Theorem 2ndcsb 23297

Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcsb	⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Distinct variable group:   𝑥,𝐽

Proof of Theorem 2ndcsb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		is2ndc 23294	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽))
2		df-rex 3063	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)))
3		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ≼ ω)
4		ssfii 9411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (fi‘𝑥))
5		fvex 6895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘𝑥) ∈ V
6		bastg 22813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥))
8		fiss 9416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((topGen‘𝑥) ∈ V ∧ 𝑥 ⊆ (topGen‘𝑥)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
9	5, 7, 8	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (fi‘(topGen‘𝑥)))
10		tgcl 22816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ TopBases → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) ∈ Top)
12		fitop 22746	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘𝑥) ∈ Top → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘(topGen‘𝑥)) = (topGen‘𝑥))
14	9, 13	sseqtrd 4015	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥))
15		2basgen 22837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ⊆ (fi‘𝑥) ∧ (fi‘𝑥) ⊆ (topGen‘𝑥)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
16	4, 14, 15	syl2an2r 682	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = (topGen‘(fi‘𝑥)))
17		simprr 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘𝑥) = 𝐽)
18	16, 17	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
19	3, 18	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
20	19	eximi 1829	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ∈ TopBases ∧ (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽)) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
21	2, 20	sylbi 216	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ TopBases (𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑥) = 𝐽) → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
22	1, 21	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
23		fibas 22824	. . . . 5 ⊢ (fi‘𝑥) ∈ TopBases
24		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝑥 ≼ ω)
25		fictb 10237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
26	25	elv 3472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω)
27	24, 26	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (fi‘𝑥) ≼ ω)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)
29	27, 28	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
30		breq1 5142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → (𝑦 ≼ ω ↔ (fi‘𝑥) ≼ ω))
31		fveqeq2 6891	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((topGen‘𝑦) = 𝐽 ↔ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))
32	30, 31	anbi12d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (fi‘𝑥) → ((𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽) ↔ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)))
33	32	rspcev 3604	. . . . 5 ⊢ (((fi‘𝑥) ∈ TopBases ∧ ((fi‘𝑥) ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽)) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
34	23, 29, 33	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
35		is2ndc 23294	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑦 ∈ TopBases (𝑦 ≼ ω ∧ (topGen‘𝑦) = 𝐽))
36	34, 35	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
37	36	exlimiv 1925	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽) → 𝐽 ∈ 2ndω)
38	22, 37	impbii 208	1 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω ↔ ∃𝑥(𝑥 ≼ ω ∧ (topGen‘(fi‘𝑥)) = 𝐽))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3062  Vcvv 3466   ⊆ wss 3941   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  ωcom 7849   ≼ cdom 8934  ficfi 9402  topGenctg 17388  Topctop 22739  TopBasesctb 22792  2^ndωc2ndc 23286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-topgen 17394  df-top 22740  df-bases 22793  df-2ndc 23288

This theorem is referenced by: (None)