MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homarcl2 17997
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
homarcl2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
homarcl2 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6922 . . . 4 (𝐹 ∈ (π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom 𝐻)
2 df-ov 7408 . . . 4 (π‘‹π»π‘Œ) = (π»β€˜βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ©)
31, 2eleq2s 2845 . . 3 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom 𝐻)
4 homahom.h . . . . 5 𝐻 = (Homaβ€˜πΆ)
5 homarcl2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
64homarcl 17990 . . . . 5 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
74, 5, 6homaf 17992 . . . 4 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ 𝐻:(𝐡 Γ— 𝐡)βŸΆπ’« ((𝐡 Γ— 𝐡) Γ— V))
87fdmd 6722 . . 3 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ dom 𝐻 = (𝐡 Γ— 𝐡))
93, 8eleqtrd 2829 . 2 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡))
10 opelxp 5705 . 2 (βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ (𝐡 Γ— 𝐡) ↔ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
119, 10sylib 217 1 (𝐹 ∈ (π‘‹π»π‘Œ) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  π’« cpw 4597  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Homachoma 17985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-homa 17988
This theorem is referenced by:  homarel  17998  homa1  17999  homahom2  18000  homadm  18002  homacd  18003  arwdm  18009  arwcd  18010  coahom  18032  arwlid  18034  arwrid  18035  arwass  18036
  Copyright terms: Public domain W3C validator