Theorem bnj168 32110

Description: First-order logic and set theory. Revised to remove dependence on ax-reg 9040. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Revised by NM, 21-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj168.1	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})

Assertion

Ref	Expression
bnj168	⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚)

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem bnj168

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj168.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
2	1	bnj158 32109	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐷 → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
3	2	anim2i 619	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → (𝑛 ≠ 1o ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
4		r19.42v 3303	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ↔ (𝑛 ≠ 1o ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
5	3, 4	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
6		neeq1 3049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑛 ≠ 1o ↔ suc 𝑚 ≠ 1o))
7	6	biimpac 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → suc 𝑚 ≠ 1o)
8		df-1o 8085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o = suc ∅
9	8	eqeq2i 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc 𝑚 = 1o ↔ suc 𝑚 = suc ∅)
10		nnon 7566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ On)
11		0elon 6212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ On
12		suc11 6262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (suc 𝑚 = suc ∅ ↔ 𝑚 = ∅))
13	10, 11, 12	sylancl 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (suc 𝑚 = suc ∅ ↔ 𝑚 = ∅))
14	9, 13	syl5rbb 287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 = ∅ ↔ suc 𝑚 = 1o))
15	14	necon3bid 3031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ≠ ∅ ↔ suc 𝑚 ≠ 1o))
16	7, 15	syl5ibr 249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝑚 ≠ ∅))
17	16	ancld 554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
18	17	reximia 3205	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅))
19	5, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅))
20		anass 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
21	20	rexbii 3210	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
22	19, 21	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
23		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅))
24	22, 23	bnj31 32099	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅))
25		df-rex 3112	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
26	24, 25	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
27		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅) → 𝑚 ≠ ∅)
28	27	anim2i 619	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅))
29	1	eleq2i 2881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐷 ↔ 𝑚 ∈ (ω ∖ {∅}))
30		eldifsn 4680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅))
31	29, 30	bitr2i 279	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ 𝑚 ∈ 𝐷)
32	28, 31	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → 𝑚 ∈ 𝐷)
33		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → 𝑛 = suc 𝑚)
34	32, 33	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
35	34	eximi 1836	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
36	26, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
37		df-rex 3112	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
38	36, 37	sylibr 237	1 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878  ∅c0 4243  {csn 4525  Oncon0 6159  suc csuc 6161  ωcom 7560  1_oc1o 8078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-tr 5137  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-om 7561  df-1o 8085

This theorem is referenced by:  bnj600  32301