MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txbasval 21689
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . . 3 ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
21txval 21647 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3 bastg 21050 . . . . . . 7 (𝑅𝑉𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅))
4 bastg 21050 . . . . . . 7 (𝑆𝑊𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆))
5 resmpt2 6956 . . . . . . 7 ((𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆)) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
63, 4, 5syl2an 589 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7 resss 5597 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
86, 7syl6eqssr 3816 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
9 rnss 5522 . . . . 5 ((𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
11 eltg3 21046 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉 → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ↔ ∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚)))
12 eltg3 21046 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑊 → (𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↔ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
1311, 12bi2anan9 629 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛))))
14 eeanv 2346 . . . . . . . . . 10 (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
15 an4 646 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)))
16 uniiun 4729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 = 𝑥𝑚 𝑥
17 uniiun 4729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛 = 𝑦𝑛 𝑦
1816, 17xpeq12i 5305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑚 × 𝑛) = ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
19 xpiundir 5342 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
20 xpiundi 5341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑚 → (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦))
2221iuneq2i 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2318, 19, 223eqtri 2791 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑚 × 𝑛) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
24 ovex 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V
25 ssel2 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑅𝑥𝑚) → 𝑥𝑅)
26 ssel2 3756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛𝑆𝑦𝑛) → 𝑦𝑆)
2725, 26anim12i 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑚𝑅𝑥𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
2827an4s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
29 txopn 21685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑆)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3028, 29sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛))) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3130anassrs 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3231anassrs 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) ∧ 𝑦𝑛) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3332ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
34 tgiun 21063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
3524, 33, 34sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
361txbasex 21649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V)
37 tgidm 21064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
392fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))))
4038, 39, 23eqtr4d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4241adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4335, 42eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4443ralrimiva 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
45 tgiun 21063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4624, 44, 45sylancr 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4746, 41eleqtrd 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4823, 47syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
49 xpeq12 5302 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) = ( 𝑚 × 𝑛))
5049eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → ((𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5148, 50syl5ibrcom 238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5251expimpd 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5315, 52syl5bi 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5453exlimdvv 2029 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5514, 54syl5bir 234 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5613, 55sylbid 231 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5756ralrimivv 3117 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
58 eqid 2765 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
5958fmpt2 7438 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6057, 59sylib 209 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6160frnd 6230 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
6261, 2sseqtrd 3801 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
63 2basgen 21074 . . . 4 ((ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∧ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
6410, 62, 63syl2anc 579 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
65 fvex 6388 . . . 4 (topGen‘𝑅) ∈ V
66 fvex 6388 . . . 4 (topGen‘𝑆) ∈ V
67 eqid 2765 . . . . 5 ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
6867txval 21647 . . . 4 (((topGen‘𝑅) ∈ V ∧ (topGen‘𝑆) ∈ V) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
6965, 66, 68mp2an 683 . . 3 ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7064, 69syl6eqr 2817 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)))
712, 70eqtr2d 2800 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  wss 3732   cuni 4594   ciun 4676   × cxp 5275  ran crn 5278  cres 5279  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cmpt2 6844  topGenctg 16364   ×t ctx 21643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-topgen 16370  df-tx 21645
This theorem is referenced by:  tx2ndc  21734  mbfimaopnlem  23713
  Copyright terms: Public domain W3C validator