25616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-rest 17403  df-topgen 17424  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-top 22814  df-topon 22831  df-bases 22867  df-cmp 23309  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-0p 25617

This theorem is referenced by:  itg2add  25707