Theorem arwdm 18003

Description: The domain of an arrow is an object. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
arwrcl.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
arwdm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
arwdm	⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (doma‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem arwdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arwrcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
3	1, 2	arwhoma 18001	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → 𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)))
4		arwdm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5	2, 4	homarcl2 17991	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((doma‘𝐹)(Homa‘𝐶)(coda‘𝐹)) → ((doma‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (coda‘𝐹) ∈ 𝐵))
6	3, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → ((doma‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (coda‘𝐹) ∈ 𝐵))
7	6	simpld 494	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐴 → (doma‘𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  dom_acdoma 17976  cod_accoda 17977  Arrowcarw 17978  Hom_achoma 17979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-doma 17980  df-coda 17981  df-homa 17982  df-arw 17983

This theorem is referenced by:  dmaf  18005  termcarweu  49991  arweutermc  49993