Theorem bj-restsnss2 36486

Description: Special case of bj-restsn 36484. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsnss2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Proof of Theorem bj-restsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3961	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝑌)
2		sneq 4634	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝐴) = 𝑌 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌})
3	1, 2	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌})
4		ssexg 5317	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ V)
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑌 ∈ V)
6		bj-restsn 36484	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
8	5, 7	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
9		eqeq2 2739	. . 3 ⊢ ({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌}))
10	9	biimpa 476	. 2 ⊢ (({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})
11	3, 8, 10	syl2an2 685	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  {csn 4624  (class class class)co 7414   ↾_t crest 17387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-rest 17389

This theorem is referenced by:  bj-restsn0  36487