Theorem 1arymaptf1 49861

Description: The mapping of unary (endo)functions is a one-to-one function into the set of endofunctions. (Contributed by AV, 19-May-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
1arymaptfv.h	⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))

Assertion

Ref	Expression
1arymaptf1	⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,ℎ,𝑋   ℎ,𝑉,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem 1arymaptf1

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1arymaptfv.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℎ ∈ (1-aryF 𝑋) ↦ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (ℎ‘{⟨0, 𝑥⟩})))
2	1	1arymaptf 49860	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋))
3	1	1arymaptfv 49859	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
4	3	ad2antrl 741	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑓) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})))
5	1	1arymaptfv 49859	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
6	5	ad2antll 742	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (𝐻‘𝑔) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
7	4, 6	eqeq12d 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}))))
8		fvex 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V
9	8	rgenw 3080	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V
10		mpteqb 7016	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) ∈ V → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
11	9, 10	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})))
12		1aryfvalel 49855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
13		1aryfvalel 49855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋) ↔ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋))
14	12, 13	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)) ↔ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋)))
15		ffn 6712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0}))
16	15	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0}))
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 Fn (𝑋 ↑m {0}))
18		ffn 6712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0}))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0}))
20	19	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑔 Fn (𝑋 ↑m {0}))
21		elmapi 8874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → 𝑦:{0}⟶𝑋)
22		c0ex 11305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ V
23	22	fsn2 7140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦:{0}⟶𝑋 ↔ ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
24	21, 23	sylib 221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
25		opeq2 4840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑦‘0) → ⟨0, 𝑥⟩ = ⟨0, (𝑦‘0)⟩)
26	25	sneqd 4592	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑦‘0) → {⟨0, 𝑥⟩} = {⟨0, (𝑦‘0)⟩})
27	26	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦‘0) → (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
28	26	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = (𝑦‘0) → (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
29	27, 28	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = (𝑦‘0) → ((𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
30	29	rspccv 3573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
31	30	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
32	31	com12 33	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦‘0) ∈ 𝑋 → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
34		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → (𝑓‘𝑦) = (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
35		fveq2 6888	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → (𝑔‘𝑦) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}))
36	34, 35	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩} → ((𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ↔ (𝑓‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩}) = (𝑔‘{⟨0, (𝑦‘0)⟩})))
38	33, 37	sylibrd 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦‘0) ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 = {⟨0, (𝑦‘0)⟩}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦)))
39	24, 38	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋 ↑m {0}) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦)))
40	39	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋 ↑m {0})) → (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦))
41	17, 20, 40	eqfnfvd 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 = 𝑔)
42	41	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋 ∧ 𝑔:(𝑋 ↑m {0})⟶𝑋) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
43	14, 42	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ((𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔)))
44	43	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩}) = (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩}) → 𝑓 = 𝑔))
45	11, 44	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓‘{⟨0, 𝑥⟩})) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝑔‘{⟨0, 𝑥⟩})) → 𝑓 = 𝑔))
46	7, 45	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋) ∧ 𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋))) → ((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
47	46	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ∀𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔))
48		dff13 7260	. 2 ⊢ (𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m 𝑋) ↔ (𝐻:(1-aryF 𝑋)⟶(𝑋 ↑m 𝑋) ∧ ∀𝑓 ∈ (1-aryF 𝑋)∀𝑔 ∈ (1-aryF 𝑋)((𝐻‘𝑓) = (𝐻‘𝑔) → 𝑓 = 𝑔)))
49	2, 47, 48	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → 𝐻:(1-aryF 𝑋)–1-1→(𝑋 ↑m 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  –1-1→wf1 6538  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ↑_m cmap 8852  0cc0 11205  1c1 11206  -aryF cnaryf 49845

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-er 8722  df-map 8854  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-n0 12612  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-naryf 49846

This theorem is used by:  1arymaptf1o  49863