Theorem dgraa0p 44150

Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgraa0p	⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴))
2		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
3		dgrcl 26552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℝ)
6		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ 𝔸)
7		dgraacl 44147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
9	8	nnred 12350	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℝ)
10	5, 9	ltnled 11457	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴) ↔ ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
11	1, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
12		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
13		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
14		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
15		aacn 26640	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
18		dgraaub 44149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
19	12, 13, 16, 17, 18	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
20	19	expr 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
21	11, 20	mtod 201	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0)
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0))
23	22	necon4ad 2975	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → 𝑃 = 0𝑝))
24		0pval 25992	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)
25	15, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (0𝑝‘𝐴) = 0)
26		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = (0𝑝‘𝐴))
27	26	eqeq1d 2763	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ (0𝑝‘𝐴) = 0))
28	25, 27	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
29	28	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
30	23, 29	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6538  ℂcc 11198  0cc0 11200   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℚcq 13075  0_𝑝c0p 25990  Polycply 26502  degcdgr 26505  𝔸caa 26637  deg_AAcdgraa 44141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-0p 25991  df-ply 26506  df-coe 26508  df-dgr 26509  df-aa 26638  df-dgraa 44143

This theorem is used by:  mpaaeu  44151