Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem7 26651
 Description: Lemma for axlowdim 26664. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2 eqid 2826 . . . . . . . 8 {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3 3ex 11708 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
4 negex 10873 . . . . . . . . 9 -1 ∈ V
53, 4fsn 6893 . . . . . . . 8 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
62, 5mpbir 232 . . . . . . 7 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7 neg1rr 11741 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
8 snssi 4740 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 {-1} ⊆ ℝ
10 fss 6524 . . . . . . 7 (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
116, 9, 10mp2an 688 . . . . . 6 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12 0re 10632 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6566 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
1411, 13pm3.2i 471 . . . . 5 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15 disjdif 4424 . . . . 5 ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16 fun2 6538 . . . . 5 ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
1714, 15, 16mp2an 688 . . . 4 ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18 eluzle 12245 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19 1le3 11838 . . . . . . . . 9 1 ≤ 3
2018, 19jctil 520 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21 3z 12004 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
22 1z 12001 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
23 eluzelz 12242 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 elfz 12888 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2521, 22, 23, 24mp3an12i 1458 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2620, 25mpbird 258 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
2726snssd 4741 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
28 undif 4433 . . . . . 6 ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
2927, 28sylib 219 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
3029feq2d 6497 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3117, 30mpbii 234 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
32 eluzge3nn 12279 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
33 elee 26597 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3432, 33syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3531, 34mpbird 258 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
361, 35eqeltrid 2922 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938   ∩ cin 3939   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  {csn 4564  ⟨cop 4570   class class class wbr 5063   × cxp 5552  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   ≤ cle 10665  -cneg 10860  ℕcn 11627  3c3 11682  ℤcz 11970  ℤ≥cuz 12232  ...cfz 12882  𝔼cee 26591 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-ee 26594 This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  26659  axlowdimlem16  26660  axlowdimlem17  26661
 Copyright terms: Public domain W3C validator