Theorem 1arymaptfv 47316

Description: The value of the mapping of unary (endo)functions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfv	⊢ (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6890	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩}))
2	1	mpteq2dv 5250	. 2 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
3		1arymaptfv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
4		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
5	4	naryrcl 47307	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
6	5	simprd 496	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7	6	mptexd 7225	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∈ V)
8	2, 3, 7	fvmpt3 7002	1 ⊢ (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628  ⟨cop 4634   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  1c1 11110  ℕ₀cn0 12471  ..^cfzo 13626  -aryF cnaryf 47302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-naryf 47303

This theorem is referenced by:  1arymaptf1  47318