Theorem tgqioo 24841

Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgqioo.1	⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))

Assertion

Ref	Expression
tgqioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo.1	. 2 ⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2		imassrn 6100	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
3		ioof 13507	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6747	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7		elioo1 13447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
8	7	biimpa 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦))
9	8	simp1d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
10	8	simp2d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 < 𝑧)
11		qbtwnxr 13262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
13		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14	8	simp3d 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 < 𝑦)
15		qbtwnxr 13262	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
16	9, 13, 14, 15	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
17		reeanv 3235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) ↔ (∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)))
18		df-ov 7451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢(,)𝑣) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
19		opelxpi 5737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
20	19	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
21		ffun 6750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
22	3, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Fun (,)
23		qssre 13024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
24		ressxr 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
25	23, 24	sstri 4018	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
26		xpss12 5715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
27	25, 25, 26	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
28	3	fdmi 6758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
29	27, 28	sseqtrri 4046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
30		funfvima2 7268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
31	22, 29, 30	mp2an 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
32	20, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
33	18, 32	eqeltrid 2848	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
34	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
35		simp3lr 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 < 𝑧)
36		simp3rl 1246	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 < 𝑣)
37		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℚ)
38	25, 37	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ*)
39		simp2r 1200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℚ)
40	25, 39	sselid 4006	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ*)
41		elioo1 13447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
42	38, 40, 41	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
43	34, 35, 36, 42	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣))
44	6	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		simp3ll 1244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 < 𝑢)
46	44, 38, 45	xrltled 13212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ≤ 𝑢)
47		iooss1 13442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝑢) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
48	44, 46, 47	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
49	13	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50		simp3rr 1247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 < 𝑦)
51	40, 49, 50	xrltled 13212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ≤ 𝑦)
52		iooss2 13443	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ≤ 𝑦) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
53	49, 51, 52	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
54	48, 53	sstrd 4019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
55		eleq2 2833	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣)))
56		sseq1 4034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
57	55, 56	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
58	57	rspcev 3635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
59	33, 43, 54, 58	syl12anc 836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
60	59	3exp 1119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → (((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))))
61	60	rexlimdvv 3218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
62	17, 61	biimtrrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
63	12, 16, 62	mp2and 698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
64	63	ralrimiva 3152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
65		qtopbas 24801	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
66		eltg2b 22987	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
68	64, 67	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
69	68	rgen2 3205	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
70		ffnov 7576	. . . . 5 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))))
71	5, 69, 70	mpbir2an 710	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
72		frn 6754	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
73	71, 72	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
74		2basgen 23018	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,)))
75	2, 73, 74	mp2an 691	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,))
76	1, 75	eqtr2i 2769	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703  Fun wfun 6567   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℚcq 13013  (,)cioo 13407  topGenctg 17497  TopBasesctb 22973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-ioo 13411  df-topgen 17503  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  re2ndc  24842  opnmblALT  25657  mbfimaopnlem  25709  tgqioo2  45465