Theorem axlowdimlem9 28965

Description: Lemma for axlowdim 28976. Calculate the value of 𝑃 away from three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
axlowdimlem7.1	⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))

Assertion

Ref	Expression
axlowdimlem9	⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃‘𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlowdimlem7.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
2	1	fveq1i 6907	. 2 ⊢ (𝑃‘𝐾) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾)
3		eldifsn 4786	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3))
4		disjdif 4472	. . . . 5 ⊢ ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
5		3ex 12348	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ V
6		negex 11506	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ V
7	5, 6	fnsn 6624	. . . . . 6 ⊢ {⟨3, -1⟩} Fn {3}
8		c0ex 11255	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
9	8	fconst 6794	. . . . . . 7 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
10		ffn 6736	. . . . . . 7 ⊢ ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
12		fvun2 7001	. . . . . 6 ⊢ (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
13	7, 11, 12	mp3an12 1453	. . . . 5 ⊢ ((({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
14	4, 13	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
15	8	fvconst2 7224	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾) = 0)
16	14, 15	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = 0)
17	3, 16	sylbir 235	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = 0)
18	2, 17	eqtrid 2789	1 ⊢ ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃‘𝐾) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3948   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {csn 4626  ⟨cop 4632   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  -cneg 11493  3c3 12322  ...cfz 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-mulcl 11217  ax-i2m1 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-neg 11495  df-2 12329  df-3 12330

This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  28972  axlowdimlem17  28973