Theorem axlowdimlem9 29561

Description: Lemma for axlowdim 29572. Calculate the value of 𝑃 away from three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem9	⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2	1	fveq1i 6912	. 2 ⊢ (𝑃‘𝐾) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾)
3		eldifsn 4748	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3))
4		disjdif 4429	. . . . 5 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
5		3ex 12455	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ V
6		negex 11585	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ V
7	5, 6	fnsn 6623	. . . . . 6 ⊢ {⟨3, -1⟩} Fn {3}
8		c0ex 11330	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6793	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
10		ffn 6734	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
12		fvun2 7003	. . . . . 6 ⊢ (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
13	7, 11, 12	mp3an12 1481	. . . . 5 ⊢ ((({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
14	4, 13	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
15	8	fvconst2 7236	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾) = 0)
16	14, 15	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = 0)
17	3, 16	sylbir 238	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = 0)
18	2, 17	eqtrid 2810	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃‘𝐾) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   × cxp 5654   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   -cneg 11572  3c3 12428  ...cfz 13669

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pr 5396  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-mulcl 11292  ax-i2m1 11298

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7449  df-neg 11574  df-2 12435  df-3 12436

This theorem is used by:  axlowdimlem16  29568  axlowdimlem17  29569