Theorem axlowdimlem7 29017

Description: Lemma for axlowdim 29030. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem7	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3		3ex 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 11391	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fsn 7088	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
6	2, 5	mpbir 231	. . . . . . 7 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7		neg1rr 12145	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
8		snssi 4729	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {-1} ⊆ ℝ
10		fss 6684	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
11	6, 9, 10	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12		0re 11146	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12	fconst6 6730	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
14	11, 13	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15		disjdif 4412	. . . . 5 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16		fun2 6703	. . . . 5 ⊢ ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
17	14, 15, 16	mp2an 693	. . . 4 ⊢ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18		eluzle 12801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19		1le3 12388	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 3
20	18, 19	jctil 519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21		3z 12560	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
22		1z 12557	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		eluzelz 12798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		elfz 13467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
25	21, 22, 23, 24	mp3an12i 1468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
26	20, 25	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
27	26	snssd 4730	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
28		undif 4422	. . . . . 6 ⊢ ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
29	27, 28	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
30	29	feq2d 6652	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
31	17, 30	mpbii 233	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
32		eluz3nn 12839	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
33		elee 28962	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
35	31, 34	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
36	1, 35	eqeltrid 2840	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273  {csn 4567  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11180  -cneg 11378  ℕcn 12174  3c3 12237  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  𝔼cee 28956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-ee 28959

This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  29025  axlowdimlem16  29026  axlowdimlem17  29027