MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval2 21976
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtval2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 17966 . . 3 ≤ ∈ TosetRel
2 ledm 17963 . . . 4 * = dom ≤
3 leordtval.1 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43leordtvallem1 21974 . . . 4 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
5 leordtval.2 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
63, 5leordtvallem2 21975 . . . 4 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
72, 4, 6ordtval 21953 . . 3 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
81, 7ax-mp 5 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
9 snex 5308 . . . . 5 {ℝ*} ∈ V
10 xrex 12482 . . . . . . 7 * ∈ V
1110pwex 5257 . . . . . 6 𝒫 ℝ* ∈ V
12 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
13 iocssxr 12918 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*
1410, 13elpwi2 5224 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
1612, 15fmpti 6899 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
17 frn 6522 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*
193, 18eqsstri 3921 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ 𝒫 ℝ*
20 eqid 2739 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
21 icossxr 12919 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
2210, 21elpwi2 5224 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*)
2420, 23fmpti 6899 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
25 frn 6522 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*
275, 26eqsstri 3921 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ 𝒫 ℝ*
2819, 27unssi 4085 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝒫 ℝ*
2911, 28ssexi 5200 . . . . 5 (𝐴𝐵) ∈ V
309, 29unex 7500 . . . 4 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V
31 ssun2 4073 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))
32 fiss 8974 . . . 4 ((({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
3330, 31, 32mp2an 692 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))
34 fvex 6700 . . . . 5 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V
35 ovex 7216 . . . . . . . . . 10 (0(,]+∞) ∈ V
36 ovex 7216 . . . . . . . . . 10 (-∞[,)1) ∈ V
3735, 36unipr 4824 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
38 iocssxr 12918 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ⊆ ℝ*
39 icossxr 12919 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ⊆ ℝ*
4038, 39unssi 4085 . . . . . . . . . 10 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) ⊆ ℝ*
41 mnfxr 10789 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
42 0xr 10779 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
43 pnfxr 10786 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
44 mnflt0 12616 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
45 0lepnf 12623 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ +∞
46 df-icc 12841 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
47 df-ioc 12839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
48 xrltnle 10799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
49 xrletr 12647 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 ≤ +∞) → 𝑤 ≤ +∞))
50 xrlttr 12629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
51 xrltle 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
52513adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
5350, 52syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ ≤ 𝑤))
5446, 47, 48, 46, 49, 53ixxun 12850 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ +∞)) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5544, 45, 54mpanr12 705 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5641, 42, 43, 55mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
57 1xr 10791 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
58 0lt1 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
59 df-ico 12840 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
60 xrlelttr 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 < 1) → 𝑤 < 1))
6159, 46, 60ixxss2 12853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1))
6257, 58, 61mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1)
63 unss1 4079 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
6556, 64eqsstrri 3922 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
66 iccmax 12910 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) = ℝ*
67 uncom 4053 . . . . . . . . . . 11 ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
6865, 66, 673sstr3i 3929 . . . . . . . . . 10 * ⊆ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
6940, 68eqssi 3903 . . . . . . . . 9 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) = ℝ*
7037, 69eqtri 2762 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
71 fvex 6700 . . . . . . . . 9 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V
72 ssun1 4072 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
73 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
74 oveq1 7190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑥(,]+∞) = (0(,]+∞))
7574rspceeqv 3544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
7642, 73, 75mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞)
77 ovex 7216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(,]+∞) ∈ V
7812, 77elrnmpti 5813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
7976, 78mpbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
8079, 3eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ 𝐴
8172, 80sselii 3884 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵)
82 ssun2 4073 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
83 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
84 oveq2 7191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)1))
8584rspceeqv 3544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
8657, 83, 85mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥)
87 ovex 7216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)𝑥) ∈ V
8820, 87elrnmpti 5813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
8986, 88mpbir 234 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
9089, 5eleqtrri 2833 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)1) ∈ 𝐵
9182, 90sselii 3884 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)
92 prssi 4719 . . . . . . . . . . 11 (((0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵))
9381, 91, 92mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵)
94 ssfii 8969 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵)))
9529, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
9693, 95sstri 3896 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
97 eltg3i 21725 . . . . . . . . 9 (((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
9871, 96, 97mp2an 692 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
9970, 98eqeltrri 2831 . . . . . . 7 * ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
100 snssi 4706 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) → {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . 6 {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
102 bastg 21730 . . . . . . . 8 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10371, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
10495, 103sstri 3896 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
105101, 104unssi 4085 . . . . 5 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
106 fiss 8974 . . . . 5 (((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V ∧ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))))
10734, 105, 106mp2an 692 . . . 4 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
108 fibas 21741 . . . . 5 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases
109 tgcl 21733 . . . . 5 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top)
110 fitop 21664 . . . . 5 ((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top → (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
111108, 109, 110mp2b 10 . . . 4 (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
112107, 111sseqtri 3923 . . 3 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
113 2basgen 21754 . . 3 (((fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ∧ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
11433, 112, 113mp2an 692 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
1158, 114eqtr4i 2765 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wrex 3055  Vcvv 3400  cun 3851  wss 3853  𝒫 cpw 4498  {csn 4526  {cpr 4528   cuni 4806   class class class wbr 5040  cmpt 5120  ran crn 5536  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7183  ficfi 8960  0cc0 10628  1c1 10629  +∞cpnf 10763  -∞cmnf 10764  *cxr 10765   < clt 10766  cle 10767  (,]cioc 12835  [,)cico 12836  [,]cicc 12837  topGenctg 16827  ordTopcordt 16888   TosetRel ctsr 17938  Topctop 21657  TopBasesctb 21709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-1o 8144  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-fin 8572  df-fi 8961  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-ioc 12839  df-ico 12840  df-icc 12841  df-topgen 16833  df-ordt 16890  df-ps 17939  df-tsr 17940  df-top 21658  df-bases 21710
This theorem is referenced by:  leordtval  21977  lecldbas  21983
  Copyright terms: Public domain W3C validator