Theorem 0plef 25571

Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0plef	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem 0plef

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13359	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		fss 6668	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		ffvelcdm 7015	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
5		elrege0 13357	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	baib 535	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
8	7	ralbidva 3150	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
9		ffn 6652	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10		ffnfv 7053	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
11	10	baib 535	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
13		0cn 11107	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		fnconstg 6712	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
16		df-0p 25569	. . . . . . 7 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
17	16	fneq1i 6579	. . . . . 6 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
18	15, 17	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 0𝑝 Fn ℂ)
20		cnex 11090	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℂ ∈ V)
22		reex 11100	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
24		ax-resscn 11066	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		sseqin2 4174	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
26	24, 25	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
27		0pval 25570	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
29		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30	19, 9, 21, 23, 26, 28, 29	ofrfval 7623	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
31	8, 12, 30	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))
32	3, 31	biadanii 821	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3436   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4577   class class class wbr 5092   × cxp 5617   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_r cofr 7612  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  +∞cpnf 11146   ≤ cle 11150  [,)cico 13250  0_𝑝c0p 25568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-i2m1 11077  ax-rnegex 11080  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-ofr 7614  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-ico 13254  df-0p 25569

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25654  itg2addlem  25657  ftc1anclem8  37684