Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plymul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymul02 31992
 Description: Product of a polynomial with the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
plymul02 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝f · 𝐹) = 0𝑝)

Proof of Theorem plymul02
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 24839 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21ffvelrnda 6838 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
32mul02d 10845 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · (𝐹𝑥)) = 0)
43mpteq2dva 5129 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
5 c0ex 10642 . . . . . 6 0 ∈ V
65fconst 6547 . . . . 5 (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
7 df-0p 24315 . . . . . 6 0𝑝 = (ℂ × {0})
87feq1i 6486 . . . . 5 (0𝑝:ℂ⟶{0} ↔ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0})
96, 8mpbir 234 . . . 4 0𝑝:ℂ⟶{0}
10 ffn 6495 . . . 4 (0𝑝:ℂ⟶{0} → 0𝑝 Fn ℂ)
119, 10mp1i 13 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 Fn ℂ)
121ffnd 6496 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 Fn ℂ)
13 cnex 10625 . . . 4 ℂ ∈ V
1413a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ∈ V)
15 inidm 4148 . . 3 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16 0pval 24316 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
1716adantl 485 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
18 eqidd 2799 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
1911, 12, 14, 14, 15, 17, 18offval 7408 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹𝑥))))
20 fconstmpt 5582 . . . 4 (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
217, 20eqtri 2821 . . 3 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
2221a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
234, 19, 223eqtr4d 2843 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝f · 𝐹) = 0𝑝)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3442  {csn 4528   ↦ cmpt 5114   × cxp 5521   Fn wfn 6327  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145   ∘f cof 7398  ℂcc 10542  0cc0 10544   · cmul 10549  0𝑝c0p 24314  Polycply 24825 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-inf2 9106  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-sup 8908  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-rp 12398  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-exp 13446  df-hash 13707  df-cj 14470  df-re 14471  df-im 14472  df-sqrt 14606  df-abs 14607  df-clim 14857  df-sum 15055  df-0p 24315  df-ply 24829 This theorem is referenced by:  plymulx  31994
 Copyright terms: Public domain W3C validator