MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgqioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgqioo 24315
Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
tgqioo.1 𝑄 = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
Assertion
Ref Expression
tgqioo (topGenβ€˜ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo
Dummy variables 𝑣 𝑒 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgqioo.1 . 2 𝑄 = (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
2 imassrn 6070 . . 3 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,)
3 ioof 13423 . . . . . 6 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
4 ffn 6717 . . . . . 6 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
53, 4ax-mp 5 . . . . 5 (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*)
6 simpll 765 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
7 elioo1 13363 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
87biimpa 477 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦))
98simp1d 1142 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
108simp2d 1143 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ π‘₯ < 𝑧)
11 qbtwnxr 13178 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ < 𝑧) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ β„š (π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧))
126, 9, 10, 11syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ β„š (π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧))
13 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
148simp3d 1144 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ 𝑧 < 𝑦)
15 qbtwnxr 13178 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ β„š (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
169, 13, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ β„š (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
17 reeanv 3226 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘’ ∈ β„š βˆƒπ‘£ ∈ β„š ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ β„š (π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ β„š (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)))
18 df-ov 7411 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒(,)𝑣) = ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©)
19 opelxpi 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) β†’ βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ (β„š Γ— β„š))
20193ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ (β„š Γ— β„š))
21 ffun 6720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ Fun (,))
223, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Fun (,)
23 qssre 12942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„š βŠ† ℝ
24 ressxr 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℝ βŠ† ℝ*
2523, 24sstri 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„š βŠ† ℝ*
26 xpss12 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„š βŠ† ℝ* ∧ β„š βŠ† ℝ*) β†’ (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*))
2725, 25, 26mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„š Γ— β„š) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
283fdmi 6729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (,) = (ℝ* Γ— ℝ*)
2927, 28sseqtrri 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)
30 funfvima2 7232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((Fun (,) ∧ (β„š Γ— β„š) βŠ† dom (,)) β†’ (βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
3122, 29, 30mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βŸ¨π‘’, π‘£βŸ© ∈ (β„š Γ— β„š) β†’ ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
3220, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ ((,)β€˜βŸ¨π‘’, π‘£βŸ©) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
3318, 32eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (𝑒(,)𝑣) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
3493ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ*)
35 simp3lr 1245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑒 < 𝑧)
36 simp3rl 1246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑧 < 𝑣)
37 simp2l 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑒 ∈ β„š)
3825, 37sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ*)
39 simp2r 1200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑣 ∈ β„š)
4025, 39sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑣 ∈ ℝ*)
41 elioo1 13363 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
4238, 40, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
4334, 35, 36, 42mpbir3and 1342 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣))
4463ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
45 simp3ll 1244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ π‘₯ < 𝑒)
4644, 38, 45xrltled 13128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ π‘₯ ≀ 𝑒)
47 iooss1 13358 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ≀ 𝑒) β†’ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑣))
4844, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑣))
49133ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
50 simp3rr 1247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑣 < 𝑦)
5140, 49, 50xrltled 13128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ 𝑣 ≀ 𝑦)
52 iooss2 13359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ≀ 𝑦) β†’ (π‘₯(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))
5349, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (π‘₯(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))
5448, 53sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))
55 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (𝑒(,)𝑣) β†’ (𝑧 ∈ 𝑀 ↔ 𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣)))
56 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = (𝑒(,)𝑣) β†’ (𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦) ↔ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
5755, 56anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (𝑒(,)𝑣) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣) ∧ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))))
5857rspcev 3612 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑒(,)𝑣) ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑒(,)𝑣) ∧ (𝑒(,)𝑣) βŠ† (π‘₯(,)𝑦))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
5933, 43, 54, 58syl12anc 835 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) ∧ (𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) ∧ ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
60593exp 1119 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ ((𝑒 ∈ β„š ∧ 𝑣 ∈ β„š) β†’ (((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))))
6160rexlimdvv 3210 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ β„š βˆƒπ‘£ ∈ β„š ((π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦))))
6217, 61biimtrrid 242 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ ((βˆƒπ‘’ ∈ β„š (π‘₯ < 𝑒 ∧ 𝑒 < 𝑧) ∧ βˆƒπ‘£ ∈ β„š (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦))))
6312, 16, 62mp2and 697 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (π‘₯(,)𝑦)) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
6463ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (π‘₯(,)𝑦)βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
65 qtopbas 24275 . . . . . . . 8 ((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases
66 eltg2b 22461 . . . . . . . 8 (((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) ∈ TopBases β†’ ((π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (π‘₯(,)𝑦)βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦))))
6765, 66ax-mp 5 . . . . . . 7 ((π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (π‘₯(,)𝑦)βˆƒπ‘€ ∈ ((,) β€œ (β„š Γ— β„š))(𝑧 ∈ 𝑀 ∧ 𝑀 βŠ† (π‘₯(,)𝑦)))
6864, 67sylibr 233 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
6968rgen2 3197 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
70 ffnov 7534 . . . . 5 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) ↔ ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ* βˆ€π‘¦ ∈ ℝ* (π‘₯(,)𝑦) ∈ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))))
715, 69, 70mpbir2an 709 . . . 4 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
72 frn 6724 . . . 4 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)⟢(topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))))
7371, 72ax-mp 5 . . 3 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))
74 2basgen 22492 . . 3 ((((,) β€œ (β„š Γ— β„š)) βŠ† ran (,) ∧ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š)))) β†’ (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) = (topGenβ€˜ran (,)))
752, 73, 74mp2an 690 . 2 (topGenβ€˜((,) β€œ (β„š Γ— β„š))) = (topGenβ€˜ran (,))
761, 75eqtr2i 2761 1 (topGenβ€˜ran (,)) = 𝑄
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„šcq 12931  (,)cioo 13323  topGenctg 17382  TopBasesctb 22447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-ioo 13327  df-topgen 17388  df-bases 22448
This theorem is referenced by:  re2ndc  24316  opnmblALT  25119  mbfimaopnlem  25171  tgqioo2  44250
  Copyright terms: Public domain W3C validator