Theorem itg1ge0 25655

Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1ge0	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1frn 25646	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2		difss 4090	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3		ssfi 9109	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6		i1ff 25645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8	7	frnd 6678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	8	ssdifssd 4101	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
10	9	sselda 3935	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		i1fima2sn 25649	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11174	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
14		eldifi 4085	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
15		0cn 11136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		fnconstg 6730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
18		df-0p 25639	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
19	18	fneq1i 6597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
20	17, 19	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
22	6	ffnd 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 Fn ℝ)
23		cnex 11119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
25		reex 11129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
27		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28		sseqin2 4177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
29	27, 28	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
30		0pval 25640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑦) = 0)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑦) = 0)
32		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	21, 22, 24, 26, 29, 31, 32	ofrfval 7642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	33	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
35	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
36		breq2 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralrn 7042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
39	34, 38	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
40	39	r19.21bi 3230	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
41	14, 40	sylan2 594	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
42		i1fima 25647	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
43	42	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
44		mblss 25500	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
45		ovolge0 25450	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
47		mblvol 25499	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
48	46, 47	breqtrrd 5128	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
49	43, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
50	10, 12, 41, 49	mulge0d 11726	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
51	5, 13, 50	fsumge0 15730	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
52		itg1val 25652	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
53	52	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
54	51, 53	breqtrrd 5128	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4582   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633   “ cima 5635   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_r cofr 7631  Fincfn 8895  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   · cmul 11043   ≤ cle 11179  Σcsu 15621  vol*covol 25431  volcvol 25432  ∫₁citg1 25584  0_𝑝c0p 25638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-xmet 21314  df-met 21315  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589  df-0p 25639

This theorem is referenced by: (None)