Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1arymaptf1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1arymaptf1 46802
Description: The mapping of unary (endo)functions is a one-to-one function into the set of endofunctions. (Contributed by AV, 19-May-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
1arymaptfv.h 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
Assertion
Ref Expression
1arymaptf1 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,,𝑋   ,𝑉,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,)

Proof of Theorem 1arymaptf1
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1arymaptfv.h . . 3 𝐻 = ( ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥𝑋 ↦ (‘{⟨0, 𝑥⟩})))
211arymaptf 46801 . 2 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋m 𝑋))
311arymaptfv 46800 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻𝑓) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
43ad2antrl 727 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (𝐻𝑓) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
511arymaptfv 46800 . . . . . 6 (𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻𝑔) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
65ad2antll 728 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (𝐻𝑔) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
74, 6eqeq12d 2753 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) ↔ (𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}))))
8 fvex 6860 . . . . . . 7 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V
98rgenw 3069 . . . . . 6 𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V
10 mpteqb 6972 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
119, 10mp1i 13 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
12 1aryfvalel 46796 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋))
13 1aryfvalel 46796 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → (𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋))
1412, 13anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → ((𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)) ↔ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋)))
15 ffn 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑓 Fn (𝑋m {0}))
1615adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) → 𝑓 Fn (𝑋m {0}))
17163ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 Fn (𝑋m {0}))
18 ffn 6673 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔 Fn (𝑋m {0}))
1918adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) → 𝑔 Fn (𝑋m {0}))
20193ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑔 Fn (𝑋m {0}))
21 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (𝑋m {0}) → 𝑦:{0}⟶𝑋)
22 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ V
2322fsn2 7087 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦:{0}⟶𝑋 ↔ ((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
2421, 23sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑋m {0}) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
25 opeq2 4836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦‘0) → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, (𝑦‘0)⟩)
2625sneqd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦‘0) → {⟨0, 𝑥⟩} = {⟨0, (𝑦‘0)⟩})
2726fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦‘0) → (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
2826fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑦‘0) → (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
2927, 28eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑦‘0) → ((𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3029rspccv 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
31303ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3231com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3332adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
34 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → (𝑓𝑦) = (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
35 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → (𝑔𝑦) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
3634, 35eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → ((𝑓𝑦) = (𝑔𝑦) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑓𝑦) = (𝑔𝑦) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
3833, 37sylibrd 259 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦‘0) ∈ 𝑋𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦)))
3924, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝑋m {0}) → ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦)))
4039impcom 409 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋m {0})) → (𝑓𝑦) = (𝑔𝑦))
4117, 20, 40eqfnfvd 6990 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 = 𝑔)
42413exp 1120 . . . . . . 7 (𝑋𝑉 → ((𝑓:(𝑋m {0})⟶𝑋𝑔:(𝑋m {0})⟶𝑋) → (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
4314, 42sylbid 239 . . . . . 6 (𝑋𝑉 → ((𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)) → (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
4443imp 408 . . . . 5 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (∀𝑥𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔))
4511, 44sylbid 239 . . . 4 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝑥𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 = 𝑔))
467, 45sylbid 239 . . 3 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
4746ralrimivva 3198 . 2 (𝑋𝑉 → ∀𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
48 dff13 7207 . 2 (𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)((𝐻𝑓) = (𝐻𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
492, 47, 48sylanbrc 584 1 (𝑋𝑉𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋m 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  Vcvv 3448  {csn 4591  cop 4597  cmpt 5193   Fn wfn 6496  wf 6497  1-1wf1 6498  cfv 6501  (class class class)co 7362  m cmap 8772  0cc0 11058  1c1 11059  -aryF cnaryf 46786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-naryf 46787
This theorem is referenced by:  1arymaptf1o  46804
  Copyright terms: Public domain W3C validator