MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homarcl2 18033
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
homarcl2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
homarcl2 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6939 . . . 4 (𝐹 ∈ (π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom 𝐻)
2 df-ov 7429 . . . 4 (π‘‹π»π‘Œ) = (π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)
31, 2eleq2s 2847 . . 3 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom 𝐻)
4 homahom.h . . . . 5 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
5 homarcl2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
64homarcl 18026 . . . . 5 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
74, 5, 6homaf 18028 . . . 4 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝐻:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ’« ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
87fdmd 6738 . . 3 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ dom 𝐻 = (𝐡 Γ— 𝐡))
93, 8eleqtrd 2831 . 2 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
10 opelxp 5718 . 2 (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
119, 10sylib 217 1 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  π’« cpw 4606  βŸ¨cop 4638   Γ— cxp 5680  dom cdm 5682  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  Homachoma 18021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-homa 18024
This theorem is referenced by:  homarel  18034  homa1  18035  homahom2  18036  homadm  18038  homacd  18039  arwdm  18045  arwcd  18046  coahom  18068  arwlid  18070  arwrid  18071  arwass  18072
  Copyright terms: Public domain W3C validator