Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txbasval 22206
 Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2819 . . 3 ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))
21txval 22164 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑅 ×t 𝑆) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3 bastg 21566 . . . . . . 7 (𝑅𝑉𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅))
4 bastg 21566 . . . . . . 7 (𝑆𝑊𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆))
5 resmpo 7264 . . . . . . 7 ((𝑅 ⊆ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑆 ⊆ (topGen‘𝑆)) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
63, 4, 5syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) = (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7 resss 5871 . . . . . 6 ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ↾ (𝑅 × 𝑆)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
86, 7eqsstrrdi 4020 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
9 rnss 5802 . . . . 5 ((𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
11 eltg3 21562 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉 → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ↔ ∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚)))
12 eltg3 21562 . . . . . . . . . 10 (𝑆𝑊 → (𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↔ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
1311, 12bi2anan9 637 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛))))
14 exdistrv 1949 . . . . . . . . . 10 (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ (∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)))
15 an4 654 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) ↔ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)))
16 uniiun 4973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 = 𝑥𝑚 𝑥
17 uniiun 4973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑛 = 𝑦𝑛 𝑦
1816, 17xpeq12i 5576 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑚 × 𝑛) = ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
19 xpiundir 5616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑥𝑚 𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦)
20 xpiundi 5615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝑚 → (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦))
2221iuneq2i 4931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑚 (𝑥 × 𝑦𝑛 𝑦) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
2318, 19, 223eqtri 2846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑚 × 𝑛) = 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦)
24 ovex 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ×t 𝑆) ∈ V
25 ssel2 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑚𝑅𝑥𝑚) → 𝑥𝑅)
26 ssel2 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛𝑆𝑦𝑛) → 𝑦𝑆)
2725, 26anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑚𝑅𝑥𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
2827an4s 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥𝑅𝑦𝑆))
29 txopn 22202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑥𝑅𝑦𝑆)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3028, 29sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ ((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛))) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3130anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ (𝑥𝑚𝑦𝑛)) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3231anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) ∧ 𝑦𝑛) → (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
3332ralrimiva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
34 tgiun 21579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
3524, 33, 34sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
361txbasex 22166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V)
37 tgidm 21580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∈ V → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) = (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
392fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (topGen‘(topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))))
4038, 39, 23eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4140adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4241adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
4335, 42eleqtrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) ∧ 𝑥𝑚) → 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4443ralrimiva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
45 tgiun 21579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ×t 𝑆) ∈ V ∧ ∀𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4624, 44, 45sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (topGen‘(𝑅 ×t 𝑆)))
4746, 41eleqtrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → 𝑥𝑚 𝑦𝑛 (𝑥 × 𝑦) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
4823, 47eqeltrid 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
49 xpeq12 5573 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) = ( 𝑚 × 𝑛))
5049eleq1d 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → ((𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ ( 𝑚 × 𝑛) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5148, 50syl5ibrcom 249 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝑉𝑆𝑊) ∧ (𝑚𝑅𝑛𝑆)) → ((𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5251expimpd 456 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑛𝑆) ∧ (𝑢 = 𝑚𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5315, 52syl5bi 244 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5453exlimdvv 1928 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (∃𝑚𝑛((𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ (𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5514, 54syl5bir 245 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((∃𝑚(𝑚𝑅𝑢 = 𝑚) ∧ ∃𝑛(𝑛𝑆𝑣 = 𝑛)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5613, 55sylbid 242 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((𝑢 ∈ (topGen‘𝑅) ∧ 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)) → (𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆)))
5756ralrimivv 3188 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆))
58 eqid 2819 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
5958fmpo 7758 . . . . . . 7 (∀𝑢 ∈ (topGen‘𝑅)∀𝑣 ∈ (topGen‘𝑆)(𝑢 × 𝑣) ∈ (𝑅 ×t 𝑆) ↔ (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6057, 59sylib 220 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)):((topGen‘𝑅) × (topGen‘𝑆))⟶(𝑅 ×t 𝑆))
6160frnd 6514 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (𝑅 ×t 𝑆))
6261, 2sseqtrd 4005 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))))
63 2basgen 21590 . . . 4 ((ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ∧ ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) ⊆ (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣)))) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
6410, 62, 63syl2anc 586 . . 3 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
65 fvex 6676 . . . 4 (topGen‘𝑅) ∈ V
66 fvex 6676 . . . 4 (topGen‘𝑆) ∈ V
67 eqid 2819 . . . . 5 ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)) = ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))
6867txval 22164 . . . 4 (((topGen‘𝑅) ∈ V ∧ (topGen‘𝑆) ∈ V) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣))))
6965, 66, 68mp2an 690 . . 3 ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (topGen‘ran (𝑢 ∈ (topGen‘𝑅), 𝑣 ∈ (topGen‘𝑆) ↦ (𝑢 × 𝑣)))
7064, 69syl6eqr 2872 . 2 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → (topGen‘ran (𝑢𝑅, 𝑣𝑆 ↦ (𝑢 × 𝑣))) = ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)))
712, 70eqtr2d 2855 1 ((𝑅𝑉𝑆𝑊) → ((topGen‘𝑅) ×t (topGen‘𝑆)) = (𝑅 ×t 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530  ∃wex 1773   ∈ wcel 2107  ∀wral 3136  Vcvv 3493   ⊆ wss 3934  ∪ cuni 4830  ∪ ciun 4910   × cxp 5546  ran crn 5549   ↾ cres 5550  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150  topGenctg 16703   ×t ctx 22160 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-topgen 16709  df-tx 22162 This theorem is referenced by:  tx2ndc  22251  mbfimaopnlem  24248
 Copyright terms: Public domain W3C validator