Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraa0p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraa0p 42604
Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgraa0p ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄))
2 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š))
3 dgrcl 26187 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ β„•0)
54nn0red 12571 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ (degβ€˜π‘ƒ) ∈ ℝ)
6 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ 𝐴 ∈ 𝔸)
7 dgraacl 42601 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ (degAAβ€˜π΄) ∈ β„•)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ (degAAβ€˜π΄) ∈ β„•)
98nnred 12265 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ (degAAβ€˜π΄) ∈ ℝ)
105, 9ltnled 11399 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ ((degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄) ↔ Β¬ (degAAβ€˜π΄) ≀ (degβ€˜π‘ƒ)))
111, 10mpbid 231 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ Β¬ (degAAβ€˜π΄) ≀ (degβ€˜π‘ƒ))
12 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ (𝑃 β‰  0𝑝 ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š))
13 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ (𝑃 β‰  0𝑝 ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ 𝑃 β‰  0𝑝)
14 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ (𝑃 β‰  0𝑝 ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ 𝐴 ∈ 𝔸)
15 aacn 26272 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ (𝑃 β‰  0𝑝 ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
17 simprr 771 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ (𝑃 β‰  0𝑝 ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)
18 dgraaub 42603 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degAAβ€˜π΄) ≀ (degβ€˜π‘ƒ))
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ (𝑃 β‰  0𝑝 ∧ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)) β†’ (degAAβ€˜π΄) ≀ (degβ€˜π‘ƒ))
2019expr 455 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) = 0 β†’ (degAAβ€˜π΄) ≀ (degβ€˜π‘ƒ)))
2111, 20mtod 197 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) ∧ 𝑃 β‰  0𝑝) β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0)
2221ex 411 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) β†’ (𝑃 β‰  0𝑝 β†’ Β¬ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0))
2322necon4ad 2956 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) = 0 β†’ 𝑃 = 0𝑝))
24 0pval 25620 . . . . 5 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (0π‘β€˜π΄) = 0)
2515, 24syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ (0π‘β€˜π΄) = 0)
26 fveq1 6901 . . . . 5 (𝑃 = 0𝑝 β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = (0π‘β€˜π΄))
2726eqeq1d 2730 . . . 4 (𝑃 = 0𝑝 β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) = 0 ↔ (0π‘β€˜π΄) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 β†’ (𝑃 = 0𝑝 β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0))
29283ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) β†’ (𝑃 = 0𝑝 β†’ (π‘ƒβ€˜π΄) = 0))
3023, 29impbid 211 1 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (degβ€˜π‘ƒ) < (degAAβ€˜π΄)) β†’ ((π‘ƒβ€˜π΄) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  β„‚cc 11144  0cc0 11146   < clt 11286   ≀ cle 11287  β„•cn 12250  β„•0cn0 12510  β„šcq 12970  0𝑝c0p 25618  Polycply 26138  degcdgr 26141  π”Έcaa 26269  degAAcdgraa 42595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-0p 25619  df-ply 26142  df-coe 26144  df-dgr 26145  df-aa 26270  df-dgraa 42597
This theorem is referenced by:  mpaaeu  42605
  Copyright terms: Public domain W3C validator