Theorem axlowdimlem7 29335

Description: Lemma for axlowdim 29348. Set up a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem7	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. 2 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩}
3		3ex 12341	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ V
4		negex 11473	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ V
5	3, 4	fsn 7138	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ↔ {⟨3, -1⟩} = {⟨3, -1⟩})
6	2, 5	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1}
7		neg1rr 12222	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℝ
8		snssi 4756	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ ℝ → {-1} ⊆ ℝ)
9	7, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ {-1} ⊆ ℝ
10		fss 6729	. . . . . . 7 ⊢ (({⟨3, -1⟩}:{3}⟶{-1} ∧ {-1} ⊆ ℝ) → {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ)
11	6, 9, 10	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ
12		0re 11228	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	12	fconst6 6775	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ
14	11, 13	pm3.2i 476	. . . . 5 ⊢ ({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ)
15		disjdif 4436	. . . . 5 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
16		fun2 6748	. . . . 5 ⊢ ((({⟨3, -1⟩}:{3}⟶ℝ ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶ℝ) ∧ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ)
17	14, 15, 16	mp2an 705	. . . 4 ⊢ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ
18		eluzle 12893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ≤ 𝑁)
19		1le3 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≤ 3
20	18, 19	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁))
21		3z 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℤ
22		1z 12642	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		eluzelz 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		elfz 13559	. . . . . . . . 9 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
25	21, 22, 23, 24	mp3an12i 1494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (3 ∈ (1...𝑁) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 3 ≤ 𝑁)))
26	20, 25	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 3 ∈ (1...𝑁))
27	26	snssd 4757	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {3} ⊆ (1...𝑁))
28		undif 4448	. . . . . 6 ⊢ ({3} ⊆ (1...𝑁) ↔ ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
29	27, 28	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3})) = (1...𝑁))
30	29	feq2d 6696	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):({3} ∪ ((1...𝑁) ∖ {3}))⟶ℝ ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
31	17, 30	mpbii 236	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
32		eluz3nn 12931	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
33		elee 29280	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
34	32, 33	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
35	31, 34	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
36	1, 35	eqeltrid 2870	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑃 ∈ (𝔼‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3905   ∪ cun 3906   ∩ cin 3907   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  {csn 4594  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  ℝcr 11117  0cc0 11118  1c1 11119   ≤ cle 11262  -cneg 11460  ℕcn 12251  3c3 12314  ℤcz 12609  ℤ_≥cuz 12880  ...cfz 13553  𝔼cee 29274

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-ee 29277

This theorem is used by:  axlowdimlem15  29343  axlowdimlem16  29344  axlowdimlem17  29345