Theorem 1arymaptfv 48374

Description: The value of the mapping of unary (endo)functions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfv	⊢ (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6919	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩}))
2	1	mpteq2dv 5268	. 2 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
3		1arymaptfv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
5	4	naryrcl 48365	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7	6	mptexd 7261	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∈ V)
8	2, 3, 7	fvmpt3 7033	1 ⊢ (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648  ⟨cop 4654   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185  ℕ₀cn0 12553  ..^cfzo 13711  -aryF cnaryf 48360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-naryf 48361

This theorem is referenced by:  1arymaptf1  48376