MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyeq0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyeq0lem 25571
Description: Lemma for plyeq0 25572. If 𝐴 is the coefficient function for a nonzero polynomial such that 𝑃(𝑧) = Σ𝑘 ∈ ℕ0𝐴(𝑘) · 𝑧𝑘 = 0 for every 𝑧 ∈ ℂ and 𝐴(𝑀) is the nonzero leading coefficient, then the function 𝐹(𝑧) = 𝑃(𝑧) / 𝑧𝑀 is a sum of powers of 1 / 𝑧, and so the limit of this function as 𝑧 ⇝ +∞ is the constant term, 𝐴(𝑀). But 𝐹(𝑧) = 0 everywhere, so this limit is also equal to zero so that 𝐴(𝑀) = 0, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyeq0.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
plyeq0.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyeq0.3 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
plyeq0.4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyeq0.5 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyeq0.6 𝑀 = sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
plyeq0.7 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
plyeq0lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem plyeq0lem
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12806 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12534 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 fzfid 13878 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
4 1zzd 12534 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
5 plyeq0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0))
6 plyeq0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
7 0cn 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
106, 9unssd 4146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ ∈ V
12 ssexg 5280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
15 elmapg 8778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6686 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 elfznn0 13534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2322abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
2423recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
25 divcnv 15738 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛)) ⇝ 0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛)) ⇝ 0)
27 nnex 12159 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ∈ V
2827mptex 7173 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ∈ V)
30 oveq2 7365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛) = ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚))
31 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))
32 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚))
3433adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚))
35 nndivre 12194 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚) ∈ ℝ)
3623, 35sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚) ∈ ℝ)
3734, 36eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚) ∈ ℝ)
38 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑(𝑘𝑀)) = (𝑚↑(𝑘𝑀)))
3938oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
40 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))
41 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
4342adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
4421ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4544abscld 15321 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
46 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
48 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
49 cnvimass 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ dom 𝐴
5049, 17fssdm 6688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
51 plyeq0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑀 = sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
52 nn0ssz 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ⊆ ℤ
5350, 52sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℤ)
54 plyeq0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
55 plyeq0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5655nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5717ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
58 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑧) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑧) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
6059simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → (𝐴𝑧) ∈ (𝑆 ∖ {0}))
61 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴𝑧) ∈ (𝑆 ∖ {0}) → (𝐴𝑧) ≠ 0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → (𝐴𝑧) ≠ 0)
63 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑧 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑧))
6463neeq1d 3003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑧 → ((𝐴𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑧) ≠ 0))
65 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝑁𝑧𝑁))
6664, 65imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑧 → (((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ((𝐴𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑁)))
67 plyeq0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
68 plyco0 25553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
6955, 18, 68syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
7250sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
7366, 71, 72rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → ((𝐴𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑁))
7462, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → 𝑧𝑁)
7574ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑁)
76 brralrspcev 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥)
7756, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥)
78 suprzcl 12583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℤ ∧ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥) → sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})))
7953, 54, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})))
8051, 79eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})))
8150, 80sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
8281nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
83 zsubcl 12545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
8448, 82, 83syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
8647, 85rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ∈ ℝ+)
8786rpred 12957 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ∈ ℝ)
8845, 87remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ)
8943, 88eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℝ)
90 nnrecre 12195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
9190adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
9222absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
94 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
96 nnge1 12181 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑚)
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑚)
98 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
9985zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀) ∈ ℝ)
100 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 < 𝑀)
10148adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
102101ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
10382ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
104 zltp1le 12553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑀))
105102, 103, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑀))
106100, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑀)
10719adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
108107nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
109108ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
11081adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
111110nn0red 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
112111ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
113109, 98, 112leaddsub2d 11757 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀𝑘)))
114106, 113mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝑀𝑘))
115108recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
116115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
117111recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
118117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
119116, 118negsubdi2d 11528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -(𝑘𝑀) = (𝑀𝑘))
120114, 119breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ≤ -(𝑘𝑀))
12198, 99, 120lenegcon2d 11738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀) ≤ -1)
122 neg1z 12539 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℤ
123 eluz 12777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘𝑀) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (ℤ‘(𝑘𝑀)) ↔ (𝑘𝑀) ≤ -1))
12485, 122, 123sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-1 ∈ (ℤ‘(𝑘𝑀)) ↔ (𝑘𝑀) ≤ -1))
125121, 124mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ (ℤ‘(𝑘𝑀)))
12695, 97, 125leexp2ad 14157 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ≤ (𝑚↑-1))
127 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
128127adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
129 expn1 13977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚↑-1) = (1 / 𝑚))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑-1) = (1 / 𝑚))
131126, 130breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ≤ (1 / 𝑚))
13287, 91, 45, 93, 131lemul2ad 12095 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (1 / 𝑚)))
13324adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
134 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
135134adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
136133, 128, 135divrecd 11934 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (1 / 𝑚)))
13734, 136eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (1 / 𝑚)))
138132, 43, 1373brtr4d 5137 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚))
13986rpge0d 12961 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑚↑(𝑘𝑀)))
14045, 87, 93, 139mulge0d 11732 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
141140, 43breqtrrd 5133 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚))
1421, 4, 26, 29, 37, 89, 138, 141climsqz2 15524 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ 0)
14327mptex 7173 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ∈ V
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ∈ V)
14538oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
146 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))
147 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ∈ V
148145, 146, 147fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
149148ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
15018adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
151150, 19, 20syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
152127ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℂ)
153134ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ≠ 0)
15482adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
15548, 154, 83syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
156152, 153, 155expclzd 14056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
157151, 156mulcld 11175 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ∈ ℂ)
158149, 157eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℂ)
159158an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℂ)
160159adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℂ)
16187recnd 11183 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
16244, 161absmuld 15339 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑚↑(𝑘𝑀)))))
16387, 139absidd 15307 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(𝑚↑(𝑘𝑀))) = (𝑚↑(𝑘𝑀)))
164163oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑚↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
165162, 164eqtrd 2776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
166148adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
167166fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚)) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀)))))
168165, 167, 433eqtr4rd 2787 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚)))
1691, 4, 144, 29, 160, 168climabs0 15467 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ 0))
170142, 169mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ 0)
171108adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
172 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
173171, 172ltned 11291 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘𝑀)
174 velsn 4602 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
175174necon3bbii 2991 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘𝑀)
176173, 175sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑀})
177176iffalsed 4497 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = 0)
178170, 177breqtrrd 5133 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
179 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
180179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → 𝑛 ∈ ℂ)
181 nnne0 12187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
182181ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → 𝑛 ≠ 0)
18384ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
184180, 182, 183expclzd 14056 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → (𝑛↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
185184mul02d 11353 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → (0 · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = 0)
186 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → (𝐴𝑘) = 0)
187186oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = (0 · (𝑛↑(𝑘𝑀))))
188186ifeq1d 4505 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ {𝑀}, 0, 0))
189 ifid 4526 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑘 ∈ {𝑀}, 0, 0) = 0
190188, 189eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = 0)
191185, 187, 1903eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
19221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
193192ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
194193mulid1d 11172 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
195 nn0ssre 12417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 ⊆ ℝ
19650, 195sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℝ)
197196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℝ)
19854ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
19977ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥)
20019ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
201 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
20217, 19, 201syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
203202anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0))
204 eldifsn 4747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴𝑘) ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ∖ {0}) ↔ ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0))
205203, 204sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴𝑘) ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ∖ {0}))
206 difun2 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆 ∪ {0}) ∖ {0}) = (𝑆 ∖ {0})
207205, 206eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∖ {0}))
208 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
20957, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
210209ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
211200, 207, 210mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})))
212197, 198, 199, 211suprubd 12117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ))
213212, 51breqtrrdi 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑀)
214213ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑀)
215 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑀𝑘)
216108ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℝ)
217111ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
218216, 217letri3d 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑘 = 𝑀 ↔ (𝑘𝑀𝑀𝑘)))
219214, 215, 218mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 = 𝑀)
220219oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑘𝑀) = (𝑀𝑀))
221117ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
222221subidd 11500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑀𝑀) = 0)
223220, 222eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑘𝑀) = 0)
224223oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑛↑(𝑘𝑀)) = (𝑛↑0))
225179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑛 ∈ ℂ)
226225exp0d 14045 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑛↑0) = 1)
227224, 226eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑛↑(𝑘𝑀)) = 1)
228227oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴𝑘) · 1))
229219, 174sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ∈ {𝑀})
230229iftrued 4494 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = (𝐴𝑘))
231194, 228, 2303eqtr4d 2786 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
232191, 231pm2.61dane 3032 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
233232mpteq2dva 5205 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)))
234 fconstmpt 5694 . . . . . . . . 9 (ℕ × {if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
235233, 234eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) = (ℕ × {if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)}))
236 ifcl 4531 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) ∈ ℂ)
237192, 7, 236sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) ∈ ℂ)
238 1z 12533 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
2391eqimss2i 4003 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
240239, 27climconst2 15430 . . . . . . . . 9 ((if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)}) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
241237, 238, 240sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (ℕ × {if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)}) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
242235, 241eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
243178, 242, 108, 111ltlecasei 11263 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
244 snex 5388 . . . . . . . 8 {0} ∈ V
24527, 244xpex 7687 . . . . . . 7 (ℕ × {0}) ∈ V
246245a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕ × {0}) ∈ V)
247159anasss 467 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℂ)
248 plyeq0.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
249248fveq1d 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0𝑝𝑚) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑚))
250249adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑚) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑚))
251127adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
252 0pval 25035 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℂ → (0𝑝𝑚) = 0)
253251, 252syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑚) = 0)
254 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑚 → (𝑧𝑘) = (𝑚𝑘))
255254oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑚 → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
256255sumeq2sdv 15589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
257 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
258 sumex 15572 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) ∈ V
259256, 257, 258fvmpt 6948 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
260251, 259syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
261250, 253, 2603eqtr3d 2784 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
262261oveq1d 7372 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0 / (𝑚𝑀)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
263 expcl 13985 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑚𝑀) ∈ ℂ)
264127, 81, 263syl2anr 597 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚𝑀) ∈ ℂ)
265134adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
266251, 265, 154expne0d 14057 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚𝑀) ≠ 0)
267264, 266div0d 11930 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0 / (𝑚𝑀)) = 0)
268 fzfid 13878 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
269 expcl 13985 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚𝑘) ∈ ℂ)
270251, 19, 269syl2an 596 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚𝑘) ∈ ℂ)
271151, 270mulcld 11175 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) ∈ ℂ)
272268, 264, 271, 266fsumdivc 15671 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
273262, 267, 2723eqtr3d 2784 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
274 fvconst2g 7151 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑚) = 0)
2758, 274sylan 580 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑚) = 0)
276154adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27748adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
278152, 153, 276, 277expsubd 14062 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) = ((𝑚𝑘) / (𝑚𝑀)))
279278oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴𝑘) · ((𝑚𝑘) / (𝑚𝑀))))
280264adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚𝑀) ∈ ℂ)
281266adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚𝑀) ≠ 0)
282151, 270, 280, 281divassd 11966 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)) = ((𝐴𝑘) · ((𝑚𝑘) / (𝑚𝑀))))
283279, 149, 2823eqtr4d 2786 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = (((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
284283sumeq2dv 15588 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
285273, 275, 2843eqtr4d 2786 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚))
2861, 2, 3, 243, 246, 247, 285climfsum 15705 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ × {0}) ⇝ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
287 suprleub 12121 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑁))
288196, 54, 77, 56, 287syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑁))
28975, 288mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑁)
29051, 289eqbrtrid 5140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
291 nn0uz 12805 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
29281, 291eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
29355nn0zd 12525 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
294 elfz5 13433 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀𝑁))
295292, 293, 294syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀𝑁))
296290, 295mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
297296snssd 4769 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑀} ⊆ (0...𝑁))
29818, 81ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
299 elsni 4603 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
300299fveq2d 6846 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
301300eleq1d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐴𝑀) ∈ ℂ))
302298, 301syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝐴𝑘) ∈ ℂ))
303302ralrimiv 3142 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3043olcd 872 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...𝑁) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...𝑁) ∈ Fin))
305 sumss2 15611 . . . . . . 7 ((({𝑀} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((0...𝑁) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...𝑁) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
306297, 303, 304, 305syl21anc 836 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
307 ltso 11235 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
308307supex 9399 . . . . . . . 8 sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ∈ V
30951, 308eqeltri 2834 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V
310 fveq2 6842 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
311310sumsn 15631 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ V ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
312309, 298, 311sylancr 587 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
313306, 312eqtr3d 2778 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = (𝐴𝑀))
314286, 313breqtrd 5131 . . . 4 (𝜑 → (ℕ × {0}) ⇝ (𝐴𝑀))
315239, 27climconst2 15430 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0}) ⇝ 0)
3167, 238, 315mp2an 690 . . . 4 (ℕ × {0}) ⇝ 0
317 climuni 15434 . . . 4 (((ℕ × {0}) ⇝ (𝐴𝑀) ∧ (ℕ × {0}) ⇝ 0) → (𝐴𝑀) = 0)
318314, 316, 317sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑀) = 0)
319 fvex 6855 . . . 4 (𝐴𝑀) ∈ V
320319elsn 4601 . . 3 ((𝐴𝑀) ∈ {0} ↔ (𝐴𝑀) = 0)
321318, 320sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ {0})
322 elpreima 7008 . . . . . 6 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
32357, 322syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
32480, 323mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (𝑆 ∖ {0})))
325324simprd 496 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ (𝑆 ∖ {0}))
326325eldifbd 3923 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐴𝑀) ∈ {0})
327321, 326pm2.65i 193 1 ¬ 𝜑
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  cima 5636   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  cuz 12763  +crp 12915  ...cfz 13424  cexp 13967  abscabs 15119  cli 15366  Σcsu 15570  0𝑝c0p 25033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  plyeq0  25572
  Copyright terms: Public domain W3C validator