Theorem 0plef 25657

Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0plef	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem 0plef

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13400	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		fss 6671	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mpan2 697	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		ffvelcdm 7022	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
5		elrege0 13398	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	baib 540	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
8	7	ralbidva 3160	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
9		ffn 6655	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10		ffnfv 7060	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
11	10	baib 540	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
13		0cn 11127	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		fnconstg 6715	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
16		df-0p 25655	. . . . . . 7 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
17	16	fneq1i 6582	. . . . . 6 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
18	15, 17	mpbir 232	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 0𝑝 Fn ℂ)
20		cnex 11110	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℂ ∈ V)
22		reex 11120	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
24		ax-resscn 11086	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		sseqin2 4152	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
26	24, 25	mpbi 231	. . . 4 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
27		0pval 25656	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
28	27	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
29		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30	19, 9, 21, 23, 26, 28, 29	ofrfval 7630	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
31	8, 12, 30	3bitr4d 312	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))
32	3, 31	biadanii 827	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  {csn 4555   class class class wbr 5072   × cxp 5616   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_r cofr 7619  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  +∞cpnf 11167   ≤ cle 11171  [,)cico 13291  0_𝑝c0p 25654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-i2m1 11097  ax-rnegex 11100  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-ofr 7621  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ico 13295  df-0p 25655

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25740  itg2addlem  25743  ftc1anclem8  38067