Theorem 1arymaptfv 48629

Description: The value of the mapping of unary (endo)functions. (Contributed by AV, 18-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptfv	⊢ (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐹,𝑥   ℎ,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq1 6825	. . 3 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩}))
2	1	mpteq2dv 5189	. 2 ⊢ (ℎ = 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))
3		1arymaptfv.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
4		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (0..^1) = (0..^1)
5	4	naryrcl 48620	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → (1 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ V))
6	5	simprd 495	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → 𝑋 ∈ V)
7	6	mptexd 7164	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∈ V)
8	2, 3, 7	fvmpt3 6938	1 ⊢ (𝐹 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  {csn 4579  ⟨cop 4585   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029  ℕ₀cn0 12402  ..^cfzo 13575  -aryF cnaryf 48615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-naryf 48616

This theorem is referenced by:  1arymaptf1  48631