Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyeq0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyeq0lem 24372
 Description: Lemma for plyeq0 24373. If 𝐴 is the coefficient function for a nonzero polynomial such that 𝑃(𝑧) = Σ𝑘 ∈ ℕ0𝐴(𝑘) · 𝑧↑𝑘 = 0 for every 𝑧 ∈ ℂ and 𝐴(𝑀) is the nonzero leading coefficient, then the function 𝐹(𝑧) = 𝑃(𝑧) / 𝑧↑𝑀 is a sum of powers of 1 / 𝑧, and so the limit of this function as 𝑧 ⇝ +∞ is the constant term, 𝐴(𝑀). But 𝐹(𝑧) = 0 everywhere, so this limit is also equal to zero so that 𝐴(𝑀) = 0, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyeq0.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
plyeq0.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
plyeq0.3 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
plyeq0.4 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyeq0.5 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyeq0.6 𝑀 = sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
plyeq0.7 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
plyeq0lem ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem plyeq0lem
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12012 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11743 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 fzfid 13074 . . . . . 6 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
4 1zzd 11743 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 1 ∈ ℤ)
5 plyeq0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
6 plyeq0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
7 0cn 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
98snssd 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
106, 9unssd 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
11 cnex 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ ∈ V
12 ssexg 5031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 11632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
15 elmapg 8140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
1613, 14, 15sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
175, 16mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
1817, 10fssd 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
19 elfznn0 12734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
20 ffvelrn 6611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2118, 19, 20syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2221adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2322abscld 14559 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
2423recnd 10392 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
25 divcnv 14966 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛)) ⇝ 0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛)) ⇝ 0)
27 nnex 11364 . . . . . . . . . . . 12 ℕ ∈ V
2827mptex 6747 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ∈ V)
30 oveq2 6918 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛) = ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚))
31 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))
32 ovex 6942 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚))
3433adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚))
35 nndivre 11399 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚) ∈ ℝ)
3623, 35sylan 575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚) ∈ ℝ)
3734, 36eqeltrd 2906 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚) ∈ ℝ)
38 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛↑(𝑘𝑀)) = (𝑚↑(𝑘𝑀)))
3938oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
40 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))
41 ovex 6942 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6533 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
4342adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
4421ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
4544abscld 14559 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℝ)
46 nnrp 12132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ+)
4746adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
48 elfzelz 12642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
49 cnvimass 5730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ dom 𝐴
5049, 17fssdm 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
51 plyeq0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑀 = sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
52 nn0ssz 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0 ⊆ ℤ
5350, 52syl6ss 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℤ)
54 plyeq0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
55 plyeq0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
5655nn0red 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5717ffnd 6283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑𝐴 Fn ℕ0)
58 elpreima 6591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑧) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑧 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑧) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
6059simplbda 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → (𝐴𝑧) ∈ (𝑆 ∖ {0}))
61 eldifsni 4542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴𝑧) ∈ (𝑆 ∖ {0}) → (𝐴𝑧) ≠ 0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → (𝐴𝑧) ≠ 0)
63 fveq2 6437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = 𝑧 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑧))
6463neeq1d 3058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑧 → ((𝐴𝑘) ≠ 0 ↔ (𝐴𝑧) ≠ 0))
65 breq1 4878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝑁𝑧𝑁))
6664, 65imbi12d 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑧 → (((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁) ↔ ((𝐴𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑁)))
67 plyeq0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
68 plyco0 24354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴:ℕ0⟶ℂ) → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
6955, 18, 68syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((𝐴 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁)))
7067, 69mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
7170adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝐴𝑘) ≠ 0 → 𝑘𝑁))
7250sselda 3827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → 𝑧 ∈ ℕ0)
7366, 71, 72rspcdva 3532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → ((𝐴𝑧) ≠ 0 → 𝑧𝑁))
7462, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → 𝑧𝑁)
7574ralrimiva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑁)
76 brralrspcev 4935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑁) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥)
7756, 75, 76syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥)
78 suprzcl 11792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℤ ∧ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥) → sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})))
7953, 54, 77, 78syl3anc 1494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})))
8051, 79syl5eqel 2910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑀 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})))
8150, 80sseldd 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
8281nn0zd 11815 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
83 zsubcl 11754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
8448, 82, 83syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
8584ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
8647, 85rpexpcld 13335 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ∈ ℝ+)
8786rpred 12163 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ∈ ℝ)
8845, 87remulcld 10394 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ∈ ℝ)
8943, 88eqeltrd 2906 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℝ)
90 nnrecre 11400 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
9190adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
9222absge0d 14567 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
9392adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
94 nnre 11365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℝ)
9594adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ)
96 nnge1 11387 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑚)
9796adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ≤ 𝑚)
98 1red 10364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
9985zred 11817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀) ∈ ℝ)
100 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 < 𝑀)
10148adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
102101ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℤ)
10382ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
104 zltp1le 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑀))
105102, 103, 104syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 < 𝑀 ↔ (𝑘 + 1) ≤ 𝑀))
106100, 105mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘 + 1) ≤ 𝑀)
10719adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
108107nn0red 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
109108ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
11081adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
111110nn0red 11686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
112111ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℝ)
113109, 98, 112leaddsub2d 10961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑘 + 1) ≤ 𝑀 ↔ 1 ≤ (𝑀𝑘)))
114106, 113mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ≤ (𝑀𝑘))
115108recnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
116115ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
117111recnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℂ)
118117ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
119116, 118negsubdi2d 10736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -(𝑘𝑀) = (𝑀𝑘))
120114, 119breqtrrd 4903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ≤ -(𝑘𝑀))
12198, 99, 120lenegcon2d 10942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑘𝑀) ≤ -1)
122 neg1z 11748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℤ
123 eluz 11989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑘𝑀) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (-1 ∈ (ℤ‘(𝑘𝑀)) ↔ (𝑘𝑀) ≤ -1))
12485, 122, 123sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (-1 ∈ (ℤ‘(𝑘𝑀)) ↔ (𝑘𝑀) ≤ -1))
125121, 124mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → -1 ∈ (ℤ‘(𝑘𝑀)))
12695, 97, 125leexp2ad 13344 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ≤ (𝑚↑-1))
127 nncn 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
128127adantl 475 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
129 expn1 13171 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℂ → (𝑚↑-1) = (1 / 𝑚))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑-1) = (1 / 𝑚))
131126, 130breqtrd 4901 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ≤ (1 / 𝑚))
13287, 91, 45, 93, 131lemul2ad 11301 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ≤ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (1 / 𝑚)))
13324adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(𝐴𝑘)) ∈ ℂ)
134 nnne0 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ≠ 0)
135134adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
136133, 128, 135divrecd 11137 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (1 / 𝑚)))
13734, 136eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (1 / 𝑚)))
138132, 43, 1373brtr4d 4907 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) / 𝑛))‘𝑚))
13986rpge0d 12167 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑚↑(𝑘𝑀)))
14045, 87, 93, 139mulge0d 10936 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
141140, 43breqtrrd 4903 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚))
1421, 4, 26, 29, 37, 89, 138, 141climsqz2 14756 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ 0)
14327mptex 6747 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ∈ V
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ∈ V)
14538oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
146 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))
147 ovex 6942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ∈ V
148145, 146, 147fvmpt 6533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
149148ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
15018adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
151150, 19, 20syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
152127ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℂ)
153134ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑚 ≠ 0)
15482adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
15548, 154, 83syl2anr 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
156152, 153, 155expclzd 13314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
157151, 156mulcld 10384 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) ∈ ℂ)
158149, 157eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℂ)
159158an32s 642 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℂ)
160159adantlr 706 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℂ)
16187recnd 10392 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
16244, 161absmuld 14577 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑚↑(𝑘𝑀)))))
16387, 139absidd 14545 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘(𝑚↑(𝑘𝑀))) = (𝑚↑(𝑘𝑀)))
164163oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘(𝑚↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
165162, 164eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀)))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
166148adantl 475 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))))
167166fveq2d 6441 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (abs‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚)) = (abs‘((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀)))))
168165, 167, 433eqtr4rd 2872 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = (abs‘((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚)))
1691, 4, 144, 29, 160, 168climabs0 14700 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((abs‘(𝐴𝑘)) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ 0))
170142, 169mpbird 249 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ 0)
171108adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
172 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀)
173171, 172ltned 10499 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → 𝑘𝑀)
174 velsn 4415 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘 = 𝑀)
175174necon3bbii 3046 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ {𝑀} ↔ 𝑘𝑀)
176173, 175sylibr 226 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → ¬ 𝑘 ∈ {𝑀})
177176iffalsed 4319 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = 0)
178170, 177breqtrrd 4903 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑘 < 𝑀) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
179 nncn 11366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
180179ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → 𝑛 ∈ ℂ)
181 nnne0 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
182181ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → 𝑛 ≠ 0)
18384ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → (𝑘𝑀) ∈ ℤ)
184180, 182, 183expclzd 13314 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → (𝑛↑(𝑘𝑀)) ∈ ℂ)
185184mul02d 10560 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → (0 · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = 0)
186 simpr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → (𝐴𝑘) = 0)
187186oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = (0 · (𝑛↑(𝑘𝑀))))
188186ifeq1d 4326 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = if(𝑘 ∈ {𝑀}, 0, 0))
189 ifid 4347 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑘 ∈ {𝑀}, 0, 0) = 0
190188, 189syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = 0)
191185, 187, 1903eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) = 0) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
19221adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
193192ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
194193mulid1d 10381 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
195 nn0ssre 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ⊆ ℝ
19650, 195syl6ss 3839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℝ)
197196ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℝ)
19854ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
19977ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥)
20019ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
201 ffvelrn 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
20217, 19, 201syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}))
203202anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0))
204 eldifsn 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐴𝑘) ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ∖ {0}) ↔ ((𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∪ {0}) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0))
205203, 204sylibr 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴𝑘) ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ∖ {0}))
206 difun2 4273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑆 ∪ {0}) ∖ {0}) = (𝑆 ∖ {0})
207205, 206syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∖ {0}))
208 elpreima 6591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
20957, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
210209ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑘) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
211200, 207, 210mpbir2and 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})))
212 suprub 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))) → 𝑘 ≤ sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ))
213197, 198, 199, 211, 212syl31anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ≤ sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ))
214213, 51syl6breqr 4917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑀)
215214adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑀)
216215adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘𝑀)
217 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑀𝑘)
218108ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ∈ ℝ)
219111ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
220218, 219letri3d 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑘 = 𝑀 ↔ (𝑘𝑀𝑀𝑘)))
221216, 217, 220mpbir2and 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 = 𝑀)
222221oveq1d 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑘𝑀) = (𝑀𝑀))
223117ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
224223subidd 10708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑀𝑀) = 0)
225222, 224eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑘𝑀) = 0)
226225oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑛↑(𝑘𝑀)) = (𝑛↑0))
227179ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑛 ∈ ℂ)
228227exp0d 13303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑛↑0) = 1)
229226, 228eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → (𝑛↑(𝑘𝑀)) = 1)
230229oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴𝑘) · 1))
231221, 174sylibr 226 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → 𝑘 ∈ {𝑀})
232231iftrued 4316 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = (𝐴𝑘))
233194, 230, 2323eqtr4d 2871 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝐴𝑘) ≠ 0) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
234191, 233pm2.61dane 3086 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))) = if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
235234mpteq2dva 4969 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)))
236 fconstmpt 5402 . . . . . . . . 9 (ℕ × {if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)}) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
237235, 236syl6eqr 2879 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) = (ℕ × {if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)}))
238 ifcl 4352 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) ∈ ℂ)
239192, 7, 238sylancl 580 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) ∈ ℂ)
240 1z 11742 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
2411eqimss2i 3885 . . . . . . . . . 10 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
242241, 27climconst2 14663 . . . . . . . . 9 ((if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)}) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
243239, 240, 242sylancl 580 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (ℕ × {if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0)}) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
244237, 243eqbrtrd 4897 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀𝑘) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
245178, 244, 108, 111ltlecasei 10471 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀)))) ⇝ if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
246 snex 5131 . . . . . . . 8 {0} ∈ V
24727, 246xpex 7228 . . . . . . 7 (ℕ × {0}) ∈ V
248247a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕ × {0}) ∈ V)
249159anasss 460 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ ℕ)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) ∈ ℂ)
250 plyeq0.5 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
251250fveq1d 6439 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0𝑝𝑚) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑚))
252251adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑚) = ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑚))
253127adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
254 0pval 23844 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℂ → (0𝑝𝑚) = 0)
255253, 254syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0𝑝𝑚) = 0)
256 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑚 → (𝑧𝑘) = (𝑚𝑘))
257256oveq2d 6926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑚 → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = ((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
258257sumeq2sdv 14819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
259 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))
260 sumex 14802 . . . . . . . . . . . 12 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) ∈ V
261258, 259, 260fvmpt 6533 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℂ → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
262253, 261syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
263252, 255, 2623eqtr3d 2869 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)))
264263oveq1d 6925 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0 / (𝑚𝑀)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
265 expcl 13179 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑚𝑀) ∈ ℂ)
266127, 81, 265syl2anr 590 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚𝑀) ∈ ℂ)
267134adantl 475 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
268253, 267, 154expne0d 13315 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚𝑀) ≠ 0)
269266, 268div0d 11133 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0 / (𝑚𝑀)) = 0)
270 fzfid 13074 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
271 expcl 13179 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑚𝑘) ∈ ℂ)
272253, 19, 271syl2an 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚𝑘) ∈ ℂ)
273151, 272mulcld 10384 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) ∈ ℂ)
274270, 266, 273, 268fsumdivc 14899 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
275264, 269, 2743eqtr3d 2869 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 0 = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
276 fvconst2g 6728 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑚) = 0)
2778, 276sylan 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑚) = 0)
278154adantr 474 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
27948adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
280152, 153, 278, 279expsubd 13320 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚↑(𝑘𝑀)) = ((𝑚𝑘) / (𝑚𝑀)))
281280oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑚↑(𝑘𝑀))) = ((𝐴𝑘) · ((𝑚𝑘) / (𝑚𝑀))))
282266adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚𝑀) ∈ ℂ)
283268adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑚𝑀) ≠ 0)
284151, 272, 282, 283divassd 11169 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)) = ((𝐴𝑘) · ((𝑚𝑘) / (𝑚𝑀))))
285281, 149, 2843eqtr4d 2871 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = (((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
286285sumeq2dv 14817 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑚𝑘)) / (𝑚𝑀)))
287275, 277, 2863eqtr4d 2871 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑚) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐴𝑘) · (𝑛↑(𝑘𝑀))))‘𝑚))
2881, 2, 3, 245, 248, 249, 287climfsum 14933 . . . . 5 (𝜑 → (ℕ × {0}) ⇝ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
289 suprleub 11326 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑥) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑁))
290196, 54, 77, 56, 289syl31anc 1496 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑁 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0}))𝑧𝑁))
29175, 290mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑁)
29251, 291syl5eqbr 4910 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀𝑁)
293 nn0uz 12011 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
29481, 293syl6eleq 2916 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
29555nn0zd 11815 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
296 elfz5 12634 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀𝑁))
297294, 295, 296syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀𝑁))
298292, 297mpbird 249 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑁))
299298snssd 4560 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑀} ⊆ (0...𝑁))
30018, 81ffvelrnd 6614 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ ℂ)
301 elsni 4416 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
302301fveq2d 6441 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
303302eleq1d 2891 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} → ((𝐴𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐴𝑀) ∈ ℂ))
304300, 303syl5ibrcom 239 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} → (𝐴𝑘) ∈ ℂ))
305304ralrimiv 3174 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3063olcd 905 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0...𝑁) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...𝑁) ∈ Fin))
307 sumss2 14841 . . . . . . 7 ((({𝑀} ⊆ (0...𝑁) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((0...𝑁) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...𝑁) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
308299, 305, 306, 307syl21anc 871 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0))
309 ltso 10444 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
310309supex 8644 . . . . . . . 8 sup((𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) ∈ V
31151, 310eqeltri 2902 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V
312 fveq2 6437 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
313312sumsn 14859 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ V ∧ (𝐴𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
314311, 300, 313sylancr 581 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑀} (𝐴𝑘) = (𝐴𝑀))
315308, 314eqtr3d 2863 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)if(𝑘 ∈ {𝑀}, (𝐴𝑘), 0) = (𝐴𝑀))
316288, 315breqtrd 4901 . . . 4 (𝜑 → (ℕ × {0}) ⇝ (𝐴𝑀))
317241, 27climconst2 14663 . . . . 5 ((0 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0}) ⇝ 0)
3187, 240, 317mp2an 683 . . . 4 (ℕ × {0}) ⇝ 0
319 climuni 14667 . . . 4 (((ℕ × {0}) ⇝ (𝐴𝑀) ∧ (ℕ × {0}) ⇝ 0) → (𝐴𝑀) = 0)
320316, 318, 319sylancl 580 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑀) = 0)
321 fvex 6450 . . . 4 (𝐴𝑀) ∈ V
322321elsn 4414 . . 3 ((𝐴𝑀) ∈ {0} ↔ (𝐴𝑀) = 0)
323320, 322sylibr 226 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ {0})
324 elpreima 6591 . . . . . 6 (𝐴 Fn ℕ0 → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
32557, 324syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (𝑆 ∖ {0}))))
32680, 325mpbid 224 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝐴𝑀) ∈ (𝑆 ∖ {0})))
327326simprd 491 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑀) ∈ (𝑆 ∖ {0}))
328327eldifbd 3811 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐴𝑀) ∈ {0})
329323, 328pm2.65i 186 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ∪ cun 3796   ⊆ wss 3798  ∅c0 4146  ifcif 4308  {csn 4399   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954   × cxp 5344  ◡ccnv 5345   “ cima 5349   Fn wfn 6122  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↑𝑚 cmap 8127  Fincfn 8228  supcsup 8621  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398   ≤ cle 10399   − cmin 10592  -cneg 10593   / cdiv 11016  ℕcn 11357  ℕ0cn0 11625  ℤcz 11711  ℤ≥cuz 11975  ℝ+crp 12119  ...cfz 12626  ↑cexp 13161  abscabs 14358   ⇝ cli 14599  Σcsu 14800  0𝑝c0p 23842 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-0p 23843 This theorem is referenced by:  plyeq0  24373
 Copyright terms: Public domain W3C validator