Theorem tgqioo 24835

Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgqioo.1	⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))

Assertion

Ref	Expression
tgqioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo.1	. 2 ⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2		imassrn 6090	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
3		ioof 13483	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6736	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7		elioo1 13423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦))
9	8	simp1d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
10	8	simp2d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 < 𝑧)
11		qbtwnxr 13238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
13		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14	8	simp3d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 < 𝑦)
15		qbtwnxr 13238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
16	9, 13, 14, 15	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
17		reeanv 3226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) ↔ (∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)))
18		df-ov 7433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢(,)𝑣) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
19		opelxpi 5725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
20	19	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
21		ffun 6739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
22	3, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Fun (,)
23		qssre 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
24		ressxr 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
25	23, 24	sstri 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
26		xpss12 5703	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
27	25, 25, 26	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
28	3	fdmi 6747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
29	27, 28	sseqtrri 4032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
30		funfvima2 7250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
31	22, 29, 30	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
32	20, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
33	18, 32	eqeltrid 2842	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
34	9	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
35		simp3lr 1244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 < 𝑧)
36		simp3rl 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 < 𝑣)
37		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℚ)
38	25, 37	sselid 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ*)
39		simp2r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℚ)
40	25, 39	sselid 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ*)
41		elioo1 13423	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
42	38, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
43	34, 35, 36, 42	mpbir3and 1341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣))
44	6	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		simp3ll 1243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 < 𝑢)
46	44, 38, 45	xrltled 13188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ≤ 𝑢)
47		iooss1 13418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝑢) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
49	13	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50		simp3rr 1246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 < 𝑦)
51	40, 49, 50	xrltled 13188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ≤ 𝑦)
52		iooss2 13419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ≤ 𝑦) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
53	49, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
54	48, 53	sstrd 4005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
55		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣)))
56		sseq1 4020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
57	55, 56	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
58	57	rspcev 3621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
59	33, 43, 54, 58	syl12anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
60	59	3exp 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → (((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))))
61	60	rexlimdvv 3209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
62	17, 61	biimtrrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
63	12, 16, 62	mp2and 699	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
64	63	ralrimiva 3143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
65		qtopbas 24795	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
66		eltg2b 22981	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
68	64, 67	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
69	68	rgen2 3196	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
70		ffnov 7558	. . . . 5 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))))
71	5, 69, 70	mpbir2an 711	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
72		frn 6743	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
73	71, 72	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
74		2basgen 23012	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,)))
75	2, 73, 74	mp2an 692	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,))
76	1, 75	eqtr2i 2763	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∀wral 3058  ∃wrex 3067   ⊆ wss 3962  𝒫 cpw 4604  ⟨cop 4636   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689   “ cima 5691  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293  ℚcq 12987  (,)cioo 13383  topGenctg 17483  TopBasesctb 22967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-ioo 13387  df-topgen 17489  df-bases 22968

This theorem is referenced by:  re2ndc  24836  opnmblALT  25651  mbfimaopnlem  25703  tgqioo2  45499