MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itg1ge0 25194
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 25185 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ran 𝐹 ∈ Fin)
2 difss 4130 . . . . 5 (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹
3 ssfi 9169 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ran 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
41, 2, 3sylancl 586 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
54adantr 481 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) ∈ Fin)
6 i1ff 25184 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
76adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
87frnd 6722 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ ran 𝐹 βŠ† ℝ)
98ssdifssd 4141 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (ran 𝐹 βˆ– {0}) βŠ† ℝ)
109sselda 3981 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
11 i1fima2sn 25188 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
1211adantlr 713 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) ∈ ℝ)
1310, 12remulcld 11240 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))) ∈ ℝ)
14 eldifi 4125 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0}) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
15 0cn 11202 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ β„‚
16 fnconstg 6776 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚
18 df-0p 25178 . . . . . . . . . . . 12 0𝑝 = (β„‚ Γ— {0})
1918fneq1i 6643 . . . . . . . . . . 11 (0𝑝 Fn β„‚ ↔ (β„‚ Γ— {0}) Fn β„‚)
2017, 19mpbir 230 . . . . . . . . . 10 0𝑝 Fn β„‚
2120a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 Fn β„‚)
226ffnd 6715 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 Fn ℝ)
23 cnex 11187 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ β„‚ ∈ V)
25 reex 11197 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
27 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
28 sseqin2 4214 . . . . . . . . . 10 (ℝ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ)
2927, 28mpbi 229 . . . . . . . . 9 (β„‚ ∩ ℝ) = ℝ
30 0pval 25179 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‚ β†’ (0π‘β€˜π‘¦) = 0)
3130adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (0π‘β€˜π‘¦) = 0)
32 eqidd 2733 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π‘¦))
3321, 22, 24, 26, 29, 31, 32ofrfval 7676 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3433biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
3522adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
36 breq2 5151 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (0 ≀ π‘₯ ↔ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3736ralrn 7086 . . . . . . . 8 (𝐹 Fn ℝ β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐹0 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3835, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐹0 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
3934, 38mpbird 256 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran 𝐹0 ≀ π‘₯)
4039r19.21bi 3248 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹) β†’ 0 ≀ π‘₯)
4114, 40sylan2 593 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ π‘₯)
42 i1fima 25186 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
4342ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol)
44 mblss 25039 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ)
45 ovolge0 24989 . . . . . . 7 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) βŠ† ℝ β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
47 mblvol 25038 . . . . . 6 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})) = (vol*β€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
4846, 47breqtrrd 5175 . . . . 5 ((◑𝐹 β€œ {π‘₯}) ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
4943, 48syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯})))
5010, 12, 41, 49mulge0d 11787 . . 3 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) ∧ π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})) β†’ 0 ≀ (π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
515, 13, 50fsumge0 15737 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
52 itg1val 25191 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
5352adantr 481 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫1β€˜πΉ) = Ξ£π‘₯ ∈ (ran 𝐹 βˆ– {0})(π‘₯ Β· (volβ€˜(◑𝐹 β€œ {π‘₯}))))
5451, 53breqtrrd 5175 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ 𝐹) β†’ 0 ≀ (∫1β€˜πΉ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  {csn 4627   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘r cofr 7665  Fincfn 8935  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245  Ξ£csu 15628  vol*covol 24970  volcvol 24971  βˆ«1citg1 25123  0𝑝c0p 25177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-0p 25178
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator