Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-restsnss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bj-restsnss2 36616
Description: Special case of bj-restsn 36614. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
bj-restsnss2 ((𝐴𝑉𝑌𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Proof of Theorem bj-restsnss2
StepHypRef Expression
1 dfss2 3959 . . 3 (𝑌𝐴 ↔ (𝑌𝐴) = 𝑌)
2 sneq 4635 . . 3 ((𝑌𝐴) = 𝑌 → {(𝑌𝐴)} = {𝑌})
31, 2sylbi 216 . 2 (𝑌𝐴 → {(𝑌𝐴)} = {𝑌})
4 ssexg 5319 . . . 4 ((𝑌𝐴𝐴𝑉) → 𝑌 ∈ V)
54ancoms 457 . . 3 ((𝐴𝑉𝑌𝐴) → 𝑌 ∈ V)
6 bj-restsn 36614 . . . 4 ((𝑌 ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
76ancoms 457 . . 3 ((𝐴𝑉𝑌 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
85, 7syldan 589 . 2 ((𝐴𝑉𝑌𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)})
9 eqeq2 2737 . . 3 ({(𝑌𝐴)} = {𝑌} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌}))
109biimpa 475 . 2 (({(𝑌𝐴)} = {𝑌} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})
113, 8, 10syl2an2 684 1 ((𝐴𝑉𝑌𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  cin 3940  wss 3941  {csn 4625  (class class class)co 7413  t crest 17396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-rest 17398
This theorem is referenced by:  bj-restsn0  36617
  Copyright terms: Public domain W3C validator