Theorem bj-restsn0 37902

Description: An elementwise intersection on the singleton on the empty set is the singleton on the empty set. Special case of bj-restsn 37899 and bj-restsnss2 37901. TODO: this is restsn 23427. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Proof of Theorem bj-restsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4350	. 2 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		bj-restsnss2 37901	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584  (class class class)co 7416   ↾_t crest 17530

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-rest 17532

This theorem is used by: (None)