Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plymul02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymul02 32961
Description: Product of a polynomial with the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
plymul02 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝f · 𝐹) = 0𝑝)

Proof of Theorem plymul02
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 plyf 25510 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
21ffvelcdmda 7031 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
32mul02d 11311 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · (𝐹𝑥)) = 0)
43mpteq2dva 5203 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
5 c0ex 11107 . . . . . 6 0 ∈ V
65fconst 6725 . . . . 5 (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
7 df-0p 24985 . . . . . 6 0𝑝 = (ℂ × {0})
87feq1i 6656 . . . . 5 (0𝑝:ℂ⟶{0} ↔ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0})
96, 8mpbir 230 . . . 4 0𝑝:ℂ⟶{0}
10 ffn 6665 . . . 4 (0𝑝:ℂ⟶{0} → 0𝑝 Fn ℂ)
119, 10mp1i 13 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 Fn ℂ)
121ffnd 6666 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 Fn ℂ)
13 cnex 11090 . . . 4 ℂ ∈ V
1413a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ∈ V)
15 inidm 4176 . . 3 (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16 0pval 24986 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝𝑥) = 0)
1716adantl 482 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑥) = 0)
18 eqidd 2738 . . 3 ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
1911, 12, 14, 14, 15, 17, 18offval 7618 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹𝑥))))
20 fconstmpt 5692 . . . 4 (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
217, 20eqtri 2765 . . 3 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
2221a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
234, 19, 223eqtr4d 2787 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝f · 𝐹) = 0𝑝)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  {csn 4584  cmpt 5186   × cxp 5629   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  f cof 7607  cc 11007  0cc0 11009   · cmul 11014  0𝑝c0p 24984  Polycply 25496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14184  df-cj 14943  df-re 14944  df-im 14945  df-sqrt 15079  df-abs 15080  df-clim 15329  df-sum 15530  df-0p 24985  df-ply 25500
This theorem is referenced by:  plymulx  32963
  Copyright terms: Public domain W3C validator