Theorem dgraa0p 43190

Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgraa0p	⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴))
2		simpl2 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
3		dgrcl 26165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12443	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℝ)
6		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ 𝔸)
7		dgraacl 43187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
9	8	nnred 12140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℝ)
10	5, 9	ltnled 11260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴) ↔ ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
11	1, 10	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
12		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
13		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
14		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
15		aacn 26252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
18		dgraaub 43189	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
19	12, 13, 16, 17, 18	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
20	19	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
21	11, 20	mtod 198	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0)
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0))
23	22	necon4ad 2947	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → 𝑃 = 0𝑝))
24		0pval 25599	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)
25	15, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (0𝑝‘𝐴) = 0)
26		fveq1 6821	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = (0𝑝‘𝐴))
27	26	eqeq1d 2733	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ (0𝑝‘𝐴) = 0))
28	25, 27	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
29	28	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
30	23, 29	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  ℂcc 11004  0cc0 11006   < clt 11146   ≤ cle 11147  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381  ℚcq 12846  0_𝑝c0p 25597  Polycply 26116  degcdgr 26119  𝔸caa 26249  deg_AAcdgraa 43181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-0p 25598  df-ply 26120  df-coe 26122  df-dgr 26123  df-aa 26250  df-dgraa 43183

This theorem is referenced by:  mpaaeu  43191