Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arymaptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arymaptfv 47539
Description: The value of the mapping of unary (endo)functions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
1arymaptfv.h 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Assertion
Ref Expression
1arymaptfv (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑥   ,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,)

Proof of Theorem 1arymaptfv
StepHypRef Expression
1 fveq1 6881 . . 3 ( = 𝐹 → (‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩}))
21mpteq2dv 5241 . 2 ( = 𝐹 → (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
3 1arymaptfv.h . 2 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
4 eqid 2724 . . . . 5 (0..^1) = (0..^1)
54naryrcl 47530 . . . 4 ( ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ V))
65simprd 495 . . 3 ( ∈ (1-aryF 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
76mptexd 7218 . 2 ( ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∈ V)
82, 3, 7fvmpt3 6993 1 (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621  cop 4627  cmpt 5222  cfv 6534  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108  0cn0 12470  ..^cfzo 13625  -aryF cnaryf 47525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-naryf 47526
This theorem is referenced by:  1arymaptf1  47541
  Copyright terms: Public domain W3C validator