Theorem arwcd 18017

Description: The codomain of an arrow is an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
arwrcl.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
arwdm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
arwcd	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (coda‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem arwcd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arwrcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	arwhoma 18014	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)))
4		arwdm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4	homarcl2 18004	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)) → ((doma‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (coda‘𝐹) ∈ 𝐵))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((doma‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (coda‘𝐹) ∈ 𝐵))
7	6	simprd 495	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (coda‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  dom_acdoma 17989  cod_accoda 17990  Arrowcarw 17991  Hom_achoma 17992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-doma 17993  df-coda 17994  df-homa 17995  df-arw 17996

This theorem is referenced by:  cdaf  18019  termcarweu  49521