MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem7 28978
Description: Lemma for axlowdim 28991. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . 2 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2 eqid 2735 . . . . . . . 8 {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3 3ex 12346 . . . . . . . . 9 3 ∈ V
4 negex 11504 . . . . . . . . 9 -1 ∈ V
53, 4fsn 7155 . . . . . . . 8 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
62, 5mpbir 231 . . . . . . 7 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7 neg1rr 12379 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℝ
8 snssi 4813 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . 7 {-1} ⊆ ℝ
10 fss 6753 . . . . . . 7 (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
116, 9, 10mp2an 692 . . . . . 6 {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12 0re 11261 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
1312fconst6 6799 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
1411, 13pm3.2i 470 . . . . 5 ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15 disjdif 4478 . . . . 5 ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16 fun2 6772 . . . . 5 ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
1714, 15, 16mp2an 692 . . . 4 ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18 eluzle 12889 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19 1le3 12476 . . . . . . . . 9 1 ≤ 3
2018, 19jctil 519 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21 3z 12648 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
22 1z 12645 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
23 eluzelz 12886 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 elfz 13550 . . . . . . . . 9 ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2521, 22, 23, 24mp3an12i 1464 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
2620, 25mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
2726snssd 4814 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
28 undif 4488 . . . . . 6 ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
2927, 28sylib 218 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
3029feq2d 6723 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3117, 30mpbii 233 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
32 eluzge3nn 12930 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
33 elee 28924 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3432, 33syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
3531, 34mpbird 257 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
361, 35eqeltrid 2843 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  cle 11294  -cneg 11491  cn 12264  3c3 12320  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  𝔼cee 28918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-ee 28921
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  28986  axlowdimlem16  28987  axlowdimlem17  28988
  Copyright terms: Public domain W3C validator