Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arymaptf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arymaptf1 47608
Description: The mapping of unary (endo)functions is a one-to-one function into the set of endofunctions. (Contributed by AV, 19-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
1arymaptfv.h 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Assertion
Ref Expression
1arymaptf1 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑋   ,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,)

Proof of Theorem 1arymaptf1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1arymaptfv.h . . 3 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
211arymaptf 47607 . 2 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋m 𝑋))
311arymaptfv 47606 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻𝑓) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
43ad2antrl 725 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (𝐻𝑓) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
511arymaptfv 47606 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻𝑔) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
65ad2antll 726 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (𝐻𝑔) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
74, 6eqeq12d 2742 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}))))
8 fvex 6898 . . . . . . 7 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V
98rgenw 3059 . . . . . 6 𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V
10 mpteqb 7011 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
119, 10mp1i 13 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
12 1aryfvalel 47602 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋))
13 1aryfvalel 47602 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋))
1412, 13anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → ((𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)) ↔ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋)))
15 ffn 6711 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑓 Fn (𝑋m {0}))
1615adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) → 𝑓 Fn (𝑋m {0}))
17163ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 Fn (𝑋m {0}))
18 ffn 6711 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔 Fn (𝑋m {0}))
1918adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) → 𝑔 Fn (𝑋m {0}))
20193ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑔 Fn (𝑋m {0}))
21 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝑋m {0}) → 𝑦:{0}⟶𝑋)
22 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2322fsn2 7130 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:{0}⟶𝑋 ↔ ((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
2421, 23sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑋m {0}) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
25 opeq2 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦‘0) → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, (𝑦‘0)⟩)
2625sneqd 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦‘0) → {⟨0, 𝑥⟩} = {⟨0, (𝑦‘0)⟩})
2726fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦‘0) → (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
2826fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦‘0) → (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
2927, 28eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦‘0) → ((𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3029rspccv 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
31303ad2ant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
34 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → (𝑓𝑦) = (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
35 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → (𝑔𝑦) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
3634, 35eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → ((𝑓𝑦) = (𝑔𝑦) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑓𝑦) = (𝑔𝑦) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3833, 37sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦)))
3924, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑋m {0}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦)))
4039impcom 407 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋m {0})) → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦))
4117, 20, 40eqfnfvd 7029 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 = 𝑔)
42413exp 1116 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → ((𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
4314, 42sylbid 239 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → ((𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)) → (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
4443imp 406 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔))
4511, 44sylbid 239 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 = 𝑔))
467, 45sylbid 239 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
4746ralrimivva 3194 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
48 dff13 7250 . 2 (𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
492, 47, 48sylanbrc 582 1 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3055  Vcvv 3468  {csn 4623  cop 4629  cmpt 5224   Fn wfn 6532  wf 6533  1-1wf1 6534  cfv 6537  (class class class)co 7405  m cmap 8822  0cc0 11112  1c1 11113  -aryF cnaryf 47592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-naryf 47593
This theorem is referenced by:  1arymaptf1o  47610
  Copyright terms: Public domain W3C validator