MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  txbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem txbasval 23110
Description: It is sufficient to consider products of the bases for the topologies in the topological product. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
txbasval ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))

Proof of Theorem txbasval
Dummy variables π‘₯ 𝑦 π‘š 𝑛 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
21txval 23068 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 Γ—t 𝑆) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
3 bastg 22469 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 βŠ† (topGenβ€˜π‘…))
4 bastg 22469 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘†))
5 resmpo 7528 . . . . . . 7 ((𝑅 βŠ† (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑆 βŠ† (topGenβ€˜π‘†)) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
63, 4, 5syl2an 597 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) = (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
7 resss 6007 . . . . . 6 ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑆)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
86, 7eqsstrrdi 4038 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
9 rnss 5939 . . . . 5 ((𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
108, 9syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
11 eltg3 22465 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š)))
12 eltg3 22465 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ π‘Š β†’ (𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
1311, 12bi2anan9 638 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†)) ↔ (βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛))))
14 exdistrv 1960 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘›((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) ↔ (βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
15 an4 655 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) ↔ ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)))
16 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ π‘š = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯
17 uniiun 5062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆͺ 𝑛 = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦
1816, 17xpeq12i 5705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) = (βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦)
19 xpiundir 5748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦)
20 xpiundi 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ π‘š β†’ (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦))
2221iuneq2i 5019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š (π‘₯ Γ— βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 𝑦) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
2318, 19, 223eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) = βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦)
24 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V
25 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
26 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
2725, 26anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
2827an4s 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆))
29 txopn 23106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3028, 29sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ ((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛))) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3130anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘š ∧ 𝑦 ∈ 𝑛)) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3231anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) ∧ 𝑦 ∈ 𝑛) β†’ (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
3332ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
34 tgiun 22482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
3524, 33, 34sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
361txbasex 23070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V)
37 tgidm 22483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∈ V β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
392fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (topGenβ€˜(topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))))
4038, 39, 23eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4140adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
4335, 42eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ π‘š) β†’ βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
4443ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
45 tgiun 22482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 Γ—t 𝑆) ∈ V ∧ βˆ€π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
4624, 44, 45sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (topGenβ€˜(𝑅 Γ—t 𝑆)))
4746, 41eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ βˆͺ π‘₯ ∈ π‘š βˆͺ 𝑦 ∈ 𝑛 (π‘₯ Γ— 𝑦) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
4823, 47eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
49 xpeq12 5702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) = (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛))
5049eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ ((𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ (βˆͺ π‘š Γ— βˆͺ 𝑛) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5148, 50syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) ∧ (π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆)) β†’ ((𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5251expimpd 455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑛 βŠ† 𝑆) ∧ (𝑒 = βˆͺ π‘š ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5315, 52biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5453exlimdvv 1938 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘šβˆƒπ‘›((π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ (𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5514, 54biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((βˆƒπ‘š(π‘š βŠ† 𝑅 ∧ 𝑒 = βˆͺ π‘š) ∧ βˆƒπ‘›(𝑛 βŠ† 𝑆 ∧ 𝑣 = βˆͺ 𝑛)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5613, 55sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…) ∧ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†)) β†’ (𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆)))
5756ralrimivv 3199 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π‘†)(𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆))
58 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
5958fmpo 8054 . . . . . . 7 (βˆ€π‘’ ∈ (topGenβ€˜π‘…)βˆ€π‘£ ∈ (topGenβ€˜π‘†)(𝑒 Γ— 𝑣) ∈ (𝑅 Γ—t 𝑆) ↔ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)):((topGenβ€˜π‘…) Γ— (topGenβ€˜π‘†))⟢(𝑅 Γ—t 𝑆))
6057, 59sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)):((topGenβ€˜π‘…) Γ— (topGenβ€˜π‘†))⟢(𝑅 Γ—t 𝑆))
6160frnd 6726 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (𝑅 Γ—t 𝑆))
6261, 2sseqtrd 4023 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
63 2basgen 22493 . . . 4 ((ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) ∧ ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) βŠ† (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))) β†’ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6410, 62, 63syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
65 fvex 6905 . . . 4 (topGenβ€˜π‘…) ∈ V
66 fvex 6905 . . . 4 (topGenβ€˜π‘†) ∈ V
67 eqid 2733 . . . . 5 ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)) = ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))
6867txval 23068 . . . 4 (((topGenβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (topGenβ€˜π‘†) ∈ V) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))))
6965, 66, 68mp2an 691 . . 3 ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ (topGenβ€˜π‘…), 𝑣 ∈ (topGenβ€˜π‘†) ↦ (𝑒 Γ— 𝑣)))
7064, 69eqtr4di 2791 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ (topGenβ€˜ran (𝑒 ∈ 𝑅, 𝑣 ∈ 𝑆 ↦ (𝑒 Γ— 𝑣))) = ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)))
712, 70eqtr2d 2774 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑆 ∈ π‘Š) β†’ ((topGenβ€˜π‘…) Γ—t (topGenβ€˜π‘†)) = (𝑅 Γ—t 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4909  βˆͺ ciun 4998   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  topGenctg 17383   Γ—t ctx 23064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-topgen 17389  df-tx 23066
This theorem is referenced by:  tx2ndc  23155  mbfimaopnlem  25172
  Copyright terms: Public domain W3C validator