Theorem plymul02 33856

Description: Product of a polynomial with the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
plymul02	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = 0𝑝)

Proof of Theorem plymul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyf 25948	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7086	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
3	2	mul02d 11417	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · (𝐹‘𝑥)) = 0)
4	3	mpteq2dva 5248	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
5		c0ex 11213	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	fconst 6777	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
7		df-0p 25420	. . . . . 6 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
8	7	feq1i 6708	. . . . 5 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶{0} ↔ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0})
9	6, 8	mpbir 230	. . . 4 ⊢ 0𝑝:ℂ⟶{0}
10		ffn 6717	. . . 4 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶{0} → 0𝑝 Fn ℂ)
11	9, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 Fn ℂ)
12	1	ffnd 6718	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 Fn ℂ)
13		cnex 11195	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ∈ V)
15		inidm 4218	. . 3 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16		0pval 25421	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
18		eqidd 2732	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19	11, 12, 14, 14, 15, 17, 18	offval 7683	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹‘𝑥))))
20		fconstmpt 5738	. . . 4 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
21	7, 20	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
23	4, 19, 22	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∘_f cof 7672  ℂcc 11112  0cc0 11114   · cmul 11119  0_𝑝c0p 25419  Polycply 25934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-0p 25420  df-ply 25938

This theorem is referenced by:  plymulx  33858