Theorem plymul02 34561

Description: Product of a polynomial with the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
plymul02	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = 0𝑝)

Proof of Theorem plymul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyf 26237	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
3	2	mul02d 11459	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · (𝐹‘𝑥)) = 0)
4	3	mpteq2dva 5242	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
5		c0ex 11255	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	fconst 6794	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
7		df-0p 25705	. . . . . 6 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
8	7	feq1i 6727	. . . . 5 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶{0} ↔ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0})
9	6, 8	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0𝑝:ℂ⟶{0}
10		ffn 6736	. . . 4 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶{0} → 0𝑝 Fn ℂ)
11	9, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 Fn ℂ)
12	1	ffnd 6737	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 Fn ℂ)
13		cnex 11236	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ∈ V)
15		inidm 4227	. . 3 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16		0pval 25706	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
18		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19	11, 12, 14, 14, 15, 17, 18	offval 7706	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹‘𝑥))))
20		fconstmpt 5747	. . . 4 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
21	7, 20	eqtri 2765	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
23	4, 19, 22	3eqtr4d 2787	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695  ℂcc 11153  0cc0 11155   · cmul 11160  0_𝑝c0p 25704  Polycply 26223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-0p 25705  df-ply 26227

This theorem is referenced by:  plymulx  34563