MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgqioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgqioo 24186
Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgqioo.1 𝑄 = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
Assertion
Ref Expression
tgqioo (topGenβ€˜ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgqioo.1 . 2 𝑄 = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
2 imassrn 6028 . . 3 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,)
3 ioof 13373 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
4 ffn 6672 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
6 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
7 elioo1 13313 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
87biimpa 478 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦))
98simp1d 1143 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
108simp2d 1144 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ π‘₯ < 𝑧)
11 qbtwnxr 13128 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ β„š (π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧))
126, 9, 10, 11syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ β„š (π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧))
13 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
148simp3d 1145 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ 𝑧 < 𝑦)
15 qbtwnxr 13128 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ β„š (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
169, 13, 14, 15syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ β„š (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
17 reeanv 3216 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘’ ∈ β„š βˆƒπ‘£ ∈ β„š ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ β„š (π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ β„š (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)))
18 df-ov 7364 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒(,)𝑣) = ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
19 opelxpi 5674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) β†’ βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ (β„š Γ— β„š))
20193ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ (β„š Γ— β„š))
21 ffun 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
223, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fun (,)
23 qssre 12892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„š βŠ† ℝ
24 ressxr 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ βŠ† ℝ*
2523, 24sstri 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„š βŠ† ℝ*
26 xpss12 5652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„š βŠ† ℝ* ∧ β„š βŠ† ℝ*) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
2725, 25, 26mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
283fdmi 6684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
2927, 28sseqtrri 3985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)
30 funfvima2 7185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (,) ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)) β†’ (βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
3122, 29, 30mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
3220, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
3318, 32eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (𝑒(,)𝑣) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
3493ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
35 simp3lr 1246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑒 < 𝑧)
36 simp3rl 1247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑧 < 𝑣)
37 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑒 ∈ β„š)
3825, 37sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
39 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑣 ∈ β„š)
4025, 39sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑣 ∈ ℝ*)
41 elioo1 13313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
4238, 40, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
4334, 35, 36, 42mpbir3and 1343 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣))
4463ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
45 simp3ll 1245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ π‘₯ < 𝑒)
4644, 38, 45xrltled 13078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ π‘₯ ≀ 𝑒)
47 iooss1 13308 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝑒) β†’ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑣))
4844, 46, 47syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑣))
49133ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
50 simp3rr 1248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑣 < 𝑦)
5140, 49, 50xrltled 13078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑣 ≀ 𝑦)
52 iooss2 13309 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))
5349, 51, 52syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (π‘₯(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))
5448, 53sstrd 3958 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))
55 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (𝑒(,)𝑣) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣)))
56 sseq1 3973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (𝑒(,)𝑣) β†’ (𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦) ↔ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
5755, 56anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (𝑒(,)𝑣) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣) ∧ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))))
5857rspcev 3583 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒(,)𝑣) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣) ∧ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
5933, 43, 54, 58syl12anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
60593exp 1120 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ ((𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) β†’ (((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))))
6160rexlimdvv 3201 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ β„š βˆƒπ‘£ ∈ β„š ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦))))
6217, 61biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ ((βˆƒπ‘’ ∈ β„š (π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ β„š (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦))))
6312, 16, 62mp2and 698 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
6463ralrimiva 3140 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘₯(,)𝑦)βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
65 qtopbas 24146 . . . . . . . 8 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases
66 eltg2b 22332 . . . . . . . 8 (((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases β†’ ((π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (π‘₯(,)𝑦)βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦))))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (π‘₯(,)𝑦)βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
6864, 67sylibr 233 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
6968rgen2 3191 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
70 ffnov 7487 . . . . 5 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))))
715, 69, 70mpbir2an 710 . . . 4 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
72 frn 6679 . . . 4 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
7371, 72ax-mp 5 . . 3 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
74 2basgen 22363 . . 3 ((((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,) ∧ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))) β†’ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) = (topGenβ€˜ran (,)))
752, 73, 74mp2an 691 . 2 (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) = (topGenβ€˜ran (,))
761, 75eqtr2i 2762 1 (topGenβ€˜ran (,)) = 𝑄
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914  π’« cpw 4564  βŸ¨cop 4596   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„šcq 12881  (,)cioo 13273  topGenctg 17327  TopBasesctb 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-sup 9386  df-inf 9387  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-ioo 13277  df-topgen 17333  df-bases 22319
This theorem is referenced by:  re2ndc  24187  opnmblALT  24990  mbfimaopnlem  25042  tgqioo2  43875
  Copyright terms: Public domain W3C validator