MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg1ge0 23744
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ (∫1𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 23735 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2 difss 3899 . . . . 5 (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3 ssfi 8387 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 580 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
54adantr 472 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 23734 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
76adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
87frnd 6230 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
98ssdifssd 3910 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
109sselda 3761 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 i1fima2sn 23738 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
1211adantlr 706 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 10324 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
14 eldifi 3894 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
15 0cn 10285 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℂ
16 fnconstg 6275 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {0}) Fn ℂ
18 df-0p 23728 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (ℂ × {0})
1918fneq1i 6163 . . . . . . . . . . 11 (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
2017, 19mpbir 222 . . . . . . . . . 10 0𝑝 Fn ℂ
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
226ffnd 6224 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 Fn ℝ)
23 cnex 10270 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
25 reex 10280 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
27 ax-resscn 10246 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
28 sseqin2 3979 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
2927, 28mpbi 221 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
30 0pval 23729 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝𝑦) = 0)
3130adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝𝑦) = 0)
32 eqidd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑦))
3321, 22, 24, 26, 29, 31, 32ofrfval 7103 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3433biimpa 468 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦))
3522adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
36 breq2 4813 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐹𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3736ralrn 6552 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3835, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹𝑦)))
3934, 38mpbird 248 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
4039r19.21bi 3079 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
4114, 40sylan2 586 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
42 i1fima 23736 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
4342ad2antrr 717 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
44 mblss 23589 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
45 ovolge0 23539 . . . . . . 7 ((𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
47 mblvol 23588 . . . . . 6 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(𝐹 “ {𝑥})))
4846, 47breqtrrd 4837 . . . . 5 ((𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
4943, 48syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(𝐹 “ {𝑥})))
5010, 12, 41, 49mulge0d 10858 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
515, 13, 50fsumge0 14811 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
52 itg1val 23741 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
5352adantr 472 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → (∫1𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(𝐹 “ {𝑥}))))
5451, 53breqtrrd 4837 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟𝐹) → 0 ≤ (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809   × cxp 5275  ccnv 5276  dom cdm 5277  ran crn 5278  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑟 cofr 7094  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189   · cmul 10194  cle 10329  Σcsu 14701  vol*covol 23520  volcvol 23521  1citg1 23673  0𝑝c0p 23727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xadd 12147  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-sum 14702  df-xmet 20012  df-met 20013  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-0p 23728
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator