MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval2 23220
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtval2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 18638 . . 3 ≤ ∈ TosetRel
2 ledm 18635 . . . 4 * = dom ≤
3 leordtval.1 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43leordtvallem1 23218 . . . 4 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
5 leordtval.2 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
63, 5leordtvallem2 23219 . . . 4 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
72, 4, 6ordtval 23197 . . 3 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
81, 7ax-mp 5 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
9 snex 5436 . . . . 5 {ℝ*} ∈ V
10 xrex 13029 . . . . . . 7 * ∈ V
1110pwex 5380 . . . . . 6 𝒫 ℝ* ∈ V
12 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
13 iocssxr 13471 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*
1410, 13elpwi2 5335 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
1612, 15fmpti 7132 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
17 frn 6743 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*
193, 18eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ 𝒫 ℝ*
20 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
21 icossxr 13472 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
2210, 21elpwi2 5335 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*)
2420, 23fmpti 7132 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
25 frn 6743 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*
275, 26eqsstri 4030 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ 𝒫 ℝ*
2819, 27unssi 4191 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝒫 ℝ*
2911, 28ssexi 5322 . . . . 5 (𝐴𝐵) ∈ V
309, 29unex 7764 . . . 4 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V
31 ssun2 4179 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))
32 fiss 9464 . . . 4 ((({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
3330, 31, 32mp2an 692 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))
34 fvex 6919 . . . . 5 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V
35 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (0(,]+∞) ∈ V
36 ovex 7464 . . . . . . . . . 10 (-∞[,)1) ∈ V
3735, 36unipr 4924 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
38 iocssxr 13471 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ⊆ ℝ*
39 icossxr 13472 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ⊆ ℝ*
4038, 39unssi 4191 . . . . . . . . . 10 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) ⊆ ℝ*
41 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
42 0xr 11308 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
43 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
44 mnflt0 13167 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
45 0lepnf 13175 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ +∞
46 df-icc 13394 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
47 df-ioc 13392 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
48 xrltnle 11328 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
49 xrletr 13200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 ≤ +∞) → 𝑤 ≤ +∞))
50 xrlttr 13182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
51 xrltle 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
52513adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
5350, 52syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ ≤ 𝑤))
5446, 47, 48, 46, 49, 53ixxun 13403 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ +∞)) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5544, 45, 54mpanr12 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5641, 42, 43, 55mp3an 1463 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
57 1xr 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
58 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
59 df-ico 13393 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
60 xrlelttr 13198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 < 1) → 𝑤 < 1))
6159, 46, 60ixxss2 13406 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1))
6257, 58, 61mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1)
63 unss1 4185 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
6556, 64eqsstrri 4031 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
66 iccmax 13463 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) = ℝ*
67 uncom 4158 . . . . . . . . . . 11 ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
6865, 66, 673sstr3i 4034 . . . . . . . . . 10 * ⊆ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
6940, 68eqssi 4000 . . . . . . . . 9 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) = ℝ*
7037, 69eqtri 2765 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
71 fvex 6919 . . . . . . . . 9 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V
72 ssun1 4178 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
73 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
74 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑥(,]+∞) = (0(,]+∞))
7574rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
7642, 73, 75mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞)
77 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(,]+∞) ∈ V
7812, 77elrnmpti 5973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
7976, 78mpbir 231 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
8079, 3eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ 𝐴
8172, 80sselii 3980 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵)
82 ssun2 4179 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
83 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
84 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)1))
8584rspceeqv 3645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
8657, 83, 85mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥)
87 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)𝑥) ∈ V
8820, 87elrnmpti 5973 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
8986, 88mpbir 231 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
9089, 5eleqtrri 2840 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)1) ∈ 𝐵
9182, 90sselii 3980 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)
92 prssi 4821 . . . . . . . . . . 11 (((0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵))
9381, 91, 92mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵)
94 ssfii 9459 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵)))
9529, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
9693, 95sstri 3993 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
97 eltg3i 22968 . . . . . . . . 9 (((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
9871, 96, 97mp2an 692 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
9970, 98eqeltrri 2838 . . . . . . 7 * ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
100 snssi 4808 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) → {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . 6 {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
102 bastg 22973 . . . . . . . 8 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10371, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
10495, 103sstri 3993 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
105101, 104unssi 4191 . . . . 5 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
106 fiss 9464 . . . . 5 (((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V ∧ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))))
10734, 105, 106mp2an 692 . . . 4 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
108 fibas 22984 . . . . 5 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases
109 tgcl 22976 . . . . 5 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top)
110 fitop 22906 . . . . 5 ((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top → (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
111108, 109, 110mp2b 10 . . . 4 (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
112107, 111sseqtri 4032 . . 3 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
113 2basgen 22997 . . 3 (((fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ∧ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
11433, 112, 113mp2an 692 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
1158, 114eqtr4i 2768 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  wss 3951  𝒫 cpw 4600  {csn 4626  {cpr 4628   cuni 4907   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  ficfi 9450  0cc0 11155  1c1 11156  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,]cioc 13388  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  topGenctg 17482  ordTopcordt 17544   TosetRel ctsr 18610  Topctop 22899  TopBasesctb 22952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  leordtval  23221  lecldbas  23227
  Copyright terms: Public domain W3C validator