MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem9 28472
Description: Lemma for axlowdim 28483. Calculate the value of 𝑃 away from three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem9 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem9
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . . 3 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
21fveq1i 6893 . 2 (𝑃𝐾) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾)
3 eldifsn 4791 . . 3 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3))
4 disjdif 4472 . . . . 5 ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
5 3ex 12299 . . . . . . 7 3 ∈ V
6 negex 11463 . . . . . . 7 -1 ∈ V
75, 6fnsn 6607 . . . . . 6 {⟨3, -1⟩} Fn {3}
8 c0ex 11213 . . . . . . . 8 0 ∈ V
98fconst 6778 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
10 ffn 6718 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
12 fvun2 6984 . . . . . 6 (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}))) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
137, 11, 12mp3an12 1450 . . . . 5 ((({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
144, 13mpan 687 . . . 4 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾))
158fvconst2 7208 . . . 4 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0})‘𝐾) = 0)
1614, 15eqtrd 2771 . . 3 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {3}) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = 0)
173, 16sylbir 234 . 2 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘𝐾) = 0)
182, 17eqtrid 2783 1 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ 3) → (𝑃𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  cdif 3946  cun 3947  cin 3948  c0 4323  {csn 4629  cop 4635   × cxp 5675   Fn wfn 6539  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114  -cneg 11450  3c3 12273  ...cfz 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-mulcl 11175  ax-i2m1 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7415  df-neg 11452  df-2 12280  df-3 12281
This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  28479  axlowdimlem17  28480
  Copyright terms: Public domain W3C validator