Theorem restsn 22229

Description: The only subspace topology induced by the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Proof of Theorem restsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 22057	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
2		elrest 17055	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4		0ex 5226	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5		ineq1 4136	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
6		0in 4324	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝐴) = ∅)
8	7	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅))
9	4, 8	rexsn 4615	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅)
10		velsn 4574	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
11	9, 10	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
12	3, 11	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
13	12	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {csn 4558  (class class class)co 7255   ↾_t crest 17048  Topctop 21950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-rest 17050  df-top 21951  df-topon 21968

This theorem is referenced by: (None)