Theorem plymul02 26601

Description: Product of a polynomial with the zero polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
plymul02	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = 0𝑝)

Proof of Theorem plymul02

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyf 26516	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
2	1	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
3	2	mul02d 11508	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 · (𝐹‘𝑥)) = 0)
4	3	mpteq2dva 5198	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
5		c0ex 11300	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
6	5	fconst 6768	. . . . 5 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
7		df-0p 25991	. . . . . 6 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
8	7	feq1i 6700	. . . . 5 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶{0} ↔ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0})
9	6, 8	mpbir 234	. . . 4 ⊢ 0𝑝:ℂ⟶{0}
10		ffn 6709	. . . 4 ⊢ (0𝑝:ℂ⟶{0} → 0𝑝 Fn ℂ)
11	9, 10	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 Fn ℂ)
12	1	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹 Fn ℂ)
13		cnex 11281	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14	13	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ℂ ∈ V)
15		inidm 4172	. . 3 ⊢ (ℂ ∩ ℂ) = ℂ
16		0pval 25992	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑥) = 0)
17	16	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑥) = 0)
18		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
19	11, 12, 14, 14, 15, 17, 18	offval 7702	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (0 · (𝐹‘𝑥))))
20		fconstmpt 5713	. . . 4 ⊢ (ℂ × {0}) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
21	7, 20	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0)
22	21	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0𝑝 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 0))
23	4, 19, 22	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (0𝑝 ∘f · 𝐹) = 0𝑝)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11198  0cc0 11200   · cmul 11205  0_𝑝c0p 25990  Polycply 26502

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-0p 25991  df-ply 26506

This theorem is used by:  plymulidp  26603