Theorem bj-restsnss2 37126

Description: Special case of bj-restsn 37124. (Contributed by BJ, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
bj-restsnss2	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Proof of Theorem bj-restsnss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3915	. . 3 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑌 ∩ 𝐴) = 𝑌)
2		sneq 4583	. . 3 ⊢ ((𝑌 ∩ 𝐴) = 𝑌 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌})
3	1, 2	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → {(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌})
4		ssexg 5259	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ V)
5	4	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → 𝑌 ∈ V)
6		bj-restsn 37124	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
7	6	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ V) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
8	5, 7	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)})
9		eqeq2 2743	. . 3 ⊢ ({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌} → (({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)} ↔ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌}))
10	9	biimpa 476	. 2 ⊢ (({(𝑌 ∩ 𝐴)} = {𝑌} ∧ ({𝑌} ↾t 𝐴) = {(𝑌 ∩ 𝐴)}) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})
11	3, 8, 10	syl2an2 686	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ({𝑌} ↾t 𝐴) = {𝑌})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  {csn 4573  (class class class)co 7346   ↾_t crest 17324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-rest 17326

This theorem is referenced by:  bj-restsn0  37127