Theorem 0plef 25180

Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0plef	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem 0plef

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13429	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		fss 6731	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		ffvelcdm 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
5		elrege0 13427	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	baib 536	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
8	7	ralbidva 3175	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
9		ffn 6714	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10		ffnfv 7114	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
11	10	baib 536	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
13		0cn 11202	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		fnconstg 6776	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
16		df-0p 25178	. . . . . . 7 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
17	16	fneq1i 6643	. . . . . 6 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
18	15, 17	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 0𝑝 Fn ℂ)
20		cnex 11187	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℂ ∈ V)
22		reex 11197	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
24		ax-resscn 11163	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		sseqin2 4214	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
26	24, 25	mpbi 229	. . . 4 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
27		0pval 25179	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
28	27	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
29		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30	19, 9, 21, 23, 26, 28, 29	ofrfval 7676	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
31	8, 12, 30	3bitr4d 310	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))
32	3, 31	biadanii 820	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   × cxp 5673   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_r cofr 7665  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  +∞cpnf 11241   ≤ cle 11245  [,)cico 13322  0_𝑝c0p 25177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-i2m1 11174  ax-rnegex 11177  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-ofr 7667  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ico 13326  df-0p 25178

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25264  itg2addlem  25267  ftc1anclem8  36556