Theorem dgraa0p 42573

Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgraa0p	⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴))
2		simpl2 1190	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
3		dgrcl 26180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12564	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℝ)
6		simpl1 1189	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ 𝔸)
7		dgraacl 42570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
9	8	nnred 12258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℝ)
10	5, 9	ltnled 11392	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴) ↔ ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
11	1, 10	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
12		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
13		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
14		simpl1 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
15		aacn 26265	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
18		dgraaub 42572	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
19	12, 13, 16, 17, 18	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
20	19	expr 456	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
21	11, 20	mtod 197	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0)
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0))
23	22	necon4ad 2956	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → 𝑃 = 0𝑝))
24		0pval 25613	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)
25	15, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (0𝑝‘𝐴) = 0)
26		fveq1 6896	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = (0𝑝‘𝐴))
27	26	eqeq1d 2730	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ (0𝑝‘𝐴) = 0))
28	25, 27	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
29	28	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
30	23, 29	impbid 211	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  ℂcc 11137  0cc0 11139   < clt 11279   ≤ cle 11280  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12503  ℚcq 12963  0_𝑝c0p 25611  Polycply 26131  degcdgr 26134  𝔸caa 26262  deg_AAcdgraa 42564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-0p 25612  df-ply 26135  df-coe 26137  df-dgr 26138  df-aa 26263  df-dgraa 42566

This theorem is referenced by:  mpaaeu  42574