Theorem tgqioo 23963

Description: The topology generated by open intervals of reals with rational endpoints is the same as the open sets of the standard metric space on the reals. In particular, this proves that the standard topology on the reals is second-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
tgqioo.1	⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))

Assertion

Ref	Expression
tgqioo	⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Proof of Theorem tgqioo

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgqioo.1	. 2 ⊢ 𝑄 = (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
2		imassrn 5980	. . 3 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,)
3		ioof 13179	. . . . . 6 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
4		ffn 6600	. . . . . 6 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (,) Fn (ℝ* × ℝ*)
6		simpll 764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
7		elioo1 13119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)))
8	7	biimpa 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦))
9	8	simp1d 1141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ*)
10	8	simp2d 1142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑥 < 𝑧)
11		qbtwnxr 12934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < 𝑧) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧))
13		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14	8	simp3d 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → 𝑧 < 𝑦)
15		qbtwnxr 12934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 < 𝑦) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
16	9, 13, 14, 15	syl3anc 1370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))
17		reeanv 3294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) ↔ (∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)))
18		df-ov 7278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢(,)𝑣) = ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩)
19		opelxpi 5626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
20	19	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ))
21		ffun 6603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → Fun (,))
22	3, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Fun (,)
23		qssre 12699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
24		ressxr 11019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
25	23, 24	sstri 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ℚ ⊆ ℝ*
26		xpss12 5604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℚ ⊆ ℝ* ∧ ℚ ⊆ ℝ*) → (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*))
27	25, 25, 26	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
28	3	fdmi 6612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ dom (,) = (ℝ* × ℝ*)
29	27, 28	sseqtrri 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)
30		funfvima2 7107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((Fun (,) ∧ (ℚ × ℚ) ⊆ dom (,)) → (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))))
31	22, 29, 30	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟨𝑢, 𝑣⟩ ∈ (ℚ × ℚ) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
32	20, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ((,)‘⟨𝑢, 𝑣⟩) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
33	18, 32	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)))
34	9	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ ℝ*)
35		simp3lr 1244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 < 𝑧)
36		simp3rl 1245	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 < 𝑣)
37		simp2l 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℚ)
38	25, 37	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑢 ∈ ℝ*)
39		simp2r 1199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℚ)
40	25, 39	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ∈ ℝ*)
41		elioo1 13119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
42	38, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ↔ (𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑢 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑣)))
43	34, 35, 36, 42	mpbir3and 1341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣))
44	6	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
45		simp3ll 1243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 < 𝑢)
46	44, 38, 45	xrltled 12884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑥 ≤ 𝑢)
47		iooss1 13114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≤ 𝑢) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑣))
49	13	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℝ*)
50		simp3rr 1246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 < 𝑦)
51	40, 49, 50	xrltled 12884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → 𝑣 ≤ 𝑦)
52		iooss2 13115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ 𝑣 ≤ 𝑦) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
53	49, 51, 52	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑥(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
54	48, 53	sstrd 3931	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))
55		eleq2 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ 𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣)))
56		sseq1 3946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → (𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦) ↔ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
57	55, 56	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝑢(,)𝑣) → ((𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)) ↔ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
58	57	rspcev 3561	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑢(,)𝑣) ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∧ (𝑧 ∈ (𝑢(,)𝑣) ∧ (𝑢(,)𝑣) ⊆ (𝑥(,)𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
59	33, 43, 54, 58	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) ∧ (𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) ∧ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦))) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
60	59	3exp 1118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((𝑢 ∈ ℚ ∧ 𝑣 ∈ ℚ) → (((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))))
61	60	rexlimdvv 3222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → (∃𝑢 ∈ ℚ ∃𝑣 ∈ ℚ ((𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
62	17, 61	syl5bir 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ((∃𝑢 ∈ ℚ (𝑥 < 𝑢 ∧ 𝑢 < 𝑧) ∧ ∃𝑣 ∈ ℚ (𝑧 < 𝑣 ∧ 𝑣 < 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
63	12, 16, 62	mp2and 696	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
64	63	ralrimiva 3103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
65		qtopbas 23923	. . . . . . . 8 ⊢ ((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases
66		eltg2b 22109	. . . . . . . 8 ⊢ (((,) “ (ℚ × ℚ)) ∈ TopBases → ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦))))
67	65, 66	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑥(,)𝑦)∃𝑤 ∈ ((,) “ (ℚ × ℚ))(𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑤 ⊆ (𝑥(,)𝑦)))
68	64, 67	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
69	68	rgen2 3120	. . . . 5 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
70		ffnov 7401	. . . . 5 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) ↔ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥(,)𝑦) ∈ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))))
71	5, 69, 70	mpbir2an 708	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
72		frn 6607	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶(topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) → ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))))
73	71, 72	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))
74		2basgen 22140	. . 3 ⊢ ((((,) “ (ℚ × ℚ)) ⊆ ran (,) ∧ ran (,) ⊆ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ)))) → (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,)))
75	2, 73, 74	mp2an 689	. 2 ⊢ (topGen‘((,) “ (ℚ × ℚ))) = (topGen‘ran (,))
76	1, 75	eqtr2i 2767	1 ⊢ (topGen‘ran (,)) = 𝑄

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074   × cxp 5587  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592  Fun wfun 6427   Fn wfn 6428  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℚcq 12688  (,)cioo 13079  topGenctg 17148  TopBasesctb 22095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-ioo 13083  df-topgen 17154  df-bases 22096

This theorem is referenced by:  re2ndc  23964  opnmblALT  24767  mbfimaopnlem  24819  tgqioo2  43085