Theorem 0plef 25734

Description: Two ways to say that the function 𝐹 on the reals is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
0plef	⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Proof of Theorem 0plef

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13460	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		fss 6708	. . 3 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	mpan2 701	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4		ffvelcdm 7062	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
5		elrege0 13458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
6	5	baib 543	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
8	7	ralbidva 3183	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
9		ffn 6691	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℝ)
10		ffnfv 7100	. . . . 5 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
11	10	baib 543	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
12	9, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞)))
13		0cn 11171	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
14		fnconstg 6752	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
16		df-0p 25732	. . . . . . 7 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
17	16	fneq1i 6618	. . . . . 6 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
18	15, 17	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
19	18	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → 0𝑝 Fn ℂ)
20		cnex 11154	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℂ ∈ V)
22		reex 11164	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → ℝ ∈ V)
24		ax-resscn 11130	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		sseqin2 4175	. . . . 5 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
26	24, 25	mpbi 232	. . . 4 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
27		0pval 25733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
28	27	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
29		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
30	19, 9, 21, 23, 26, 28, 29	ofrfval 7670	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
31	8, 12, 30	3bitr4d 313	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ⟶ℝ → (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))
32	3, 31	biadanii 831	1 ⊢ (𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  Vcvv 3454   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5645   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ∘_r cofr 7659  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  +∞cpnf 11213   ≤ cle 11217  [,)cico 13351  0_𝑝c0p 25731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-i2m1 11141  ax-rnegex 11144  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-ofr 7661  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-ico 13355  df-0p 25732

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  25817  itg2addlem  25820  ftc1anclem8  38199