MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1ge0 25203
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 25194 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
2 difss 4132 . . . . 5 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
3 ssfi 9173 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 587 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
54adantr 482 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 25193 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
87frnd 6726 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
98ssdifssd 4143 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
109sselda 3983 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11 i1fima2sn 25197 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
1211adantlr 714 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 11244 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
14 eldifi 4127 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
15 0cn 11206 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„‚
16 fnconstg 6780 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚
18 df-0p 25187 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
1918fneq1i 6647 . . . . . . . . . . 11 (0𝑝 Fn β„‚ ↔ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
2017, 19mpbir 230 . . . . . . . . . 10 0𝑝 Fn β„‚
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 Fn β„‚)
226ffnd 6719 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 Fn ℝ)
23 cnex 11191 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ β„‚ ∈ V)
25 reex 11201 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
27 ax-resscn 11167 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
28 sseqin2 4216 . . . . . . . . . 10 (ℝ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ)
2927, 28mpbi 229 . . . . . . . . 9 (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ
30 0pval 25188 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (0π‘β€˜π‘¦) = 0)
3130adantl 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0π‘β€˜π‘¦) = 0)
32 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
3321, 22, 24, 26, 29, 31, 32ofrfval 7680 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3433biimpa 478 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
3522adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
36 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (0 ≀ π‘₯ ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3736ralrn 7090 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐹0 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3835, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐹0 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3934, 38mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐹0 ≀ π‘₯)
4039r19.21bi 3249 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹) β†’ 0 ≀ π‘₯)
4114, 40sylan2 594 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ π‘₯)
42 i1fima 25195 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
4342ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
44 mblss 25048 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
45 ovolge0 24998 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
47 mblvol 25047 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
4846, 47breqtrrd 5177 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
4943, 48syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
5010, 12, 41, 49mulge0d 11791 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
515, 13, 50fsumge0 15741 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
52 itg1val 25200 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
5352adantr 482 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
5451, 53breqtrrd 5177 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  Ξ£csu 15632  vol*covol 24979  volcvol 24980  βˆ«1citg1 25132  0𝑝c0p 25186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-xmet 20937  df-met 20938  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-0p 25187
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator