MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leordtval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem leordtval2 22937
Description: The topology of the extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
leordtval.1 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
leordtval.2 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
Assertion
Ref Expression
leordtval2 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
Proof of Theorem leordtval2
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 letsr 18551 . . 3 ≀ ∈ TosetRel
2 ledm 18548 . . . 4 ℝ* = dom ≀
3 leordtval.1 . . . . 5 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
43leordtvallem1 22935 . . . 4 𝐴 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ Β¬ 𝑦 ≀ π‘₯})
5 leordtval.2 . . . . 5 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
63, 5leordtvallem2 22936 . . . 4 𝐡 = ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ {𝑦 ∈ ℝ* ∣ Β¬ π‘₯ ≀ 𝑦})
72, 4, 6ordtval 22914 . . 3 ( ≀ ∈ TosetRel β†’ (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
81, 7ax-mp 5 . 2 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
9 snex 5432 . . . . 5 {ℝ*} ∈ V
10 xrex 12976 . . . . . . 7 ℝ* ∈ V
1110pwex 5379 . . . . . 6 𝒫 ℝ* ∈ V
12 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) = (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
13 iocssxr 13413 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯(,]+∞) βŠ† ℝ*
1410, 13elpwi2 5347 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*
1514a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (π‘₯(,]+∞) ∈ 𝒫 ℝ*)
1612, 15fmpti 7114 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)):ℝ*βŸΆπ’« ℝ*
17 frn 6725 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)):ℝ*βŸΆπ’« ℝ* β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βŠ† 𝒫 ℝ*)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) βŠ† 𝒫 ℝ*
193, 18eqsstri 4017 . . . . . . 7 𝐴 βŠ† 𝒫 ℝ*
20 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
21 icossxr 13414 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)π‘₯) βŠ† ℝ*
2210, 21elpwi2 5347 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ* β†’ (-∞[,)π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ*)
2420, 23fmpti 7114 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)):ℝ*βŸΆπ’« ℝ*
25 frn 6725 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)):ℝ*βŸΆπ’« ℝ* β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) βŠ† 𝒫 ℝ*)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) βŠ† 𝒫 ℝ*
275, 26eqsstri 4017 . . . . . . 7 𝐡 βŠ† 𝒫 ℝ*
2819, 27unssi 4186 . . . . . 6 (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† 𝒫 ℝ*
2911, 28ssexi 5323 . . . . 5 (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V
309, 29unex 7736 . . . 4 ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V
31 ssun2 4174 . . . 4 (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))
32 fiss 9422 . . . 4 ((({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V ∧ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
3330, 31, 32mp2an 689 . . 3 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))
34 fvex 6905 . . . . 5 (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∈ V
35 ovex 7445 . . . . . . . . . 10 (0(,]+∞) ∈ V
36 ovex 7445 . . . . . . . . . 10 (-∞[,)1) ∈ V
3735, 36unipr 4927 . . . . . . . . 9 βˆͺ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1))
38 iocssxr 13413 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) βŠ† ℝ*
39 icossxr 13414 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) βŠ† ℝ*
4038, 39unssi 4186 . . . . . . . . . 10 ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1)) βŠ† ℝ*
41 mnfxr 11276 . . . . . . . . . . . . 13 -∞ ∈ ℝ*
42 0xr 11266 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ*
43 pnfxr 11273 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
44 mnflt0 13110 . . . . . . . . . . . . . 14 -∞ < 0
45 0lepnf 13117 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ +∞
46 df-icc 13336 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
47 df-ioc 13334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
48 xrltnle 11286 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (0 < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ 0))
49 xrletr 13142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀 ≀ 0 ∧ 0 ≀ +∞) β†’ 𝑀 ≀ +∞))
50 xrlttr 13124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑀) β†’ -∞ < 𝑀))
51 xrltle 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < 𝑀 β†’ -∞ ≀ 𝑀))
52513adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (-∞ < 𝑀 β†’ -∞ ≀ 𝑀))
5350, 52syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 0 ∧ 0 < 𝑀) β†’ -∞ ≀ 𝑀))
5446, 47, 48, 46, 49, 53ixxun 13345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ 0 ≀ +∞)) β†’ ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5544, 45, 54mpanr12 702 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞))
5641, 42, 43, 55mp3an 1460 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) = (-∞[,]+∞)
57 1xr 11278 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ*
58 0lt1 11741 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 1
59 df-ico 13335 . . . . . . . . . . . . . . 15 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
60 xrlelttr 13140 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀 ≀ 0 ∧ 0 < 1) β†’ 𝑀 < 1))
6159, 46, 60ixxss2 13348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) β†’ (-∞[,]0) βŠ† (-∞[,)1))
6257, 58, 61mp2an 689 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,]0) βŠ† (-∞[,)1)
63 unss1 4180 . . . . . . . . . . . . 13 ((-∞[,]0) βŠ† (-∞[,)1) β†’ ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) βŠ† ((-∞[,)1) βˆͺ (0(,]+∞)))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞[,]0) βˆͺ (0(,]+∞)) βŠ† ((-∞[,)1) βˆͺ (0(,]+∞))
6556, 64eqsstrri 4018 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) βŠ† ((-∞[,)1) βˆͺ (0(,]+∞))
66 iccmax 13405 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,]+∞) = ℝ*
67 uncom 4154 . . . . . . . . . . 11 ((-∞[,)1) βˆͺ (0(,]+∞)) = ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1))
6865, 66, 673sstr3i 4025 . . . . . . . . . 10 ℝ* βŠ† ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1))
6940, 68eqssi 3999 . . . . . . . . 9 ((0(,]+∞) βˆͺ (-∞[,)1)) = ℝ*
7037, 69eqtri 2759 . . . . . . . 8 βˆͺ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} = ℝ*
71 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V
72 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
73 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(,]+∞) = (0(,]+∞)
74 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯(,]+∞) = (0(,]+∞))
7574rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ* ∧ (0(,]+∞) = (0(,]+∞)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (π‘₯(,]+∞))
7642, 73, 75mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (π‘₯(,]+∞)
77 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯(,]+∞) ∈ V
7812, 77elrnmpti 5960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0(,]+∞) ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (0(,]+∞) = (π‘₯(,]+∞))
7976, 78mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,]+∞) ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (π‘₯(,]+∞))
8079, 3eleqtrri 2831 . . . . . . . . . . . 12 (0(,]+∞) ∈ 𝐴
8172, 80sselii 3980 . . . . . . . . . . 11 (0(,]+∞) ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)
82 ssun2 4174 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
83 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)1) = (-∞[,)1)
84 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 1 β†’ (-∞[,)π‘₯) = (-∞[,)1))
8584rspceeqv 3634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℝ* ∧ (-∞[,)1) = (-∞[,)1)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)π‘₯))
8657, 83, 85mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)π‘₯)
87 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-∞[,)π‘₯) ∈ V
8820, 87elrnmpti 5960 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-∞[,)1) ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯)) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ* (-∞[,)1) = (-∞[,)π‘₯))
8986, 88mpbir 230 . . . . . . . . . . . . 13 (-∞[,)1) ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ* ↦ (-∞[,)π‘₯))
9089, 5eleqtrri 2831 . . . . . . . . . . . 12 (-∞[,)1) ∈ 𝐡
9182, 90sselii 3980 . . . . . . . . . . 11 (-∞[,)1) ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)
92 prssi 4825 . . . . . . . . . . 11 (((0(,]+∞) ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡) ∧ (-∞[,)1) ∈ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) β†’ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡))
9381, 91, 92mp2an 689 . . . . . . . . . 10 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} βŠ† (𝐴 βˆͺ 𝐡)
94 ssfii 9417 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 βˆͺ 𝐡) ∈ V β†’ (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
9529, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
9693, 95sstri 3992 . . . . . . . . 9 {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} βŠ† (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))
97 eltg3i 22685 . . . . . . . . 9 (((fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V ∧ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} βŠ† (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ βˆͺ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
9871, 96, 97mp2an 689 . . . . . . . 8 βˆͺ {(0(,]+∞), (-∞[,)1)} ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
9970, 98eqeltrri 2829 . . . . . . 7 ℝ* ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
100 snssi 4812 . . . . . . 7 (ℝ* ∈ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) β†’ {ℝ*} βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
10199, 100ax-mp 5 . . . . . 6 {ℝ*} βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
102 bastg 22690 . . . . . . . 8 ((fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ V β†’ (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
10371, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
10495, 103sstri 3992 . . . . . 6 (𝐴 βˆͺ 𝐡) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
105101, 104unssi 4186 . . . . 5 ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
106 fiss 9422 . . . . 5 (((topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∈ V ∧ ({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))) β†’ (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) βŠ† (fiβ€˜(topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
10734, 105, 106mp2an 689 . . . 4 (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) βŠ† (fiβ€˜(topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
108 fibas 22701 . . . . 5 (fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ TopBases
109 tgcl 22693 . . . . 5 ((fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) ∈ TopBases β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∈ Top)
110 fitop 22623 . . . . 5 ((topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∈ Top β†’ (fiβ€˜(topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))))
111108, 109, 110mp2b 10 . . . 4 (fiβ€˜(topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
112107, 111sseqtri 4019 . . 3 (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
113 2basgen 22714 . . 3 (((fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)) βŠ† (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) ∧ (fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))) βŠ† (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡)))))
11433, 112, 113mp2an 689 . 2 (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡))) = (topGenβ€˜(fiβ€˜({ℝ*} βˆͺ (𝐴 βˆͺ 𝐡))))
1158, 114eqtr4i 2762 1 (ordTopβ€˜ ≀ ) = (topGenβ€˜(fiβ€˜(𝐴 βˆͺ 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629  {cpr 4631  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  ficfi 9408  0cc0 11113  1c1 11114  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  (,]cioc 13330  [,)cico 13331  [,]cicc 13332  topGenctg 17388  ordTopcordt 17450   TosetRel ctsr 18523  Topctop 22616  TopBasesctb 22669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-topgen 17394  df-ordt 17452  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-top 22617  df-bases 22670
This theorem is referenced by:  leordtval  22938  lecldbas  22944
  Copyright terms: Public domain W3C validator