MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0plef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0plef 25052
Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
0plef (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹))

Proof of Theorem 0plef
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13380 . . 3 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
2 fss 6690 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
31, 2mpan2 690 . 2 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
4 ffvelcdm 7037 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5 elrege0 13378 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
65baib 537 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
87ralbidva 3173 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9 ffn 6673 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
10 ffnfv 7071 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
1110baib 537 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
13 0cn 11154 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
14 fnconstg 6735 . . . . . . 7 (0 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚
16 df-0p 25050 . . . . . . 7 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
1716fneq1i 6604 . . . . . 6 (0𝑝 Fn β„‚ ↔ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
1815, 17mpbir 230 . . . . 5 0𝑝 Fn β„‚
1918a1i 11 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 0𝑝 Fn β„‚)
20 cnex 11139 . . . . 5 β„‚ ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ β„‚ ∈ V)
22 reex 11149 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ℝ ∈ V)
24 ax-resscn 11115 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
25 sseqin2 4180 . . . . 5 (ℝ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ)
2624, 25mpbi 229 . . . 4 (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ
27 0pval 25051 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0π‘β€˜π‘₯) = 0)
2827adantl 483 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0π‘β€˜π‘₯) = 0)
29 eqidd 2738 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3019, 9, 21, 23, 26, 28, 29ofrfval 7632 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
318, 12, 303bitr4d 311 . 2 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹))
323, 31biadanii 821 1 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  {csn 4591   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘r cofr 7621  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  +∞cpnf 11193   ≀ cle 11197  [,)cico 13273  0𝑝c0p 25049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-i2m1 11126  ax-rnegex 11129  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-ofr 7623  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-ico 13277  df-0p 25050
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25136  itg2addlem  25139  ftc1anclem8  36187
  Copyright terms: Public domain W3C validator