Theorem plymul02 34652

Description: Product of a polynomial with the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
plymul02	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = 0𝑝)

Proof of Theorem plymul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyf 26157	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7027	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
3	2	mul02d 11329	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · (𝐹‘𝑥)) = 0)
4	3	mpteq2dva 5189	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
5		c0ex 11124	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	fconst 6718	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
7		df-0p 25625	. . . . . 6 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
8	7	feq1i 6651	. . . . 5 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶{0} ↔ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0})
9	6, 8	mpbir 231	. . . 4 ⊢ 0𝑝:ℂ⟶{0}
10		ffn 6660	. . . 4 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶{0} → 0𝑝 Fn ℂ)
11	9, 10	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 Fn ℂ)
12	1	ffnd 6661	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 Fn ℂ)
13		cnex 11105	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ∈ V)
15		inidm 4177	. . 3 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16		0pval 25626	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
18		eqidd 2735	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19	11, 12, 14, 14, 15, 17, 18	offval 7629	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹‘𝑥))))
20		fconstmpt 5684	. . . 4 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
21	7, 20	eqtri 2757	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
23	4, 19, 22	3eqtr4d 2779	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = 0𝑝)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  {csn 4578   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618  ℂcc 11022  0cc0 11024   · cmul 11029  0_𝑝c0p 25624  Polycply 26143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608  df-0p 25625  df-ply 26147

This theorem is referenced by:  plymulx  34654