MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem axlowdimlem7 28470
Description: Lemma for axlowdim 28483. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑃 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0}))
2 eqid 2731 . . . . . . . 8 {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3 3ex 12299 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
4 negex 11463 . . . . . . . . 9 -1 ∈ V
53, 4fsn 7136 . . . . . . . 8 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟢{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
62, 5mpbir 230 . . . . . . 7 {⟨3, -1⟩}:{3}⟢{-1}
7 neg1rr 12332 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
8 snssi 4812 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ β†’ {-1} βŠ† ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 {-1} βŠ† ℝ
10 fss 6735 . . . . . . 7 (({⟨3, -1⟩}:{3}⟢{-1} ∧ {-1} βŠ† ℝ) β†’ {⟨3, -1⟩}:{3}βŸΆβ„)
116, 9, 10mp2an 689 . . . . . 6 {⟨3, -1⟩}:{3}βŸΆβ„
12 0re 11221 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6782 . . . . . 6 (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0}):((1...𝑁) βˆ– {3})βŸΆβ„
1411, 13pm3.2i 470 . . . . 5 ({⟨3, -1⟩}:{3}βŸΆβ„ ∧ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0}):((1...𝑁) βˆ– {3})βŸΆβ„)
15 disjdif 4472 . . . . 5 ({3} ∩ ((1...𝑁) βˆ– {3})) = βˆ…
16 fun2 6755 . . . . 5 ((({⟨3, -1⟩}:{3}βŸΆβ„ ∧ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0}):((1...𝑁) βˆ– {3})βŸΆβ„) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) βˆ– {3})) = βˆ…) β†’ ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})):({3} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {3}))βŸΆβ„)
1714, 15, 16mp2an 689 . . . 4 ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})):({3} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {3}))βŸΆβ„
18 eluzle 12840 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 3 ≀ 𝑁)
19 1le3 12429 . . . . . . . . 9 1 ≀ 3
2018, 19jctil 519 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (1 ≀ 3 ∧ 3 ≀ 𝑁))
21 3z 12600 . . . . . . . . 9 3 ∈ β„€
22 1z 12597 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
23 eluzelz 12837 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
24 elfz 13495 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ β„€ ∧ 1 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≀ 3 ∧ 3 ≀ 𝑁)))
2521, 22, 23, 24mp3an12i 1464 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≀ 3 ∧ 3 ≀ 𝑁)))
2620, 25mpbird 256 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 3 ∈ (1...𝑁))
2726snssd 4813 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ {3} βŠ† (1...𝑁))
28 undif 4482 . . . . . 6 ({3} βŠ† (1...𝑁) ↔ ({3} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {3})) = (1...𝑁))
2927, 28sylib 217 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ({3} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {3})) = (1...𝑁))
3029feq2d 6704 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})):({3} βˆͺ ((1...𝑁) βˆ– {3}))βŸΆβ„ ↔ ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})):(1...𝑁)βŸΆβ„))
3117, 30mpbii 232 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})):(1...𝑁)βŸΆβ„)
32 eluzge3nn 12879 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
33 elee 28416 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})):(1...𝑁)βŸΆβ„))
3432, 33syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ (({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘) ↔ ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})):(1...𝑁)βŸΆβ„))
3531, 34mpbird 256 . 2 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ ({⟨3, -1⟩} βˆͺ (((1...𝑁) βˆ– {3}) Γ— {0})) ∈ (π”Όβ€˜π‘))
361, 35eqeltrid 2836 1 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) β†’ 𝑃 ∈ (π”Όβ€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   ≀ cle 11254  -cneg 11450  β„•cn 12217  3c3 12273  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  ...cfz 13489  π”Όcee 28410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-ee 28413
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28478  axlowdimlem16  28479  axlowdimlem17  28480
  Copyright terms: Public domain W3C validator