MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txbasval 22757
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . 3 ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
21txval 22715 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3 bastg 22116 . . . . . . 7 (𝑅𝑉𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅))
4 bastg 22116 . . . . . . 7 (𝑆𝑊𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆))
5 resmpo 7394 . . . . . . 7 ((𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆)) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7 resss 5916 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
86, 7eqsstrrdi 3976 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
9 rnss 5848 . . . . 5 ((𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
11 eltg3 22112 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉 → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ↔ ∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚)))
12 eltg3 22112 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑊 → (𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↔ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
1311, 12bi2anan9 636 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛))))
14 exdistrv 1959 . . . . . . . . . 10 (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
15 an4 653 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)))
16 uniiun 4988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 = 𝑥𝑚 𝑥
17 uniiun 4988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛 = 𝑦𝑛 𝑦
1816, 17xpeq12i 5617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑚 × 𝑛) = ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
19 xpiundir 5658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
20 xpiundi 5657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑚 → (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦))
2221iuneq2i 4945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2318, 19, 223eqtri 2770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑚 × 𝑛) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
24 ovex 7308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V
25 ssel2 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑅𝑥𝑚) → 𝑥𝑅)
26 ssel2 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛𝑆𝑦𝑛) → 𝑦𝑆)
2725, 26anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑚𝑅𝑥𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
2827an4s 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
29 txopn 22753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑆)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3028, 29sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛))) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3130anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3231anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) ∧ 𝑦𝑛) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3332ralrimiva 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
34 tgiun 22129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
3524, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
361txbasex 22717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V)
37 tgidm 22130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
392fveq2d 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))))
4038, 39, 23eqtr4d 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4335, 42eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4443ralrimiva 3103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
45 tgiun 22129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4624, 44, 45sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4746, 41eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4823, 47eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
49 xpeq12 5614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) = ( 𝑚 × 𝑛))
5049eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → ((𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5148, 50syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5251expimpd 454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5315, 52syl5bi 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5453exlimdvv 1937 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5514, 54syl5bir 242 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5613, 55sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5756ralrimivv 3122 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
58 eqid 2738 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
5958fmpo 7908 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6057, 59sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6160frnd 6608 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
6261, 2sseqtrd 3961 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
63 2basgen 22140 . . . 4 ((ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∧ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
6410, 62, 63syl2anc 584 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
65 fvex 6787 . . . 4 (topGen‘𝑅) ∈ V
66 fvex 6787 . . . 4 (topGen‘𝑆) ∈ V
67 eqid 2738 . . . . 5 ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
6867txval 22715 . . . 4 (((topGen‘𝑅) ∈ V ∧ (topGen‘𝑆) ∈ V) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
6965, 66, 68mp2an 689 . . 3 ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7064, 69eqtr4di 2796 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)))
712, 70eqtr2d 2779 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wral 3064  Vcvv 3432  wss 3887   cuni 4839   ciun 4924   × cxp 5587  ran crn 5590  cres 5591  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277  topGenctg 17148   ×t ctx 22711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-topgen 17154  df-tx 22713
This theorem is referenced by:  tx2ndc  22802  mbfimaopnlem  24819
  Copyright terms: Public domain W3C validator