Theorem itg1ge0 24831

Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1ge0	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1frn 24822	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2		difss 4070	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3		ssfi 8921	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6		i1ff 24821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8	7	frnd 6604	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	8	ssdifssd 4081	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
10	9	sselda 3925	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		i1fima2sn 24825	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 711	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 10989	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
14		eldifi 4065	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
15		0cn 10951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		fnconstg 6658	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
18		df-0p 24815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
19	18	fneq1i 6526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
20	17, 19	mpbir 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
22	6	ffnd 6597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 Fn ℝ)
23		cnex 10936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
25		reex 10946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
27		ax-resscn 10912	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28		sseqin2 4154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
29	27, 28	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
30		0pval 24816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑦) = 0)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑦) = 0)
32		eqidd 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	21, 22, 24, 26, 29, 31, 32	ofrfval 7534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	33	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
35	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
36		breq2 5082	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralrn 6958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
39	34, 38	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
40	39	r19.21bi 3134	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
41	14, 40	sylan2 592	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
42		i1fima 24823	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
43	42	ad2antrr 722	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
44		mblss 24676	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
45		ovolge0 24626	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
47		mblvol 24675	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
48	46, 47	breqtrrd 5106	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
49	43, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
50	10, 12, 41, 49	mulge0d 11535	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
51	5, 13, 50	fsumge0 15488	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
52		itg1val 24828	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
53	52	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
54	51, 53	breqtrrd 5106	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  Vcvv 3430   ∖ cdif 3888   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  {csn 4566   class class class wbr 5078   × cxp 5586  ^◡ccnv 5587  dom cdm 5588  ran crn 5589   “ cima 5591   Fn wfn 6425  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268   ∘_r cofr 7523  Fincfn 8707  ℂcc 10853  ℝcr 10854  0cc0 10855   · cmul 10860   ≤ cle 10994  Σcsu 15378  vol*covol 24607  volcvol 24608  ∫₁citg1 24760  0_𝑝c0p 24814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-inf2 9360  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-se 5544  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-isom 6439  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-ofr 7525  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-er 8472  df-map 8591  df-pm 8592  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-oi 9230  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-xadd 12831  df-ioo 13065  df-ico 13067  df-icc 13068  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-clim 15178  df-sum 15379  df-xmet 20571  df-met 20572  df-ovol 24609  df-vol 24610  df-mbf 24764  df-itg1 24765  df-0p 24815

This theorem is referenced by: (None)