MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem7 26185
Description: Lemma for axlowdim 26198. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2 eqid 2799 . . . . . . . 8 {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3 3ex 11396 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
4 negex 10570 . . . . . . . . 9 -1 ∈ V
53, 4fsn 6629 . . . . . . . 8 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
62, 5mpbir 223 . . . . . . 7 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7 neg1rr 11435 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
8 snssi 4527 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 {-1} ⊆ ℝ
10 fss 6269 . . . . . . 7 (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
116, 9, 10mp2an 684 . . . . . 6 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12 0re 10330 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6310 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
1411, 13pm3.2i 463 . . . . 5 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15 disjdif 4234 . . . . 5 ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16 fun2 6282 . . . . 5 ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
1714, 15, 16mp2an 684 . . . 4 ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18 eluzle 11943 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19 1le3 11532 . . . . . . . . 9 1 ≤ 3
2018, 19jctil 516 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21 eluzelz 11940 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
22 3z 11700 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
23 1z 11697 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℤ
24 elfz 12586 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2522, 23, 24mp3an12 1576 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2621, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2720, 26mpbird 249 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
2827snssd 4528 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
29 undif 4243 . . . . . 6 ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
3028, 29sylib 210 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
3130feq2d 6242 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3217, 31mpbii 225 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
33 eluzge3nn 11974 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
34 elee 26131 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3533, 34syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3632, 35mpbird 249 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
371, 36syl5eqel 2882 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  cdif 3766  cun 3767  cin 3768  wss 3769  c0 4115  {csn 4368  cop 4374   class class class wbr 4843   × cxp 5310  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225  cle 10364  -cneg 10557  cn 11312  3c3 11369  cz 11666  cuz 11930  ...cfz 12580  𝔼cee 26125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-ee 26128
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  26193  axlowdimlem16  26194  axlowdimlem17  26195
  Copyright terms: Public domain W3C validator