MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leordtval2 21736
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
leordtval.2 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
Assertion
Ref Expression
leordtval2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))

Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 17829 . . 3 ≤ ∈ TosetRel
2 ledm 17826 . . . 4 * = dom ≤
3 leordtval.1 . . . . 5 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
43leordtvallem1 21734 . . . 4 𝐴 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑦𝑥})
5 leordtval.2 . . . . 5 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
63, 5leordtvallem2 21735 . . . 4 𝐵 = ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ ¬ 𝑥𝑦})
72, 4, 6ordtval 21713 . . 3 ( ≤ ∈ TosetRel → (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
81, 7ax-mp 5 . 2 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
9 snex 5327 . . . . 5 {ℝ*} ∈ V
10 xrex 12379 . . . . . . 7 * ∈ V
1110pwex 5277 . . . . . 6 𝒫 ℝ* ∈ V
12 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
13 iocssxr 12813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(,]+∞) ⊆ ℝ*
1410, 13elpwi2 5245 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (𝑥(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
1612, 15fmpti 6871 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
17 frn 6516 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ⊆ 𝒫 ℝ*
193, 18eqsstri 4004 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ 𝒫 ℝ*
20 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
21 icossxr 12814 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)𝑥) ⊆ ℝ*
2210, 21elpwi2 5245 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-∞[,)𝑥) ∈ 𝒫 ℝ*)
2420, 23fmpti 6871 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ*
25 frn 6516 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)):ℝ*⟶𝒫 ℝ* → ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ⊆ 𝒫 ℝ*
275, 26eqsstri 4004 . . . . . . 7 𝐵 ⊆ 𝒫 ℝ*
2819, 27unssi 4164 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ 𝒫 ℝ*
2911, 28ssexi 5222 . . . . 5 (𝐴𝐵) ∈ V
309, 29unex 7461 . . . 4 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V
31 ssun2 4152 . . . 4 (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))
32 fiss 8880 . . . 4 ((({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ∈ V ∧ (𝐴𝐵) ⊆ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
3330, 31, 32mp2an 688 . . 3 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))
34 fvex 6679 . . . . 5 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V
35 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 (0(,]+∞) ∈ V
36 ovex 7184 . . . . . . . . . 10 (-∞[,)1) ∈ V
3735, 36unipr 4849 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
38 iocssxr 12813 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ⊆ ℝ*
39 icossxr 12814 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ⊆ ℝ*
4038, 39unssi 4164 . . . . . . . . . 10 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) ⊆ ℝ*
41 mnfxr 10690 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
42 0xr 10680 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
43 pnfxr 10687 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
44 mnflt0 12513 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
45 0lepnf 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ +∞
46 df-icc 12738 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
47 df-ioc 12736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
48 xrltnle 10700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (0 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 0))
49 xrletr 12544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 ≤ +∞) → 𝑤 ≤ +∞))
50 xrlttr 12526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
51 xrltle 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
52513adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (-∞ < 𝑤 → -∞ ≤ 𝑤))
5350, 52syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑤) → -∞ ≤ 𝑤))
5446, 47, 48, 46, 49, 53ixxun 12747 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≤ +∞)) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5544, 45, 54mpanr12 701 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5641, 42, 43, 55mp3an 1454 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
57 1xr 10692 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
58 0lt1 11154 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
59 df-ico 12737 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
60 xrlelttr 12542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 0 ∧ 0 < 1) → 𝑤 < 1))
6159, 46, 60ixxss2 12750 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1))
6257, 58, 61mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1)
63 unss1 4158 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞[,]0) ⊆ (-∞[,)1) → ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) ∪ (0(,]+∞)) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
6556, 64eqsstrri 4005 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) ⊆ ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞))
66 iccmax 12805 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) = ℝ*
67 uncom 4132 . . . . . . . . . . 11 ((-∞[,)1) ∪ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
6865, 66, 673sstr3i 4012 . . . . . . . . . 10 * ⊆ ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1))
6940, 68eqssi 3986 . . . . . . . . 9 ((0(,]+∞) ∪ (-∞[,)1)) = ℝ*
7037, 69eqtri 2848 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
71 fvex 6679 . . . . . . . . 9 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V
72 ssun1 4151 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
73 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
74 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (𝑥(,]+∞) = (0(,]+∞))
7574rspceeqv 3641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
7642, 73, 75mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞)
77 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥(,]+∞) ∈ V
7812, 77elrnmpti 5830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (𝑥(,]+∞))
7976, 78mpbir 232 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (𝑥(,]+∞))
8079, 3eleqtrri 2916 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ 𝐴
8172, 80sselii 3967 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵)
82 ssun2 4152 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
83 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
84 oveq2 7159 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 1 → (-∞[,)𝑥) = (-∞[,)1))
8584rspceeqv 3641 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
8657, 83, 85mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥)
87 ovex 7184 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)𝑥) ∈ V
8820, 87elrnmpti 5830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)𝑥))
8986, 88mpbir 232 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,)1) ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)𝑥))
9089, 5eleqtrri 2916 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)1) ∈ 𝐵
9182, 90sselii 3967 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)
92 prssi 4752 . . . . . . . . . . 11 (((0(,]+∞) ∈ (𝐴𝐵) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴𝐵)) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵))
9381, 91, 92mp2an 688 . . . . . . . . . 10 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (𝐴𝐵)
94 ssfii 8875 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵) ∈ V → (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵)))
9529, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝐵) ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
9693, 95sstri 3979 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))
97 eltg3i 21485 . . . . . . . . 9 (((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ⊆ (fi‘(𝐴𝐵))) → {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
9871, 96, 97mp2an 688 . . . . . . . 8 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
9970, 98eqeltrri 2914 . . . . . . 7 * ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
100 snssi 4739 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) → {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . 6 {ℝ*} ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
102 bastg 21490 . . . . . . . 8 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ V → (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
10371, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 (fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
10495, 103sstri 3979 . . . . . 6 (𝐴𝐵) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
105101, 104unssi 4164 . . . . 5 ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
106 fiss 8880 . . . . 5 (((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ V ∧ ({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))))
10734, 105, 106mp2an 688 . . . 4 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
108 fibas 21501 . . . . 5 (fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases
109 tgcl 21493 . . . . 5 ((fi‘(𝐴𝐵)) ∈ TopBases → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top)
110 fitop 21424 . . . . 5 ((topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) ∈ Top → (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))))
111108, 109, 110mp2b 10 . . . 4 (fi‘(topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
112107, 111sseqtri 4006 . . 3 (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
113 2basgen 21514 . . 3 (((fi‘(𝐴𝐵)) ⊆ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ∧ (fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))) ⊆ (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))) → (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵)))))
11433, 112, 113mp2an 688 . 2 (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵))) = (topGen‘(fi‘({ℝ*} ∪ (𝐴𝐵))))
1158, 114eqtr4i 2851 1 (ordTop‘ ≤ ) = (topGen‘(fi‘(𝐴𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wrex 3143  Vcvv 3499  cun 3937  wss 3939  𝒫 cpw 4541  {csn 4563  {cpr 4565   cuni 4836   class class class wbr 5062  cmpt 5142  ran crn 5554  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  ficfi 8866  0cc0 10529  1c1 10530  +∞cpnf 10664  -∞cmnf 10665  *cxr 10666   < clt 10667  cle 10668  (,]cioc 12732  [,)cico 12733  [,]cicc 12734  topGenctg 16703  ordTopcordt 16764   TosetRel ctsr 17801  Topctop 21417  TopBasesctb 21469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fi 8867  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-ioc 12736  df-ico 12737  df-icc 12738  df-topgen 16709  df-ordt 16766  df-ps 17802  df-tsr 17803  df-top 21418  df-bases 21470
This theorem is referenced by:  leordtval  21737  lecldbas  21743
  Copyright terms: Public domain W3C validator