MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem leordtval2 22715
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
leordtval.2 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
Assertion
Ref Expression
leordtval2 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 18545 . . 3 ≀ ∈ TosetRel
2 ledm 18542 . . . 4 ℝ* = dom ≀
3 leordtval.1 . . . . 5 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
43leordtvallem1 22713 . . . 4 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})
5 leordtval.2 . . . . 5 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
63, 5leordtvallem2 22714 . . . 4 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})
72, 4, 6ordtval 22692 . . 3 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
81, 7ax-mp 5 . 2 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
9 snex 5431 . . . . 5 {ℝ*} ∈ V
10 xrex 12970 . . . . . . 7 ℝ* ∈ V
1110pwex 5378 . . . . . 6 𝒫 ℝ* ∈ V
12 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) = (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
13 iocssxr 13407 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯(,]+∞) βŠ† ℝ*
1410, 13elpwi2 5346 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (π‘₯(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
1612, 15fmpti 7111 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)):ℝ*βŸΆπ’« ℝ*
17 frn 6724 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)):ℝ*βŸΆπ’« ℝ* β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βŠ† 𝒫 ℝ*)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βŠ† 𝒫 ℝ*
193, 18eqsstri 4016 . . . . . . 7 𝐴 βŠ† 𝒫 ℝ*
20 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
21 icossxr 13408 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)π‘₯) βŠ† ℝ*
2210, 21elpwi2 5346 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (-∞[,)π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ*)
2420, 23fmpti 7111 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)):ℝ*βŸΆπ’« ℝ*
25 frn 6724 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)):ℝ*βŸΆπ’« ℝ* β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) βŠ† 𝒫 ℝ*)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) βŠ† 𝒫 ℝ*
275, 26eqsstri 4016 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† 𝒫 ℝ*
2819, 27unssi 4185 . . . . . 6 (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† 𝒫 ℝ*
2911, 28ssexi 5322 . . . . 5 (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V
309, 29unex 7732 . . . 4 ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V
31 ssun2 4173 . . . 4 (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
32 fiss 9418 . . . 4 ((({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V ∧ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
3330, 31, 32mp2an 690 . . 3 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
34 fvex 6904 . . . . 5 (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∈ V
35 ovex 7441 . . . . . . . . . 10 (0(,]+∞) ∈ V
36 ovex 7441 . . . . . . . . . 10 (-∞[,)1) ∈ V
3735, 36unipr 4926 . . . . . . . . 9 βˆͺ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1))
38 iocssxr 13407 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) βŠ† ℝ*
39 icossxr 13408 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) βŠ† ℝ*
4038, 39unssi 4185 . . . . . . . . . 10 ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1)) βŠ† ℝ*
41 mnfxr 11270 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
42 0xr 11260 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
43 pnfxr 11267 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
44 mnflt0 13104 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
45 0lepnf 13111 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ +∞
46 df-icc 13330 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
47 df-ioc 13328 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
48 xrltnle 11280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ 0))
49 xrletr 13136 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀 ≀ 0 ∧ 0 ≀ +∞) β†’ 𝑀 ≀ +∞))
50 xrlttr 13118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑀) β†’ -∞ < 𝑀))
51 xrltle 13127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < 𝑀 β†’ -∞ ≀ 𝑀))
52513adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < 𝑀 β†’ -∞ ≀ 𝑀))
5350, 52syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑀) β†’ -∞ ≀ 𝑀))
5446, 47, 48, 46, 49, 53ixxun 13339 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≀ +∞)) β†’ ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5544, 45, 54mpanr12 703 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5641, 42, 43, 55mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
57 1xr 11272 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
58 0lt1 11735 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
59 df-ico 13329 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
60 xrlelttr 13134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀 ≀ 0 ∧ 0 < 1) β†’ 𝑀 < 1))
6159, 46, 60ixxss2 13342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) β†’ (-∞[,]0) βŠ† (-∞[,)1))
6257, 58, 61mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,]0) βŠ† (-∞[,)1)
63 unss1 4179 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞[,]0) βŠ† (-∞[,)1) β†’ ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) βŠ† ((-∞[,)1) βˆͺ (0(,]+∞)))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) βŠ† ((-∞[,)1) βˆͺ (0(,]+∞))
6556, 64eqsstrri 4017 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) βŠ† ((-∞[,)1) βˆͺ (0(,]+∞))
66 iccmax 13399 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) = ℝ*
67 uncom 4153 . . . . . . . . . . 11 ((-∞[,)1) βˆͺ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1))
6865, 66, 673sstr3i 4024 . . . . . . . . . 10 ℝ* βŠ† ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1))
6940, 68eqssi 3998 . . . . . . . . 9 ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1)) = ℝ*
7037, 69eqtri 2760 . . . . . . . 8 βˆͺ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
71 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V
72 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
73 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
74 oveq1 7415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯(,]+∞) = (0(,]+∞))
7574rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (π‘₯(,]+∞))
7642, 73, 75mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (π‘₯(,]+∞)
77 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(,]+∞) ∈ V
7812, 77elrnmpti 5959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0(,]+∞) ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (π‘₯(,]+∞))
7976, 78mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
8079, 3eleqtrri 2832 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ 𝐴
8172, 80sselii 3979 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)
82 ssun2 4173 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
83 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
84 oveq2 7416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ (-∞[,)π‘₯) = (-∞[,)1))
8584rspceeqv 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)π‘₯))
8657, 83, 85mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)π‘₯)
87 ovex 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)π‘₯) ∈ V
8820, 87elrnmpti 5959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞[,)1) ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)π‘₯))
8986, 88mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,)1) ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
9089, 5eleqtrri 2832 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)1) ∈ 𝐡
9182, 90sselii 3979 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)
92 prssi 4824 . . . . . . . . . . 11 (((0(,]+∞) ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) β†’ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡))
9381, 91, 92mp2an 690 . . . . . . . . . 10 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
94 ssfii 9413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
9529, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
9693, 95sstri 3991 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} βŠ† (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
97 eltg3i 22463 . . . . . . . . 9 (((fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} βŠ† (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ βˆͺ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
9871, 96, 97mp2an 690 . . . . . . . 8 βˆͺ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
9970, 98eqeltrri 2830 . . . . . . 7 ℝ* ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
100 snssi 4811 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ {ℝ*} βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . 6 {ℝ*} βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
102 bastg 22468 . . . . . . . 8 ((fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V β†’ (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
10371, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
10495, 103sstri 3991 . . . . . 6 (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
105101, 104unssi 4185 . . . . 5 ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
106 fiss 9418 . . . . 5 (((topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∈ V ∧ ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))) β†’ (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) βŠ† (fiβ€˜(topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
10734, 105, 106mp2an 690 . . . 4 (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) βŠ† (fiβ€˜(topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
108 fibas 22479 . . . . 5 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ TopBases
109 tgcl 22471 . . . . 5 ((fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∈ Top)
110 fitop 22401 . . . . 5 ((topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∈ Top β†’ (fiβ€˜(topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
111108, 109, 110mp2b 10 . . . 4 (fiβ€˜(topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
112107, 111sseqtri 4018 . . 3 (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
113 2basgen 22492 . . 3 (((fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∧ (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
11433, 112, 113mp2an 690 . 2 (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
1158, 114eqtr4i 2763 1 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  {csn 4628  {cpr 4630  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  ficfi 9404  0cc0 11109  1c1 11110  +∞cpnf 11244  -∞cmnf 11245  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  (,]cioc 13324  [,)cico 13325  [,]cicc 13326  topGenctg 17382  ordTopcordt 17444   TosetRel ctsr 18517  Topctop 22394  TopBasesctb 22447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fi 9405  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-topgen 17388  df-ordt 17446  df-ps 18518  df-tsr 18519  df-top 22395  df-bases 22448
This theorem is referenced by:  leordtval  22716  lecldbas  22722
  Copyright terms: Public domain W3C validator