Theorem dgraa0p 43936

Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgraa0p	⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴))
2		simpl2 1211	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
3		dgrcl 26443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℝ)
6		simpl1 1210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ 𝔸)
7		dgraacl 43933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
9	8	nnred 12265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℝ)
10	5, 9	ltnled 11374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴) ↔ ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
11	1, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
12		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
13		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
14		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
15		aacn 26531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
18		dgraaub 43935	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
19	12, 13, 16, 17, 18	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
20	19	expr 462	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
21	11, 20	mtod 201	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0)
22	21	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0))
23	22	necon4ad 2979	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → 𝑃 = 0𝑝))
24		0pval 25883	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)
25	15, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (0𝑝‘𝐴) = 0)
26		fveq1 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = (0𝑝‘𝐴))
27	26	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ (0𝑝‘𝐴) = 0))
28	25, 27	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
29	28	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
30	23, 29	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  ℂcc 11115  0cc0 11117   < clt 11260   ≤ cle 11261  ℕcn 12250  ℕ₀cn0 12521  ℚcq 12990  0_𝑝c0p 25881  Polycply 26394  degcdgr 26397  𝔸caa 26528  deg_AAcdgraa 43927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-mod 13923  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-0p 25882  df-ply 26398  df-coe 26400  df-dgr 26401  df-aa 26529  df-dgraa 43929

This theorem is used by:  mpaaeu  43937