MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2ndcsb 21776
Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcsb (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Proof of Theorem 2ndcsb
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 21773 . . 3 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2 df-rex 3087 . . . 4 (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)))
3 simprl 759 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ≼ ω)
4 ssfii 8676 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (fi‘𝑥))
5 fvex 6509 . . . . . . . . . 10 (topGen‘𝑥) ∈ V
6 bastg 21293 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
76adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
8 fiss 8681 . . . . . . . . . 10 (((topGen‘𝑥) ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
95, 7, 8sylancr 579 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
10 tgcl 21296 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
1110adantr 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
12 fitop 21227 . . . . . . . . . 10 ((topGen‘𝑥) ∈ Top → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
149, 13sseqtrd 3890 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥))
15 2basgen 21317 . . . . . . . 8 ((𝑥 ⊆ (fi‘𝑥) ∧ (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
164, 14, 15syl2an2r 673 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
17 simprr 761 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = 𝐽)
1816, 17eqtr3d 2809 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
193, 18jca 504 . . . . 5 ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
2019eximi 1798 . . . 4 (∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
212, 20sylbi 209 . . 3 (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
221, 21sylbi 209 . 2 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
23 fibas 21304 . . . . 5 (fi‘𝑥) ∈ TopBases
24 simpl 475 . . . . . . 7 ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝑥 ≼ ω)
25 fictb 9463 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
2625elv 3413 . . . . . . 7 (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω)
2724, 26sylib 210 . . . . . 6 ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (fi‘𝑥) ≼ ω)
28 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
2927, 28jca 504 . . . . 5 ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
30 breq1 4928 . . . . . . 7 (𝑦 = (fi‘𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
31 fveqeq2 6505 . . . . . . 7 (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((topGen‘𝑦) = 𝐽 ↔ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
3230, 31anbi12d 622 . . . . . 6 (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽) ↔ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)))
3332rspcev 3528 . . . . 5 (((fi‘𝑥) ∈ TopBases ∧ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
3423, 29, 33sylancr 579 . . . 4 ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
35 is2ndc 21773 . . . 4 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
3634, 35sylibr 226 . . 3 ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔)
3736exlimiv 1890 . 2 (∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2nd𝜔)
3822, 37impbii 201 1 (𝐽 ∈ 2nd𝜔 ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wex 1743  wcel 2051  wrex 3082  Vcvv 3408  wss 3822   class class class wbr 4925  cfv 6185  ωcom 7394  cdom 8302  ficfi 8667  topGenctg 16565  Topctop 21220  TopBasesctb 21272  2nd𝜔c2ndc 21765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fi 8668  df-dju 9122  df-card 9160  df-acn 9163  df-topgen 16571  df-top 21221  df-bases 21273  df-2ndc 21767
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator