Theorem axlowdimlem8 27012

Description: Lemma for axlowdim 27024. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem8	⊢ (𝑃‘3) = -1

Proof of Theorem axlowdimlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2	1	fveq1i 6707	. 2 ⊢ (𝑃‘3) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3)
3		3ex 11895	. . . 4 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 11059	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fnsn 6427	. . 3 ⊢ {⟨3, -1⟩} Fn {3}
6		c0ex 10810	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6594	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
8		ffn 6534	. . . 4 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
10		disjdif 4376	. . . 4 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
11	3	snid 4567	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {3}
12	10, 11	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})
13		fvun1 6791	. . 3 ⊢ (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3))
14	5, 9, 12, 13	mp3an 1463	. 2 ⊢ (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3)
15	3, 4	fvsn 6985	. 2 ⊢ ({⟨3, -1⟩}‘3) = -1
16	2, 14, 15	3eqtri 2766	1 ⊢ (𝑃‘3) = -1

Syntax hints:   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3854   ∪ cun 3855   ∩ cin 3856  ∅c0 4227  {csn 4531  ⟨cop 4537   × cxp 5538   Fn wfn 6364  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  0cc0 10712  1c1 10713  -cneg 11046  3c3 11869  ...cfz 13078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pr 5311  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-mulcl 10774  ax-i2m1 10780

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-fv 6377  df-ov 7205  df-neg 11048  df-2 11876  df-3 11877

This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  27020