MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1ge0 25735
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 0 ≤ (∫1𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 25726 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2 difss 4146 . . . . 5 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3 ssfi 9212 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 586 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
54adantr 480 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 25725 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
87frnd 6745 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
98ssdifssd 4157 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
109sselda 3995 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 i1fima2sn 25729 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
1211adantlr 715 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 11289 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
14 eldifi 4141 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
15 0cn 11251 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
16 fnconstg 6797 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {0}) Fn ℂ
18 df-0p 25719 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
1918fneq1i 6666 . . . . . . . . . . 11 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
2017, 19mpbir 231 . . . . . . . . . 10 0𝑝 Fn ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
226ffnd 6738 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 Fn ℝ)
23 cnex 11234 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
25 reex 11244 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
27 ax-resscn 11210 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
28 sseqin2 4231 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
2927, 28mpbi 230 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
30 0pval 25720 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝𝑦) = 0)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑦) = 0)
32 eqidd 2736 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
3321, 22, 24, 26, 29, 31, 32ofrfval 7707 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝r𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3433biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦))
3522adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
36 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3736ralrn 7108 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3835, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3934, 38mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
4039r19.21bi 3249 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
4114, 40sylan2 593 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
42 i1fima 25727 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
4342ad2antrr 726 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
44 mblss 25580 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
45 ovolge0 25530 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
47 mblvol 25579 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
4846, 47breqtrrd 5176 . . . . 5 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
4943, 48syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
5010, 12, 41, 49mulge0d 11838 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
515, 13, 50fsumge0 15828 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
52 itg1val 25732 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
5352adantr 480 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
5451, 53breqtrrd 5176 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r𝐹) → 0 ≤ (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cin 3962  wss 3963  {csn 4631   class class class wbr 5148   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  r cofr 7696  Fincfn 8984  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   · cmul 11158  cle 11294  Σcsu 15719  vol*covol 25511  volcvol 25512  1citg1 25664  0𝑝c0p 25718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-xmet 21375  df-met 21376  df-ovol 25513  df-vol 25514  df-mbf 25668  df-itg1 25669  df-0p 25719
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator