MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0plef Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0plef 25189
Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
0plef (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹))

Proof of Theorem 0plef
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13433 . . 3 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
2 fss 6735 . . 3 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
31, 2mpan2 690 . 2 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
4 ffvelcdm 7084 . . . . 5 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5 elrege0 13431 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
65baib 537 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
74, 6syl 17 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
87ralbidva 3176 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9 ffn 6718 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
10 ffnfv 7118 . . . . 5 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
1110baib 537 . . . 4 (𝐹 Fn ℝ β†’ (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
129, 11syl 17 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞)))
13 0cn 11206 . . . . . . 7 0 ∈ β„‚
14 fnconstg 6780 . . . . . . 7 (0 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6 (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚
16 df-0p 25187 . . . . . . 7 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
1716fneq1i 6647 . . . . . 6 (0𝑝 Fn β„‚ ↔ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
1815, 17mpbir 230 . . . . 5 0𝑝 Fn β„‚
1918a1i 11 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ 0𝑝 Fn β„‚)
20 cnex 11191 . . . . 5 β„‚ ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ β„‚ ∈ V)
22 reex 11201 . . . . 5 ℝ ∈ V
2322a1i 11 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ ℝ ∈ V)
24 ax-resscn 11167 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
25 sseqin2 4216 . . . . 5 (ℝ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ)
2624, 25mpbi 229 . . . 4 (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ
27 0pval 25188 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0π‘β€˜π‘₯) = 0)
2827adantl 483 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0π‘β€˜π‘₯) = 0)
29 eqidd 2734 . . . 4 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
3019, 9, 21, 23, 26, 28, 29ofrfval 7680 . . 3 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
318, 12, 303bitr4d 311 . 2 (𝐹:β„βŸΆβ„ β†’ (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹))
323, 31biadanii 821 1 (𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  +∞cpnf 11245   ≀ cle 11249  [,)cico 13326  0𝑝c0p 25186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-i2m1 11178  ax-rnegex 11181  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-ofr 7671  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330  df-0p 25187
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25273  itg2addlem  25276  ftc1anclem8  36568
  Copyright terms: Public domain W3C validator