Theorem restsn 23165

Description: The only subspace topology induced by the topology {∅}. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
restsn	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Proof of Theorem restsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sn0top 22993	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Top
2		elrest 17442	. . . 4 ⊢ (({∅} ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
3	1, 2	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴)))
4		0ex 5312	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
5		ineq1 4206	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝐴) = (∅ ∩ 𝐴))
6		0in 4398	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∩ 𝐴) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2782	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 ∩ 𝐴) = ∅)
8	7	eqeq2d 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅))
9	4, 8	rexsn 4691	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 = ∅)
10		velsn 4649	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {∅} ↔ 𝑥 = ∅)
11	9, 10	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ {∅}𝑥 = (𝑦 ∩ 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅})
12	3, 11	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ ({∅} ↾t 𝐴) ↔ 𝑥 ∈ {∅}))
13	12	eqrdv 2724	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ↾t 𝐴) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060   ∩ cin 3946  ∅c0 4325  {csn 4633  (class class class)co 7424   ↾_t crest 17435  Topctop 22886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-rest 17437  df-top 22887  df-topon 22904

This theorem is referenced by: (None)