Theorem bnj168 32609

Description: First-order logic and set theory. Revised to remove dependence on ax-reg 9281. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Revised by NM, 21-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bnj168.1	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})

Assertion

Ref	Expression
bnj168	⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚)

Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem bnj168

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj168.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
2	1	bnj158 32608	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝐷 → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
3	2	anim2i 616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → (𝑛 ≠ 1o ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
4		r19.42v 3276	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ↔ (𝑛 ≠ 1o ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
5	3, 4	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
6		neeq1 3005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑛 ≠ 1o ↔ suc 𝑚 ≠ 1o))
7	6	biimpac 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → suc 𝑚 ≠ 1o)
8		df-1o 8267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o = suc ∅
9	8	eqeq2i 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (suc 𝑚 = 1o ↔ suc 𝑚 = suc ∅)
10		nnon 7693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ On)
11		0elon 6304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∅ ∈ On
12		suc11 6354	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (suc 𝑚 = suc ∅ ↔ 𝑚 = ∅))
13	10, 11, 12	sylancl 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (suc 𝑚 = suc ∅ ↔ 𝑚 = ∅))
14	9, 13	bitr2id 283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 = ∅ ↔ suc 𝑚 = 1o))
15	14	necon3bid 2987	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ≠ ∅ ↔ suc 𝑚 ≠ 1o))
16	7, 15	syl5ibr 245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → 𝑚 ≠ ∅))
17	16	ancld 550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ω → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
18	17	reximia 3172	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅))
19	5, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅))
20		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
21	20	rexbii 3177	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
22	19, 21	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
23		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅))
24	22, 23	bnj31 32598	. . . 4 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅))
25		df-rex 3069	. . . 4 ⊢ (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
26	24, 25	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅) → 𝑚 ≠ ∅)
28	27	anim2i 616	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅))
29	1	eleq2i 2830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ 𝐷 ↔ 𝑚 ∈ (ω ∖ {∅}))
30		eldifsn 4717	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅))
31	29, 30	bitr2i 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ 𝑚 ∈ 𝐷)
32	28, 31	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → 𝑚 ∈ 𝐷)
33		simprl 767	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → 𝑛 = suc 𝑚)
34	32, 33	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → (𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
35	34	eximi 1838	. . 3 ⊢ (∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ ∅)) → ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
36	26, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
37		df-rex 3069	. 2 ⊢ (∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ 𝐷 ∧ 𝑛 = suc 𝑚))
38	36, 37	sylibr 233	1 ⊢ ((𝑛 ≠ 1o ∧ 𝑛 ∈ 𝐷) → ∃𝑚 ∈ 𝐷 𝑛 = suc 𝑚)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1783   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∖ cdif 3880  ∅c0 4253  {csn 4558  Oncon0 6251  suc csuc 6253  ωcom 7687  1_oc1o 8260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-tr 5188  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-om 7688  df-1o 8267

This theorem is referenced by:  bnj600  32799