MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0plef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0plef 25708
Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
0plef (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹))

Proof of Theorem 0plef
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13497 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 fss 6751 . . 3 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
31, 2mpan2 691 . 2 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4 ffvelcdm 7100 . . . . 5 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
5 elrege0 13495 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
65baib 535 . . . . 5 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
87ralbidva 3175 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
9 ffn 6735 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10 ffnfv 7138 . . . . 5 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
1110baib 535 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
13 0cn 11254 . . . . . . 7 0 ∈ ℂ
14 fnconstg 6795 . . . . . . 7 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (ℂ × {0}) Fn ℂ
16 df-0p 25706 . . . . . . 7 0𝑝 = (ℂ × {0})
1716fneq1i 6664 . . . . . 6 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
1815, 17mpbir 231 . . . . 5 0𝑝 Fn ℂ
1918a1i 11 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → 0𝑝 Fn ℂ)
20 cnex 11237 . . . . 5 ℂ ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℂ ∈ V)
22 reex 11247 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
24 ax-resscn 11213 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
25 sseqin2 4222 . . . . 5 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
2624, 25mpbi 230 . . . 4 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
27 0pval 25707 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
2827adantl 481 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
29 eqidd 2737 . . . 4 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
3019, 9, 21, 23, 26, 28, 29ofrfval 7708 . . 3 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
318, 12, 303bitr4d 311 . 2 (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ 0𝑝r𝐹))
323, 31biadanii 821 1 (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝r𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  cin 3949  wss 3950  {csn 4625   class class class wbr 5142   × cxp 5682   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  r cofr 7697  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  +∞cpnf 11293  cle 11297  [,)cico 13390  0𝑝c0p 25705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-i2m1 11224  ax-rnegex 11227  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-ofr 7699  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-ico 13394  df-0p 25706
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25791  itg2addlem  25794  ftc1anclem8  37708
  Copyright terms: Public domain W3C validator