Theorem 2ndcsb 22508

Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcsb	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Proof of Theorem 2ndcsb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 22505	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		df-rex 3069	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)))
3		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ≼ ω)
4		ssfii 9108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (fi‘𝑥))
5		fvex 6769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘𝑥) ∈ V
6		bastg 22024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
8		fiss 9113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘𝑥) ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
9	5, 7, 8	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
10		tgcl 22027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
12		fitop 21957	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝑥) ∈ Top → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
14	9, 13	sseqtrd 3957	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥))
15		2basgen 22048	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ (fi‘𝑥) ∧ (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
16	4, 14, 15	syl2an2r 681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
17		simprr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = 𝐽)
18	16, 17	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
19	3, 18	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
20	19	eximi 1838	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
21	2, 20	sylbi 216	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
22	1, 21	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
23		fibas 22035	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝑥) ∈ TopBases
24		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝑥 ≼ ω)
25		fictb 9932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
26	25	elv 3428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω)
27	24, 26	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (fi‘𝑥) ≼ ω)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
29	27, 28	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
30		breq1 5073	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
31		fveqeq2 6765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((topGen‘𝑦) = 𝐽 ↔ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
32	30, 31	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽) ↔ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)))
33	32	rspcev 3552	. . . . 5 ⊢ (((fi‘𝑥) ∈ TopBases ∧ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
34	23, 29, 33	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
35		is2ndc 22505	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
36	34, 35	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
37	36	exlimiv 1934	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
38	22, 37	impbii 208	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  ficfi 9099  topGenctg 17065  Topctop 21950  TopBasesctb 22003  2^ndωc2ndc 22497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fi 9100  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-topgen 17071  df-top 21951  df-bases 22004  df-2ndc 22499

This theorem is referenced by: (None)