Theorem 2ndcsb 23773

Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcsb	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Proof of Theorem 2ndcsb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23770	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)))
3		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ≼ ω)
4		ssfii 9415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (fi‘𝑥))
5		fvex 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘𝑥) ∈ V
6		bastg 23290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
7	6	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
8		fiss 9420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘𝑥) ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
9	5, 7, 8	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
10		tgcl 23293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
12		fitop 23224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝑥) ∈ Top → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
13	11, 12	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
14	9, 13	sseqtrd 3944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥))
15		2basgen 23314	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ (fi‘𝑥) ∧ (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
16	4, 14, 15	syl2an2r 698	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
17		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = 𝐽)
18	16, 17	eqtr3d 2797	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
19	3, 18	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
20	19	eximi 1867	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
21	2, 20	sylbi 220	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
22	1, 21	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
23		fibas 23301	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝑥) ∈ TopBases
24		fictb 10326	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
25	24	elv 3455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω)
26	25	birani 509	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (fi‘𝑥) ≼ ω)
27		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
28	26, 27	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
29		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
30		fveqeq2 6895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((topGen‘𝑦) = 𝐽 ↔ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
31	29, 30	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽) ↔ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)))
32	31	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((fi‘𝑥) ∈ TopBases ∧ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
33	23, 28, 32	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
34		is2ndc 23770	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
35	33, 34	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
36	35	exlimiv 1962	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
37	22, 36	impbii 212	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ‘cfv 6539  ωcom 7878   ≼ cdom 8975  ficfi 9406  topGenctg 17614  Topctop 23217  TopBasesctb 23269  2^ndωc2ndc 23762

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fi 9407  df-dju 9986  df-card 10024  df-acn 10027  df-topgen 17620  df-top 23218  df-bases 23270  df-2ndc 23764

This theorem is used by: (None)