Theorem axlowdimlem7 29413

Description: Lemma for axlowdim 29426. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem7	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3		3ex 12351	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 11483	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fsn 7133	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
6	2, 5	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7		neg1rr 12232	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
8		snssi 4749	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {-1} ⊆ ℝ
10		fss 6723	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
11	6, 9, 10	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12		0re 11238	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12	fconst6 6769	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
14	11, 13	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15		disjdif 4429	. . . . 5 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16		fun2 6742	. . . . 5 ⊢ ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18		eluzle 12904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19		1le3 12483	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 3
20	18, 19	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21		3z 12655	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
22		1z 12652	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		eluzelz 12901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		elfz 13571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
25	21, 22, 23, 24	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
26	20, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
27	26	snssd 4750	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
28		undif 4441	. . . . . 6 ⊢ ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
29	27, 28	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
30	29	feq2d 6690	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
31	17, 30	mpbii 236	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
32		eluz3nn 12942	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
33		elee 29358	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
34	32, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
35	31, 34	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
36	1, 35	eqeltrid 2866	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  0cc0 11128  1c1 11129   ≤ cle 11272  -cneg 11470  ℕcn 12261  3c3 12324  ℤcz 12619  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  𝔼cee 29352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-ee 29355

This theorem is used by:  axlowdimlem15  29421  axlowdimlem16  29422  axlowdimlem17  29423