MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homarcl2 18080
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h 𝐻 = (Homa𝐶)
homarcl2.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
homarcl2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6943 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐻)
2 df-ov 7434 . . . 4 (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
31, 2eleq2s 2859 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐻)
4 homahom.h . . . . 5 𝐻 = (Homa𝐶)
5 homarcl2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
64homarcl 18073 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
74, 5, 6homaf 18075 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻:(𝐵 × 𝐵)⟶𝒫 ((𝐵 × 𝐵) × V))
87fdmd 6746 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → dom 𝐻 = (𝐵 × 𝐵))
93, 8eleqtrd 2843 . 2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
10 opelxp 5721 . 2 (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑋𝐵𝑌𝐵))
119, 10sylib 218 1 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  𝒫 cpw 4600  cop 4632   × cxp 5683  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Homachoma 18068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-homa 18071
This theorem is referenced by:  homarel  18081  homa1  18082  homahom2  18083  homadm  18085  homacd  18086  arwdm  18092  arwcd  18093  coahom  18115  arwlid  18117  arwrid  18118  arwass  18119
  Copyright terms: Public domain W3C validator