Theorem itg1ge0 25050

Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1ge0	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1frn 25041	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2		difss 4091	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3		ssfi 9117	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6		i1ff 25040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8	7	frnd 6676	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	8	ssdifssd 4102	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
10	9	sselda 3944	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		i1fima2sn 25044	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11185	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
14		eldifi 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
15		0cn 11147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		fnconstg 6730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
18		df-0p 25034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
19	18	fneq1i 6599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
20	17, 19	mpbir 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
22	6	ffnd 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 Fn ℝ)
23		cnex 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
25		reex 11142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
27		ax-resscn 11108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28		sseqin2 4175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
29	27, 28	mpbi 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
30		0pval 25035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑦) = 0)
31	30	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑦) = 0)
32		eqidd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	21, 22, 24, 26, 29, 31, 32	ofrfval 7627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	33	biimpa 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
35	22	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
36		breq2 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralrn 7038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
39	34, 38	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
40	39	r19.21bi 3234	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
41	14, 40	sylan2 593	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
42		i1fima 25042	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
43	42	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
44		mblss 24895	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
45		ovolge0 24845	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
46	44, 45	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
47		mblvol 24894	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
48	46, 47	breqtrrd 5133	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
49	43, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
50	10, 12, 41, 49	mulge0d 11732	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
51	5, 13, 50	fsumge0 15680	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
52		itg1val 25047	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
53	52	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
54	51, 53	breqtrrd 5133	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634   “ cima 5636   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_r cofr 7616  Fincfn 8883  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056   ≤ cle 11190  Σcsu 15570  vol*covol 24826  volcvol 24827  ∫₁citg1 24979  0_𝑝c0p 25033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-0p 25034

This theorem is referenced by: (None)