Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restsnss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restsnss2 34990
Description: Special case of bj-restsn 34988. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restsnss2 ((𝐴𝑉𝑌𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Proof of Theorem bj-restsnss2
StepHypRef Expression
1 df-ss 3883 . . 3 (𝑌𝐴 ↔ (𝑌𝐴) = 𝑌)
2 sneq 4551 . . 3 ((𝑌𝐴) = 𝑌 → {(𝑌𝐴)} = {𝑌})
31, 2sylbi 220 . 2 (𝑌𝐴 → {(𝑌𝐴)} = {𝑌})
4 ssexg 5216 . . . 4 ((𝑌𝐴𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ V)
54ancoms 462 . . 3 ((𝐴𝑉𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ V)
6 bj-restsn 34988 . . . 4 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
76ancoms 462 . . 3 ((𝐴𝑉𝑌 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
85, 7syldan 594 . 2 ((𝐴𝑉𝑌𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
9 eqeq2 2749 . . 3 ({(𝑌𝐴)} = {𝑌} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌}))
109biimpa 480 . 2 (({(𝑌𝐴)} = {𝑌} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})
113, 8, 10syl2an2 686 1 ((𝐴𝑉𝑌𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  Vcvv 3408  cin 3865  wss 3866  {csn 4541  (class class class)co 7213  t crest 16925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-rest 16927
This theorem is referenced by:  bj-restsn0  34991
  Copyright terms: Public domain W3C validator