Theorem 2ndcsb 23393

Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcsb	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Proof of Theorem 2ndcsb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23390	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		df-rex 3061	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)))
3		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ≼ ω)
4		ssfii 9322	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (fi‘𝑥))
5		fvex 6847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘𝑥) ∈ V
6		bastg 22910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
8		fiss 9327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘𝑥) ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
9	5, 7, 8	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
10		tgcl 22913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
12		fitop 22844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝑥) ∈ Top → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
14	9, 13	sseqtrd 3970	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥))
15		2basgen 22934	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ (fi‘𝑥) ∧ (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
16	4, 14, 15	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
17		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = 𝐽)
18	16, 17	eqtr3d 2773	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
19	3, 18	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
20	19	eximi 1836	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
21	2, 20	sylbi 217	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
22	1, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
23		fibas 22921	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝑥) ∈ TopBases
24		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝑥 ≼ ω)
25		fictb 10154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
26	25	elv 3445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω)
27	24, 26	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (fi‘𝑥) ≼ ω)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
29	27, 28	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
30		breq1 5101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
31		fveqeq2 6843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((topGen‘𝑦) = 𝐽 ↔ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
32	30, 31	anbi12d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽) ↔ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)))
33	32	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((fi‘𝑥) ∈ TopBases ∧ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
34	23, 29, 33	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
35		is2ndc 23390	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
36	34, 35	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
37	36	exlimiv 1931	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
38	22, 37	impbii 209	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  ωcom 7808   ≼ cdom 8881  ficfi 9313  topGenctg 17357  Topctop 22837  TopBasesctb 22889  2^ndωc2ndc 23382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9314  df-dju 9813  df-card 9851  df-acn 9854  df-topgen 17363  df-top 22838  df-bases 22890  df-2ndc 23384

This theorem is referenced by: (None)