Theorem 0plef 25580

Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0plef	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem 0plef

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13424	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		fss 6707	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		ffvelcdm 7056	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
5		elrege0 13422	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	baib 535	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
8	7	ralbidva 3155	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
9		ffn 6691	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10		ffnfv 7094	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
11	10	baib 535	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
13		0cn 11173	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		fnconstg 6751	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
16		df-0p 25578	. . . . . . 7 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
17	16	fneq1i 6618	. . . . . 6 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
18	15, 17	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 0𝑝 Fn ℂ)
20		cnex 11156	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℂ ∈ V)
22		reex 11166	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
24		ax-resscn 11132	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		sseqin2 4189	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
26	24, 25	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
27		0pval 25579	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
29		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30	19, 9, 21, 23, 26, 28, 29	ofrfval 7666	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
31	8, 12, 30	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))
32	3, 31	biadanii 821	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  {csn 4592   class class class wbr 5110   × cxp 5639   Fn wfn 6509  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_r cofr 7655  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  +∞cpnf 11212   ≤ cle 11216  [,)cico 13315  0_𝑝c0p 25577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-i2m1 11143  ax-rnegex 11146  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-ofr 7657  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-ico 13319  df-0p 25578

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25663  itg2addlem  25666  ftc1anclem8  37701