Theorem bj-restsn0 37078

Description: An elementwise intersection on the singleton on the empty set is the singleton on the empty set. Special case of bj-restsn 37075 and bj-restsnss2 37077. TODO: this is restsn 23074. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Proof of Theorem bj-restsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4353	. 2 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		bj-restsnss2 37077	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4579  (class class class)co 7353   ↾_t crest 17343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-rest 17345

This theorem is referenced by: (None)