MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  homarcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homarcl2 17274
Description: Reverse closure for the domain and codomain of an arrow. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
homahom.h 𝐻 = (Homa𝐶)
homarcl2.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
homarcl2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))

Proof of Theorem homarcl2
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6675 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐻)
2 df-ov 7133 . . . 4 (𝑋𝐻𝑌) = (𝐻‘⟨𝑋, 𝑌⟩)
31, 2eleq2s 2930 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom 𝐻)
4 homahom.h . . . . 5 𝐻 = (Homa𝐶)
5 homarcl2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐶)
64homarcl 17267 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐶 ∈ Cat)
74, 5, 6homaf 17269 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → 𝐻:(𝐵 × 𝐵)⟶𝒫 ((𝐵 × 𝐵) × V))
87fdmd 6496 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → dom 𝐻 = (𝐵 × 𝐵))
93, 8eleqtrd 2914 . 2 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵))
10 opelxp 5564 . 2 (⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑋𝐵𝑌𝐵))
119, 10sylib 221 1 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (𝑋𝐵𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3471  𝒫 cpw 4512  cop 4546   × cxp 5526  dom cdm 5528  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16462  Homachoma 17262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-homa 17265
This theorem is referenced by:  homarel  17275  homa1  17276  homahom2  17277  homadm  17279  homacd  17280  arwdm  17286  arwcd  17287  coahom  17309  arwlid  17311  arwrid  17312  arwass  17313
  Copyright terms: Public domain W3C validator