MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgqioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgqioo 22882
Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgqioo.1 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
Assertion
Ref Expression
tgqioo (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo
Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgqioo.1 . 2 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2 imassrn 5659 . . 3 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
3 ioof 12474 . . . . . 6 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4 ffn 6223 . . . . . 6 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6 simpll 783 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7 elioo1 12417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)))
87biimpa 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦))
98simp1d 1172 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
108simp2d 1173 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 < 𝑧)
11 qbtwnxr 12233 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*𝑥 < 𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧))
126, 9, 10, 11syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧))
13 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
148simp3d 1174 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 < 𝑦)
15 qbtwnxr 12233 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*𝑧 < 𝑦) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))
169, 13, 14, 15syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))
17 reeanv 3254 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) ↔ (∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)))
18 df-ov 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢(,)𝑣) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
19 opelxpi 5314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
20193ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
21 ffun 6226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
223, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fun (,)
23 qssre 11999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℚ ⊆ ℝ
24 ressxr 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ ⊆ ℝ*
2523, 24sstri 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℚ ⊆ ℝ*
26 xpss12 5292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
2725, 25, 26mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
283fdmi 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
2927, 28sseqtr4i 3798 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
30 funfvima2 6686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
3122, 29, 30mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
3220, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
3318, 32syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
3493ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
35 simp3lr 1326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 < 𝑧)
36 simp3rl 1327 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 < 𝑣)
37 simp2l 1256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℚ)
3825, 37sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ*)
39 simp2r 1257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℚ)
4025, 39sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ*)
41 elioo1 12417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ ℝ*𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑢 < 𝑧𝑧 < 𝑣)))
4238, 40, 41syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ*𝑢 < 𝑧𝑧 < 𝑣)))
4334, 35, 36, 42mpbir3and 1442 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣))
4463ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45 simp3ll 1325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 < 𝑢)
4644, 38, 45xrltled 12183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑥𝑢)
47 iooss1 12412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑢) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
4844, 46, 47syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
49133ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50 simp3rr 1328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 < 𝑦)
5140, 49, 50xrltled 12183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → 𝑣𝑦)
52 iooss2 12413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑣𝑦) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
5349, 51, 52syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
5448, 53sstrd 3771 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
55 eleq2 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑧𝑤𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣)))
56 sseq1 3786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
5755, 56anbi12d 624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → ((𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
5857rspcev 3461 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
5933, 43, 54, 58syl12anc 865 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
60593exp 1148 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → (((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))))
6160rexlimdvv 3184 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6217, 61syl5bir 234 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6312, 16, 62mp2and 690 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
6463ralrimiva 3113 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
65 qtopbas 22842 . . . . . . . 8 ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
66 eltg2b 21043 . . . . . . . 8 (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧𝑤𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
6864, 67sylibr 225 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
6968rgen2a 3124 . . . . 5 𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
70 ffnov 6962 . . . . 5 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))))
715, 69, 70mpbir2an 702 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
72 frn 6229 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
7371, 72ax-mp 5 . . 3 ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
74 2basgen 21074 . . 3 ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,)))
752, 73, 74mp2an 683 . 2 (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,))
761, 75eqtr2i 2788 1 (topGen‘ran (,)) = 𝑄
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  𝒫 cpw 4315  cop 4340   class class class wbr 4809   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278  cima 5280  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cq 11989  (,)cioo 12377  topGenctg 16364  TopBasesctb 21029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-ioo 12381  df-topgen 16370  df-bases 21030
This theorem is referenced by:  re2ndc  22883  opnmblALT  23661  mbfimaopnlem  23713  tgqioo2  40412
  Copyright terms: Public domain W3C validator