Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraa0p Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraa0p 40080
 Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgraa0p ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) < (degAA𝐴))
2 simpl2 1189 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
3 dgrcl 24833 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
54nn0red 11948 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℝ)
6 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ 𝔸)
7 dgraacl 40077 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA𝐴) ∈ ℕ)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA𝐴) ∈ ℕ)
98nnred 11644 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA𝐴) ∈ ℝ)
105, 9ltnled 10780 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝑃) < (degAA𝐴) ↔ ¬ (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
111, 10mpbid 235 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
12 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
13 simprl 770 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
14 simpl1 1188 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
15 aacn 24916 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simprr 772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (𝑃𝐴) = 0)
18 dgraaub 40079 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
1912, 13, 16, 17, 18syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃𝐴) = 0)) → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
2019expr 460 . . . . 5 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃𝐴) = 0 → (degAA𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
2111, 20mtod 201 . . . 4 (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (𝑃𝐴) = 0)
2221ex 416 . . 3 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ (𝑃𝐴) = 0))
2322necon4ad 3009 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 → 𝑃 = 0𝑝))
24 0pval 24278 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝𝐴) = 0)
2515, 24syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝔸 → (0𝑝𝐴) = 0)
26 fveq1 6648 . . . . 5 (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = (0𝑝𝐴))
2726eqeq1d 2803 . . . 4 (𝑃 = 0𝑝 → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ (0𝑝𝐴) = 0))
2825, 27syl5ibrcom 250 . . 3 (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = 0))
29283ad2ant1 1130 . 2 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃𝐴) = 0))
3023, 29impbid 215 1 ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA𝐴)) → ((𝑃𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990   class class class wbr 5033  ‘cfv 6328  ℂcc 10528  0cc0 10530   < clt 10668   ≤ cle 10669  ℕcn 11629  ℕ0cn0 11889  ℚcq 12340  0𝑝c0p 24276  Polycply 24784  degcdgr 24787  𝔸caa 24913  degAAcdgraa 40071 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-0p 24277  df-ply 24788  df-coe 24790  df-dgr 24791  df-aa 24914  df-dgraa 40073 This theorem is referenced by:  mpaaeu  40081
 Copyright terms: Public domain W3C validator