Theorem 1arymaptfv 49420

Description: The value of the mapping of unary (endo)functions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfv	⊢ (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6880	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩}))
2	1	mpteq2dv 5205	. 2 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
3		1arymaptfv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
5	4	naryrcl 49411	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
6	5	simprd 500	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7	6	mptexd 7222	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∈ V)
8	2, 3, 7	fvmpt3 6994	1 ⊢ (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4589  ⟨cop 4595   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096  ℕ₀cn0 12499  ..^cfzo 13678  -aryF cnaryf 49406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-naryf 49407

This theorem is referenced by:  1arymaptf1  49422