Theorem axlowdimlem8 28876

Description: Lemma for axlowdim 28888. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem8	⊢ (𝑃‘3) = -1

Proof of Theorem axlowdimlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2	1	fveq1i 6859	. 2 ⊢ (𝑃‘3) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3)
3		3ex 12268	. . . 4 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 11419	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fnsn 6574	. . 3 ⊢ {⟨3, -1⟩} Fn {3}
6		c0ex 11168	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6746	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
8		ffn 6688	. . . 4 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
10		disjdif 4435	. . . 4 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
11	3	snid 4626	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {3}
12	10, 11	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})
13		fvun1 6952	. . 3 ⊢ (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3))
14	5, 9, 12, 13	mp3an 1463	. 2 ⊢ (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3)
15	3, 4	fvsn 7155	. 2 ⊢ ({⟨3, -1⟩}‘3) = -1
16	2, 14, 15	3eqtri 2756	1 ⊢ (𝑃‘3) = -1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913  ∅c0 4296  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5636   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  1c1 11069  -cneg 11406  3c3 12242  ...cfz 13468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-mulcl 11130  ax-i2m1 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-neg 11408  df-2 12249  df-3 12250

This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  28884