Theorem axlowdimlem8 29532

Description: Lemma for axlowdim 29544. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem8	⊢ (𝑃‘3) = -1

Proof of Theorem axlowdimlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2	1	fveq1i 6886	. 2 ⊢ (𝑃‘3) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3)
3		3ex 12428	. . . 4 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 11558	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fnsn 6598	. . 3 ⊢ {⟨3, -1⟩} Fn {3}
6		c0ex 11303	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6768	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
8		ffn 6709	. . . 4 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
10		disjdif 4425	. . . 4 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
11	3	snid 4619	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {3}
12	10, 11	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})
13		fvun1 6976	. . 3 ⊢ (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3))
14	5, 9, 12, 13	mp3an 1490	. 2 ⊢ (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3)
15	3, 4	fvsn 7186	. 2 ⊢ ({⟨3, -1⟩}‘3) = -1
16	2, 14, 15	3eqtri 2787	1 ⊢ (𝑃‘3) = -1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584  ⟨cop 4834   × cxp 5648   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11203  1c1 11204   -cneg 11545  3c3 12401  ...cfz 13642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-mulcl 11265  ax-i2m1 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-neg 11547  df-2 12408  df-3 12409

This theorem is used by:  axlowdimlem16  29540