Theorem dgraa0p 43768

Description: A rational polynomial of degree less than an algebraic number cannot be zero at that number unless it is the zero polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgraa0p	⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Proof of Theorem dgraa0p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴))
2		simpl2 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
3		dgrcl 26359	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 12566	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (deg‘𝑃) ∈ ℝ)
6		simpl1 1208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → 𝐴 ∈ 𝔸)
7		dgraacl 43765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
8	6, 7	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℕ)
9	8	nnred 12248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → (degAA‘𝐴) ∈ ℝ)
10	5, 9	ltnled 11357	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴) ↔ ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
11	1, 10	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
12		simpl2 1209	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ))
13		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝑃 ≠ 0𝑝)
14		simpl1 1208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ 𝔸)
15		aacn 26447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → 𝐴 ∈ ℂ)
16	14, 15	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → 𝐴 ∈ ℂ)
17		simprr 784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (𝑃‘𝐴) = 0)
18		dgraaub 43767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
19	12, 13, 16, 17, 18	syl22anc 851	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ (𝑃 ≠ 0𝑝 ∧ (𝑃‘𝐴) = 0)) → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃))
20	19	expr 461	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → (degAA‘𝐴) ≤ (deg‘𝑃)))
21	11, 20	mtod 201	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0)
22	21	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 ≠ 0𝑝 → ¬ (𝑃‘𝐴) = 0))
23	22	necon4ad 2983	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 → 𝑃 = 0𝑝))
24		0pval 25799	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝐴) = 0)
25	15, 24	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (0𝑝‘𝐴) = 0)
26		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = (0𝑝‘𝐴))
27	26	eqeq1d 2771	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 0𝑝 → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ (0𝑝‘𝐴) = 0))
28	25, 27	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝔸 → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
29	28	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → (𝑃 = 0𝑝 → (𝑃‘𝐴) = 0))
30	23, 29	impbid 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝔸 ∧ 𝑃 ∈ (Poly‘ℚ) ∧ (deg‘𝑃) < (degAA‘𝐴)) → ((𝑃‘𝐴) = 0 ↔ 𝑃 = 0𝑝))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  ℂcc 11098  0cc0 11100   < clt 11243   ≤ cle 11244  ℕcn 12233  ℕ₀cn0 12504  ℚcq 12972  0_𝑝c0p 25797  Polycply 26310  degcdgr 26313  𝔸caa 26444  deg_AAcdgraa 43759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-rlim 15540  df-sum 15738  df-0p 25798  df-ply 26314  df-coe 26316  df-dgr 26317  df-aa 26445  df-dgraa 43761

This theorem is referenced by:  mpaaeu  43769