Theorem bj-restsnss2 37067

Description: Special case of bj-restsn 37065. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsnss2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Proof of Theorem bj-restsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3981	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝑌)
2		sneq 4641	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝐴) = 𝑌 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌})
3	1, 2	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌})
4		ssexg 5329	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ V)
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑌 ∈ V)
6		bj-restsn 37065	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
8	5, 7	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
9		eqeq2 2747	. . 3 ⊢ ({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌}))
10	9	biimpa 476	. 2 ⊢ (({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})
11	3, 8, 10	syl2an2 686	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  {csn 4631  (class class class)co 7431   ↾_t crest 17467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-rest 17469

This theorem is referenced by:  bj-restsn0  37068