MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem7 27063
Description: Lemma for axlowdim 27076. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2 eqid 2738 . . . . . . . 8 {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3 3ex 11936 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
4 negex 11100 . . . . . . . . 9 -1 ∈ V
53, 4fsn 6968 . . . . . . . 8 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
62, 5mpbir 234 . . . . . . 7 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7 neg1rr 11969 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
8 snssi 4735 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 {-1} ⊆ ℝ
10 fss 6580 . . . . . . 7 (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
116, 9, 10mp2an 692 . . . . . 6 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12 0re 10859 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6627 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
1411, 13pm3.2i 474 . . . . 5 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15 disjdif 4400 . . . . 5 ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16 fun2 6600 . . . . 5 ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
1714, 15, 16mp2an 692 . . . 4 ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18 eluzle 12475 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19 1le3 12066 . . . . . . . . 9 1 ≤ 3
2018, 19jctil 523 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21 3z 12234 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
22 1z 12231 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
23 eluzelz 12472 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 elfz 13125 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2521, 22, 23, 24mp3an12i 1467 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2620, 25mpbird 260 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
2726snssd 4736 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
28 undif 4410 . . . . . 6 ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
2927, 28sylib 221 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
3029feq2d 6549 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3117, 30mpbii 236 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
32 eluzge3nn 12510 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
33 elee 27009 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3432, 33syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3531, 34mpbird 260 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
361, 35eqeltrid 2843 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  cdif 3877  cun 3878  cin 3879  wss 3880  c0 4251  {csn 4555  cop 4561   class class class wbr 5067   × cxp 5563  wf 6393  cfv 6397  (class class class)co 7231  cr 10752  0cc0 10753  1c1 10754  cle 10892  -cneg 11087  cn 11854  3c3 11910  cz 12200  cuz 12462  ...cfz 13119  𝔼cee 27003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5272  ax-pr 5336  ax-un 7541  ax-cnex 10809  ax-resscn 10810  ax-1cn 10811  ax-icn 10812  ax-addcl 10813  ax-addrcl 10814  ax-mulcl 10815  ax-mulrcl 10816  ax-mulcom 10817  ax-addass 10818  ax-mulass 10819  ax-distr 10820  ax-i2m1 10821  ax-1ne0 10822  ax-1rid 10823  ax-rnegex 10824  ax-rrecex 10825  ax-cnre 10826  ax-pre-lttri 10827  ax-pre-lttrn 10828  ax-pre-ltadd 10829  ax-pre-mulgt0 10830
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3422  df-sbc 3709  df-csb 3826  df-dif 3883  df-un 3885  df-in 3887  df-ss 3897  df-pss 3899  df-nul 4252  df-if 4454  df-pw 4529  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4834  df-iun 4920  df-br 5068  df-opab 5130  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5469  df-eprel 5474  df-po 5482  df-so 5483  df-fr 5523  df-we 5525  df-xp 5571  df-rel 5572  df-cnv 5573  df-co 5574  df-dm 5575  df-rn 5576  df-res 5577  df-ima 5578  df-pred 6175  df-ord 6233  df-on 6234  df-lim 6235  df-suc 6236  df-iota 6355  df-fun 6399  df-fn 6400  df-f 6401  df-f1 6402  df-fo 6403  df-f1o 6404  df-fv 6405  df-riota 7188  df-ov 7234  df-oprab 7235  df-mpo 7236  df-om 7663  df-wrecs 8067  df-recs 8128  df-rdg 8166  df-er 8411  df-map 8530  df-en 8647  df-dom 8648  df-sdom 8649  df-pnf 10893  df-mnf 10894  df-xr 10895  df-ltxr 10896  df-le 10897  df-sub 11088  df-neg 11089  df-nn 11855  df-2 11917  df-3 11918  df-z 12201  df-uz 12463  df-fz 13120  df-ee 27006
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  27071  axlowdimlem16  27072  axlowdimlem17  27073
  Copyright terms: Public domain W3C validator