Theorem bj-restsn0 38006

Description: An elementwise intersection on the singleton on the empty set is the singleton on the empty set. Special case of bj-restsn 38003 and bj-restsnss2 38005. TODO: this is restsn 23488. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsn0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Proof of Theorem bj-restsn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4349	. 2 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
2		bj-restsnss2 38005	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})
3	1, 2	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  {csn 4583  (class class class)co 7420   ↾_t crest 17591

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-rest 17593

This theorem is used by: (None)