MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyeq0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyeq0lem 26160
Description: Lemma for plyeq0 26161. If 𝐴 is the coefficient function for a nonzero polynomial such that 𝑃(𝑧) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0𝐴(π‘˜) Β· π‘§β†‘π‘˜ = 0 for every 𝑧 ∈ β„‚ and 𝐴(𝑀) is the nonzero leading coefficient, then the function 𝐹(𝑧) = 𝑃(𝑧) / 𝑧↑𝑀 is a sum of powers of 1 / 𝑧, and so the limit of this function as 𝑧 ⇝ +∞ is the constant term, 𝐴(𝑀). But 𝐹(𝑧) = 0 everywhere, so this limit is also equal to zero so that 𝐴(𝑀) = 0, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyeq0.1 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
plyeq0.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
plyeq0.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
plyeq0.4 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
plyeq0.5 (πœ‘ β†’ 0𝑝 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
plyeq0.6 𝑀 = sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < )
plyeq0.7 (πœ‘ β†’ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) β‰  βˆ…)
Assertion
Ref Expression
plyeq0lem Β¬ πœ‘
Distinct variable groups:   𝑧,π‘˜,𝐴   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁,𝑧   πœ‘,π‘˜,𝑧   𝑆,π‘˜,𝑧
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑧)

Proof of Theorem plyeq0lem
Dummy variables π‘š 𝑛 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12893 . . . . . 6 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12621 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 fzfid 13968 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
4 1zzd 12621 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ 1 ∈ β„€)
5 plyeq0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0))
6 plyeq0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
7 0cn 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ β„‚
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„‚)
98snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ {0} βŠ† β„‚)
106, 9unssd 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚)
11 cnex 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„‚ ∈ V
12 ssexg 5318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆 βˆͺ {0}) βŠ† β„‚ ∧ β„‚ ∈ V) β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V)
14 nn0ex 12506 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„•0 ∈ V
15 elmapg 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑆 βˆͺ {0}) ∈ V ∧ β„•0 ∈ V) β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
1613, 14, 15sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) ↑m β„•0) ↔ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0})))
175, 16mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
1817, 10fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
19 elfznn0 13624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
20 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴:β„•0βŸΆβ„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2118, 19, 20syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2221adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2322abscld 15413 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2423recnd 11270 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
25 divcnv 15829 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛)) ⇝ 0)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛)) ⇝ 0)
27 nnex 12246 . . . . . . . . . . . 12 β„• ∈ V
2827mptex 7230 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ∈ V
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ∈ V)
30 oveq2 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / π‘š))
31 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛))
32 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / π‘š) ∈ V
3330, 31, 32fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛))β€˜π‘š) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / π‘š))
3433adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛))β€˜π‘š) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / π‘š))
35 nndivre 12281 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / π‘š) ∈ ℝ)
3623, 35sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / π‘š) ∈ ℝ)
3734, 36eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
38 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) = (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))
3938oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
40 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
41 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) ∈ V
4239, 40, 41fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
4342adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
4421ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
4544abscld 15413 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
46 nnrp 13015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ+)
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
48 elfzelz 13531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
49 cnvimass 6080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) βŠ† dom 𝐴
5049, 17fssdm 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) βŠ† β„•0)
51 plyeq0.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑀 = sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < )
52 nn0ssz 12609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 β„•0 βŠ† β„€
5350, 52sstrdi 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) βŠ† β„€)
54 plyeq0.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) β‰  βˆ…)
55 plyeq0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
5655nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5717ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•0)
58 elpreima 7061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 Fn β„•0 β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) ↔ (𝑧 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘§) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) ↔ (𝑧 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘§) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))))
6059simplbda 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))) β†’ (π΄β€˜π‘§) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))
61 eldifsni 4789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π΄β€˜π‘§) ∈ (𝑆 βˆ– {0}) β†’ (π΄β€˜π‘§) β‰  0)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))) β†’ (π΄β€˜π‘§) β‰  0)
63 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘§))
6463neeq1d 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ = 𝑧 β†’ ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 ↔ (π΄β€˜π‘§) β‰  0))
65 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (π‘˜ ≀ 𝑁 ↔ 𝑧 ≀ 𝑁))
6664, 65imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘˜ = 𝑧 β†’ (((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁) ↔ ((π΄β€˜π‘§) β‰  0 β†’ 𝑧 ≀ 𝑁)))
67 plyeq0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0})
68 plyco0 26142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚) β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
6955, 18, 68syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ ((𝐴 β€œ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) = {0} ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁)))
7067, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
7170adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘˜) β‰  0 β†’ π‘˜ ≀ 𝑁))
7250sselda 3972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))) β†’ 𝑧 ∈ β„•0)
7366, 71, 72rspcdva 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))) β†’ ((π΄β€˜π‘§) β‰  0 β†’ 𝑧 ≀ 𝑁))
7462, 73mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))) β†’ 𝑧 ≀ 𝑁)
7574ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ 𝑁)
76 brralrspcev 5203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ 𝑁) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ π‘₯)
7756, 75, 76syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ π‘₯)
78 suprzcl 12670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) βŠ† β„€ ∧ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < ) ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})))
7953, 54, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < ) ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})))
8051, 79eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})))
8150, 80sseldd 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
8281nn0zd 12612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
83 zsubcl 12632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
8448, 82, 83syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
8647, 85rpexpcld 14239 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ+)
8786rpred 13046 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ∈ ℝ)
8845, 87remulcld 11272 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) ∈ ℝ)
8943, 88eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) ∈ ℝ)
90 nnrecre 12282 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š ∈ β„• β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
9190adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (1 / π‘š) ∈ ℝ)
9222absge0d 15421 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)))
9392adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)))
94 nnre 12247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ ℝ)
9594adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ ℝ)
96 nnge1 12268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„• β†’ 1 ≀ π‘š)
9796adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ≀ π‘š)
98 1red 11243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ∈ ℝ)
9985zred 12694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ ℝ)
100 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘˜ < 𝑀)
10148adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
102101ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
10382ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
104 zltp1le 12640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ < 𝑀 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑀))
105102, 103, 104syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘˜ < 𝑀 ↔ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑀))
106100, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘˜ + 1) ≀ 𝑀)
10719adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
108107nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
109108ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
11081adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
111110nn0red 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
112111ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
113109, 98, 112leaddsub2d 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ + 1) ≀ 𝑀 ↔ 1 ≀ (𝑀 βˆ’ π‘˜)))
114106, 113mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ≀ (𝑀 βˆ’ π‘˜))
115108recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
116115ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
117111recnd 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
118117ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
119116, 118negsubdi2d 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ -(π‘˜ βˆ’ 𝑀) = (𝑀 βˆ’ π‘˜))
120114, 119breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ≀ -(π‘˜ βˆ’ 𝑀))
12198, 99, 120lenegcon2d 11825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ≀ -1)
122 neg1z 12626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ β„€
123 eluz 12864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) β†’ (-1 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ↔ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ≀ -1))
12485, 122, 123sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (-1 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ↔ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ≀ -1))
125121, 124mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ -1 ∈ (β„€β‰₯β€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))
12695, 97, 125leexp2ad 14246 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ≀ (π‘šβ†‘-1))
127 nncn 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š ∈ β„‚)
128127adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
129 expn1 14066 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„‚ β†’ (π‘šβ†‘-1) = (1 / π‘š))
130128, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘-1) = (1 / π‘š))
131126, 130breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ≀ (1 / π‘š))
13287, 91, 45, 93, 131lemul2ad 12182 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) ≀ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (1 / π‘š)))
13324adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
134 nnne0 12274 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ π‘š β‰  0)
135134adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
136133, 128, 135divrecd 12021 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / π‘š) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (1 / π‘š)))
13734, 136eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛))β€˜π‘š) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (1 / π‘š)))
138132, 43, 1373brtr4d 5175 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) / 𝑛))β€˜π‘š))
13986rpge0d 13050 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0 ≀ (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))
14045, 87, 93, 139mulge0d 11819 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
141140, 43breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š))
1421, 4, 26, 29, 37, 89, 138, 141climsqz2 15616 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ⇝ 0)
14327mptex 7230 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ∈ V
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ∈ V)
14538oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
146 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
147 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) ∈ V
148145, 146, 147fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
149148ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
15018adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
151150, 19, 20syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
152127ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘š ∈ β„‚)
153134ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘š β‰  0)
15482adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
15548, 154, 83syl2anr 595 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
156152, 153, 155expclzd 14145 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ∈ β„‚)
157151, 156mulcld 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) ∈ β„‚)
158149, 157eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
159158an32s 650 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
160159adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
16187recnd 11270 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ∈ β„‚)
16244, 161absmuld 15431 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))))
16387, 139absidd 15399 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (absβ€˜(π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))
164163oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (absβ€˜(π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
165162, 164eqtrd 2765 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) = ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
166148adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
167166fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (absβ€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š)) = (absβ€˜((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))))
168165, 167, 433eqtr4rd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) = (absβ€˜((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š)))
1691, 4, 144, 29, 160, 168climabs0 15559 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ⇝ 0 ↔ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((absβ€˜(π΄β€˜π‘˜)) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ⇝ 0))
170142, 169mpbird 256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ⇝ 0)
171108adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
172 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ π‘˜ < 𝑀)
173171, 172ltned 11378 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ π‘˜ β‰  𝑀)
174 velsn 4640 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {𝑀} ↔ π‘˜ = 𝑀)
175174necon3bbii 2978 . . . . . . . . . 10 (Β¬ π‘˜ ∈ {𝑀} ↔ π‘˜ β‰  𝑀)
176173, 175sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ Β¬ π‘˜ ∈ {𝑀})
177176iffalsed 4535 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0) = 0)
178170, 177breqtrrd 5171 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ π‘˜ < 𝑀) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ⇝ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
179 nncn 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
180179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
181 nnne0 12274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 β‰  0)
182181ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ 𝑛 β‰  0)
18384ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) ∈ β„€)
184180, 182, 183expclzd 14145 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) ∈ β„‚)
185184mul02d 11440 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ (0 Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = 0)
186 simpr 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = 0)
187186oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = (0 Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))
188186ifeq1d 4543 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0) = if(π‘˜ ∈ {𝑀}, 0, 0))
189 ifid 4564 . . . . . . . . . . . . 13 if(π‘˜ ∈ {𝑀}, 0, 0) = 0
190188, 189eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0) = 0)
191185, 187, 1903eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) = 0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
19221adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
193192ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
194193mulridd 11259 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· 1) = (π΄β€˜π‘˜))
195 nn0ssre 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 β„•0 βŠ† ℝ
19650, 195sstrdi 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
197196ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
19854ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) β‰  βˆ…)
19977ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ π‘₯)
20019ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
201 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐴:β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
20217, 19, 201syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}))
203202anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0))
204 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((π΄β€˜π‘˜) ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) βˆ– {0}) ↔ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆͺ {0}) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0))
205203, 204sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ((𝑆 βˆͺ {0}) βˆ– {0}))
206 difun2 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑆 βˆͺ {0}) βˆ– {0}) = (𝑆 βˆ– {0})
207205, 206eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))
208 elpreima 7061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐴 Fn β„•0 β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))))
20957, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))))
210209ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) ↔ (π‘˜ ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))))
211200, 207, 210mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})))
212197, 198, 199, 211suprubd 12204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < ))
213212, 51breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)
214213ad4ant14 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ≀ 𝑀)
215 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ 𝑀 ≀ π‘˜)
216108ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
217111ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
218216, 217letri3d 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (π‘˜ = 𝑀 ↔ (π‘˜ ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ π‘˜)))
219214, 215, 218mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ = 𝑀)
220219oveq1d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) = (𝑀 βˆ’ 𝑀))
221117ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
222221subidd 11587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑀) = 0)
223220, 222eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑀) = 0)
224223oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) = (𝑛↑0))
225179ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ 𝑛 ∈ β„‚)
226225exp0d 14134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (𝑛↑0) = 1)
227224, 226eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) = 1)
228227oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· 1))
229219, 174sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ π‘˜ ∈ {𝑀})
230229iftrued 4532 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0) = (π΄β€˜π‘˜))
231194, 228, 2303eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π΄β€˜π‘˜) β‰  0) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
232191, 231pm2.61dane 3019 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
233232mpteq2dva 5243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0)))
234 fconstmpt 5734 . . . . . . . . 9 (β„• Γ— {if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0)}) = (𝑛 ∈ β„• ↦ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
235233, 234eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) = (β„• Γ— {if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0)}))
236 ifcl 4569 . . . . . . . . . 10 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ∧ 0 ∈ β„‚) β†’ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
237192, 7, 236sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚)
238 1z 12620 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
2391eqimss2i 4034 . . . . . . . . . 10 (β„€β‰₯β€˜1) βŠ† β„•
240239, 27climconst2 15522 . . . . . . . . 9 ((if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0)}) ⇝ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
241237, 238, 240sylancl 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (β„• Γ— {if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0)}) ⇝ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
242235, 241eqbrtrd 5165 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝑀 ≀ π‘˜) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ⇝ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
243178, 242, 108, 111ltlecasei 11350 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀)))) ⇝ if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
244 snex 5427 . . . . . . . 8 {0} ∈ V
24527, 244xpex 7752 . . . . . . 7 (β„• Γ— {0}) ∈ V
246245a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {0}) ∈ V)
247159anasss 465 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ π‘š ∈ β„•)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) ∈ β„‚)
248 plyeq0.5 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0𝑝 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
249248fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0π‘β€˜π‘š) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘š))
250249adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0π‘β€˜π‘š) = ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘š))
251127adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
252 0pval 25616 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„‚ β†’ (0π‘β€˜π‘š) = 0)
253251, 252syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0π‘β€˜π‘š) = 0)
254 oveq1 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = π‘š β†’ (π‘§β†‘π‘˜) = (π‘šβ†‘π‘˜))
255254oveq2d 7431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)))
256255sumeq2sdv 15680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = π‘š β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)))
257 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
258 sumex 15664 . . . . . . . . . . . 12 Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) ∈ V
259256, 257, 258fvmpt 6999 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ β„‚ β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)))
260251, 259syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)))
261250, 253, 2603eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)))
262261oveq1d 7430 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0 / (π‘šβ†‘π‘€)) = (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) / (π‘šβ†‘π‘€)))
263 expcl 14074 . . . . . . . . . 10 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„•0) β†’ (π‘šβ†‘π‘€) ∈ β„‚)
264127, 81, 263syl2anr 595 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘π‘€) ∈ β„‚)
265134adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
266251, 265, 154expne0d 14146 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘šβ†‘π‘€) β‰  0)
267264, 266div0d 12017 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0 / (π‘šβ†‘π‘€)) = 0)
268 fzfid 13968 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (0...𝑁) ∈ Fin)
269 expcl 14074 . . . . . . . . . . 11 ((π‘š ∈ β„‚ ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘šβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
270251, 19, 269syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘šβ†‘π‘˜) ∈ β„‚)
271151, 270mulcld 11262 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) ∈ β„‚)
272268, 264, 271, 266fsumdivc 15762 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) / (π‘šβ†‘π‘€)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) / (π‘šβ†‘π‘€)))
273262, 267, 2723eqtr3d 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 0 = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) / (π‘šβ†‘π‘€)))
274 fvconst2g 7209 . . . . . . . 8 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘š) = 0)
2758, 274sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘š) = 0)
276154adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
27748adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
278152, 153, 276, 277expsubd 14151 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀)) = ((π‘šβ†‘π‘˜) / (π‘šβ†‘π‘€)))
279278oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘(π‘˜ βˆ’ 𝑀))) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· ((π‘šβ†‘π‘˜) / (π‘šβ†‘π‘€))))
280264adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘šβ†‘π‘€) ∈ β„‚)
281266adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (π‘šβ†‘π‘€) β‰  0)
282151, 270, 280, 281divassd 12053 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) / (π‘šβ†‘π‘€)) = ((π΄β€˜π‘˜) Β· ((π‘šβ†‘π‘˜) / (π‘šβ†‘π‘€))))
283279, 149, 2823eqtr4d 2775 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (0...𝑁)) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) = (((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) / (π‘šβ†‘π‘€)))
284283sumeq2dv 15679 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)(((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘šβ†‘π‘˜)) / (π‘šβ†‘π‘€)))
285273, 275, 2843eqtr4d 2775 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0})β€˜π‘š) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (𝑛↑(π‘˜ βˆ’ 𝑀))))β€˜π‘š))
2861, 2, 3, 243, 246, 247, 285climfsum 15796 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {0}) ⇝ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
287 suprleub 12208 . . . . . . . . . . . 12 ((((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) βŠ† ℝ ∧ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ π‘₯) ∧ 𝑁 ∈ ℝ) β†’ (sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < ) ≀ 𝑁 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ 𝑁))
288196, 54, 77, 56, 287syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < ) ≀ 𝑁 ↔ βˆ€π‘§ ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0}))𝑧 ≀ 𝑁))
28975, 288mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < ) ≀ 𝑁)
29051, 289eqbrtrid 5178 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ 𝑁)
291 nn0uz 12892 . . . . . . . . . . 11 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
29281, 291eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
29355nn0zd 12612 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„€)
294 elfz5 13523 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ≀ 𝑁))
295292, 293, 294syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ 𝑀 ≀ 𝑁))
296290, 295mpbird 256 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑁))
297296snssd 4808 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝑀} βŠ† (0...𝑁))
29818, 81ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚)
299 elsni 4641 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ {𝑀} β†’ π‘˜ = 𝑀)
300299fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ {𝑀} β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘€))
301300eleq1d 2810 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ {𝑀} β†’ ((π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚ ↔ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚))
302298, 301syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ {𝑀} β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚))
303302ralrimiv 3135 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑀} (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3043olcd 872 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0...𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (0...𝑁) ∈ Fin))
305 sumss2 15702 . . . . . . 7 ((({𝑀} βŠ† (0...𝑁) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ {𝑀} (π΄β€˜π‘˜) ∈ β„‚) ∧ ((0...𝑁) βŠ† (β„€β‰₯β€˜0) ∨ (0...𝑁) ∈ Fin)) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} (π΄β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
306297, 303, 304, 305syl21anc 836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} (π΄β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0))
307 ltso 11322 . . . . . . . . 9 < Or ℝ
308307supex 9484 . . . . . . . 8 sup((◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})), ℝ, < ) ∈ V
30951, 308eqeltri 2821 . . . . . . 7 𝑀 ∈ V
310 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 𝑀 β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘€))
311310sumsn 15722 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ V ∧ (π΄β€˜π‘€) ∈ β„‚) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘€))
312309, 298, 311sylancr 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ {𝑀} (π΄β€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘€))
313306, 312eqtr3d 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...𝑁)if(π‘˜ ∈ {𝑀}, (π΄β€˜π‘˜), 0) = (π΄β€˜π‘€))
314286, 313breqtrd 5169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β„• Γ— {0}) ⇝ (π΄β€˜π‘€))
315239, 27climconst2 15522 . . . . 5 ((0 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {0}) ⇝ 0)
3167, 238, 315mp2an 690 . . . 4 (β„• Γ— {0}) ⇝ 0
317 climuni 15526 . . . 4 (((β„• Γ— {0}) ⇝ (π΄β€˜π‘€) ∧ (β„• Γ— {0}) ⇝ 0) β†’ (π΄β€˜π‘€) = 0)
318314, 316, 317sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘€) = 0)
319 fvex 6904 . . . 4 (π΄β€˜π‘€) ∈ V
320319elsn 4639 . . 3 ((π΄β€˜π‘€) ∈ {0} ↔ (π΄β€˜π‘€) = 0)
321318, 320sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ {0})
322 elpreima 7061 . . . . . 6 (𝐴 Fn β„•0 β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))))
32357, 322syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐴 β€œ (𝑆 βˆ– {0})) ↔ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))))
32480, 323mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ β„•0 ∧ (π΄β€˜π‘€) ∈ (𝑆 βˆ– {0})))
325324simprd 494 . . 3 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘€) ∈ (𝑆 βˆ– {0}))
326325eldifbd 3953 . 2 (πœ‘ β†’ Β¬ (π΄β€˜π‘€) ∈ {0})
327321, 326pm2.65i 193 1 Β¬ πœ‘
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3937   βˆͺ cun 3938   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  Fincfn 8960  supcsup 9461  β„‚cc 11134  β„cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141   < clt 11276   ≀ cle 11277   βˆ’ cmin 11472  -cneg 11473   / cdiv 11899  β„•cn 12240  β„•0cn0 12500  β„€cz 12586  β„€β‰₯cuz 12850  β„+crp 13004  ...cfz 13514  β†‘cexp 14056  abscabs 15211   ⇝ cli 15458  Ξ£csu 15662  0𝑝c0p 25614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-0p 25615
This theorem is referenced by:  plyeq0  26161
  Copyright terms: Public domain W3C validator