Theorem 2ndcsb 23458

Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcsb	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Proof of Theorem 2ndcsb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23455	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		df-rex 3070	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)))
3		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ≼ ω)
4		ssfii 9460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (fi‘𝑥))
5		fvex 6918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘𝑥) ∈ V
6		bastg 22974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
8		fiss 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘𝑥) ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
10		tgcl 22977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
12		fitop 22907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝑥) ∈ Top → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
14	9, 13	sseqtrd 4019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥))
15		2basgen 22998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ (fi‘𝑥) ∧ (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
16	4, 14, 15	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
17		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = 𝐽)
18	16, 17	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
19	3, 18	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
20	19	eximi 1834	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
21	2, 20	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
22	1, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
23		fibas 22985	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝑥) ∈ TopBases
24		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝑥 ≼ ω)
25		fictb 10285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
26	25	elv 3484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω)
27	24, 26	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (fi‘𝑥) ≼ ω)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
29	27, 28	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
30		breq1 5145	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
31		fveqeq2 6914	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((topGen‘𝑦) = 𝐽 ↔ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
32	30, 31	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽) ↔ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)))
33	32	rspcev 3621	. . . . 5 ⊢ (((fi‘𝑥) ∈ TopBases ∧ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
34	23, 29, 33	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
35		is2ndc 23455	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
36	34, 35	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
37	36	exlimiv 1929	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
38	22, 37	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069  Vcvv 3479   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  ωcom 7888   ≼ cdom 8984  ficfi 9451  topGenctg 17483  Topctop 22900  TopBasesctb 22953  2^ndωc2ndc 23447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-topgen 17489  df-top 22901  df-bases 22954  df-2ndc 23449

This theorem is referenced by: (None)