MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txbasval 23117
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘š 𝑛 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
21txval 23075 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
3 bastg 22476 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 βŠ† (topGenβ€˜π‘…))
4 bastg 22476 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘†))
5 resmpo 7530 . . . . . . 7 ((𝑅 βŠ† (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘†)) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
7 resss 6006 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
86, 7eqsstrrdi 4037 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
9 rnss 5938 . . . . 5 ((𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
11 eltg3 22472 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š)))
12 eltg3 22472 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
1311, 12bi2anan9 637 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†)) ↔ (βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛))))
14 exdistrv 1959 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘›((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) ↔ (βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
15 an4 654 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) ↔ ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
16 uniiun 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ π‘š = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯
17 uniiun 5061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝑛 = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦
1816, 17xpeq12i 5704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) = (βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦)
19 xpiundir 5747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦)
20 xpiundi 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ π‘š β†’ (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦))
2221iuneq2i 5018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
2318, 19, 223eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
24 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V
25 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
26 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
2725, 26anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
2827an4s 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
29 txopn 23113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3028, 29sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛))) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3130anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3231anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3332ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
34 tgiun 22489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
3524, 33, 34sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
361txbasex 23077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V)
37 tgidm 22490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
392fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))))
4038, 39, 23eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4140adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4335, 42eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
4443ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
45 tgiun 22489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
4624, 44, 45sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
4746, 41eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
4823, 47eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
49 xpeq12 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛))
5049eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ ((𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5148, 50syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5251expimpd 454 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5315, 52biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5453exlimdvv 1937 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘›((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5514, 54biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5613, 55sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5756ralrimivv 3198 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π‘†)(𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
58 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
5958fmpo 8056 . . . . . . 7 (βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π‘†)(𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)):((topGenβ€˜π‘…) Γ— (topGenβ€˜π‘†))⟢(𝑅 Γ—t 𝑆))
6057, 59sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)):((topGenβ€˜π‘…) Γ— (topGenβ€˜π‘†))⟢(𝑅 Γ—t 𝑆))
6160frnd 6725 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
6261, 2sseqtrd 4022 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
63 2basgen 22500 . . . 4 ((ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∧ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) β†’ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6410, 62, 63syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
65 fvex 6904 . . . 4 (topGenβ€˜π‘…) ∈ V
66 fvex 6904 . . . 4 (topGenβ€˜π‘†) ∈ V
67 eqid 2732 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
6867txval 23075 . . . 4 (((topGenβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (topGenβ€˜π‘†) ∈ V) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6965, 66, 68mp2an 690 . . 3 ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
7064, 69eqtr4di 2790 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)))
712, 70eqtr2d 2773 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  topGenctg 17385   Γ—t ctx 23071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-topgen 17391  df-tx 23073
This theorem is referenced by:  tx2ndc  23162  mbfimaopnlem  25179
  Copyright terms: Public domain W3C validator