Theorem axlowdimlem8 29557

Description: Lemma for axlowdim 29569. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem8	⊢ (𝑃‘3) = -1

Proof of Theorem axlowdimlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2	1	fveq1i 6909	. 2 ⊢ (𝑃‘3) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3)
3		3ex 12452	. . . 4 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 11582	. . . 4 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fnsn 6620	. . 3 ⊢ {⟨3, -1⟩} Fn {3}
6		c0ex 11327	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
7	6	fconst 6790	. . . 4 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
8		ffn 6731	. . . 4 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
9	7, 8	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
10		disjdif 4429	. . . 4 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
11	3	snid 4623	. . . 4 ⊢ 3 ∈ {3}
12	10, 11	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})
13		fvun1 6999	. . 3 ⊢ (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3))
14	5, 9, 12, 13	mp3an 1491	. 2 ⊢ (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3)
15	3, 4	fvsn 7209	. 2 ⊢ ({⟨3, -1⟩}‘3) = -1
16	2, 14, 15	3eqtri 2790	1 ⊢ (𝑃‘3) = -1

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   × cxp 5653   Fn wfn 6553  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   -cneg 11569  3c3 12425  ...cfz 13666

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-mulcl 11289  ax-i2m1 11295

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-fv 6566  df-ov 7446  df-neg 11571  df-2 12432  df-3 12433

This theorem is used by:  axlowdimlem16  29565