Theorem axlowdimlem7 26736

Description: Lemma for axlowdim 26749. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem7	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2		eqid 2823	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3		3ex 11722	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 10886	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fsn 6899	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
6	2, 5	mpbir 233	. . . . . . 7 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7		neg1rr 11755	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
8		snssi 4743	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {-1} ⊆ ℝ
10		fss 6529	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
11	6, 9, 10	mp2an 690	. . . . . 6 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12		0re 10645	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12	fconst6 6571	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
14	11, 13	pm3.2i 473	. . . . 5 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15		disjdif 4423	. . . . 5 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16		fun2 6543	. . . . 5 ⊢ ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
17	14, 15, 16	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18		eluzle 12259	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19		1le3 11852	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 3
20	18, 19	jctil 522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21		3z 12018	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
22		1z 12015	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		eluzelz 12256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		elfz 12901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
25	21, 22, 23, 24	mp3an12i 1461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
26	20, 25	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
27	26	snssd 4744	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
28		undif 4432	. . . . . 6 ⊢ ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
29	27, 28	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
30	29	feq2d 6502	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
31	17, 30	mpbii 235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
32		eluzge3nn 12293	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
33		elee 26682	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
34	32, 33	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
35	31, 34	mpbird 259	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
36	1, 35	eqeltrid 2919	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3935   ∪ cun 3936   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  {csn 4569  ⟨cop 4575   class class class wbr 5068   × cxp 5555  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   ≤ cle 10678  -cneg 10873  ℕcn 11640  3c3 11696  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ...cfz 12895  𝔼cee 26676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-ee 26679

This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  26744  axlowdimlem16  26745  axlowdimlem17  26746