Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arymaptfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arymaptfv 46326
Description: The value of the mapping of unary (endo)functions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
1arymaptfv.h 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Assertion
Ref Expression
1arymaptfv (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Distinct variable groups:   ,𝐹,𝑥   ,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,)

Proof of Theorem 1arymaptfv
StepHypRef Expression
1 fveq1 6818 . . 3 ( = 𝐹 → (‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩}))
21mpteq2dv 5191 . 2 ( = 𝐹 → (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
3 1arymaptfv.h . 2 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
4 eqid 2736 . . . . 5 (0..^1) = (0..^1)
54naryrcl 46317 . . . 4 ( ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0𝑋 ∈ V))
65simprd 496 . . 3 ( ∈ (1-aryF 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
76mptexd 7150 . 2 ( ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∈ V)
82, 3, 7fvmpt3 6929 1 (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  Vcvv 3441  {csn 4572  cop 4578  cmpt 5172  cfv 6473  (class class class)co 7329  0cc0 10964  1c1 10965  0cn0 12326  ..^cfzo 13475  -aryF cnaryf 46312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pr 5369
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4269  df-if 4473  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-id 5512  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-naryf 46313
This theorem is referenced by:  1arymaptf1  46328
  Copyright terms: Public domain W3C validator