Theorem axlowdimlem8 27345

Description: Lemma for axlowdim 27357. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem8	⊢ (𝑃‘3) = -1

Proof of Theorem axlowdimlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2	1	fveq1i 6793	. 2 ⊢ (𝑃‘3) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3)
3		3ex 12083	. . . 4 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 11247	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fnsn 6509	. . 3 ⊢ {⟨3, -1⟩} Fn {3}
6		c0ex 10997	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6678	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
8		ffn 6618	. . . 4 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
10		disjdif 4408	. . . 4 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
11	3	snid 4600	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {3}
12	10, 11	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})
13		fvun1 6879	. . 3 ⊢ (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3))
14	5, 9, 12, 13	mp3an 1459	. 2 ⊢ (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3)
15	3, 4	fvsn 7073	. 2 ⊢ ({⟨3, -1⟩}‘3) = -1
16	2, 14, 15	3eqtri 2765	1 ⊢ (𝑃‘3) = -1

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888  ∅c0 4259  {csn 4564  ⟨cop 4570   × cxp 5589   Fn wfn 6442  ⟶wf 6443  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  0cc0 10899  1c1 10900  -cneg 11234  3c3 12057  ...cfz 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pr 5355  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-mulcl 10961  ax-i2m1 10967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-fv 6455  df-ov 7298  df-neg 11236  df-2 12064  df-3 12065

This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  27353