Theorem itg1ge0 25826

Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg1ge0	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Proof of Theorem itg1ge0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1frn 25817	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ran 𝐹 ∈ Fin)
2		difss 4091	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹
3		ssfi 9158	. . . . 5 ⊢ ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	sylancl 597	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ∈ Fin)
6		i1ff 25816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
7	6	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
8	7	frnd 6716	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
9	8	ssdifssd 4102	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (ran 𝐹 ∖ {0}) ⊆ ℝ)
10	9	sselda 3938	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 𝑥 ∈ ℝ)
11		i1fima2sn 25820	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
12	11	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) ∈ ℝ)
13	10, 12	remulcld 11240	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))) ∈ ℝ)
14		eldifi 4086	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0}) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
15		0cn 11199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℂ
16		fnconstg 6768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℂ → (ℂ × {0}) Fn ℂ)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}) Fn ℂ
18		df-0p 25810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0𝑝 = (ℂ × {0})
19	18	fneq1i 6634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0𝑝 Fn ℂ ↔ (ℂ × {0}) Fn ℂ)
20	17, 19	mpbir 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0𝑝 Fn ℂ
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 Fn ℂ)
22	6	ffnd 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 Fn ℝ)
23		cnex 11182	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℂ ∈ V)
25		reex 11192	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
27		ax-resscn 11158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
28		sseqin2 4177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ)
29	27, 28	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ) = ℝ
30		0pval 25811	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (0𝑝‘𝑦) = 0)
31	30	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (0𝑝‘𝑦) = 0)
32		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑦))
33	21, 22, 24, 26, 29, 31, 32	ofrfval 7686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
34	33	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦))
35	22	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 𝐹 Fn ℝ)
36		breq2 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑦) → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
37	36	ralrn 7085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
38	35, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ 0 ≤ (𝐹‘𝑦)))
39	34, 38	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹0 ≤ 𝑥)
40	39	r19.21bi 3257	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
41	14, 40	sylan2 604	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ 𝑥)
42		i1fima 25818	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
43	42	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → (◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol)
44		mblss 25671	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ)
45		ovolge0 25621	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
46	44, 45	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
47		mblvol 25670	. . . . . 6 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})) = (vol*‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
48	46, 47	breqtrrd 5140	. . . . 5 ⊢ ((◡𝐹 “ {𝑥}) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
49	43, 48	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥})))
50	10, 12, 41, 49	mulge0d 11792	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})) → 0 ≤ (𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
51	5, 13, 50	fsumge0 15849	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
52		itg1val 25823	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
53	52	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → (∫1‘𝐹) = Σ𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ {0})(𝑥 · (vol‘(◡𝐹 “ {𝑥}))))
54	51, 53	breqtrrd 5140	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ 𝐹) → 0 ≤ (∫1‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  {csn 4590   class class class wbr 5110   × cxp 5661  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∘_r cofr 7675  Fincfn 8944  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106   ≤ cle 11245  Σcsu 15739  vol*covol 25602  volcvol 25603  ∫₁citg1 25755  0_𝑝c0p 25809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xadd 13139  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-sum 15740  df-xmet 21496  df-met 21497  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759  df-itg1 25760  df-0p 25810

This theorem is referenced by: (None)