Theorem bnj168 35361

Description: First-order logic and set theory. Revised to remove dependence on ax-reg 9586. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Revised by NM, 21-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj168.1	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})

Assertion

Ref	Expression
bnj168	⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚)

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚, 𝑛)

Proof of Theorem bnj168

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj168.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
2	1	bnj158 35360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐷 → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
3	2	anim2i 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → (𝑛 ≠ 1o ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
4		r19.42v 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ↔ (𝑛 ≠ 1o ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
5	3, 4	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
6		neeq1 3017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑛 ≠ 1o ↔ suc 𝑚 ≠ 1o))
7	6	biimpac 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → suc 𝑚 ≠ 1o)
8		df-1o 8476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o = suc ∅
9	8	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc 𝑚 = 1o ↔ suc 𝑚 = suc ∅)
10		nnon 7883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ On)
11		0elon 6418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ On
12		suc11 6472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (suc 𝑚 = suc ∅ ↔ 𝑚 = ∅))
13	10, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (suc 𝑚 = suc ∅ ↔ 𝑚 = ∅))
14	9, 13	bitr2id 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 = ∅ ↔ suc 𝑚 = 1o))
15	14	necon3bid 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ≠ ∅ ↔ suc 𝑚 ≠ 1o))
16	7, 15	imbitrrid 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝑚 ≠ ∅))
17	16	ancld 560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
18	17	reximia 3097	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅))
19	5, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅))
20		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
21	20	rexbii 3109	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
22	19, 21	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
23		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅))
24	22, 23	bnj31 35350	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅))
25		df-rex 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
26	24, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅) → 𝑚 ≠ ∅)
28	27	anim2i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅))
29	1	eleq2i 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐷 ↔ 𝑚 ∈ (ω ∖ {∅}))
30		eldifsn 4747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅))
31	29, 30	bitr2i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ 𝑚 ∈ 𝐷)
32	28, 31	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → 𝑚 ∈ 𝐷)
33		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → 𝑛 = suc 𝑚)
34	32, 33	jca 521	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
35	34	eximi 1867	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
36	26, 35	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
37		df-rex 3087	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
38	36, 37	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4045  ∅c0 4278  {csn 4583  Oncon0 6362  suc csuc 6364  ωcom 7877  1_oc1o 8469

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-om 7878  df-1o 8476

This theorem is used by:  bnj600  35549