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Theorem bnj168 31137
Description: First-order logic and set theory. Revised to remove dependence on ax-reg 8654. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (Revised by NM, 21-Dec-2016.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bnj168.1 𝐷 = (ω ∖ {∅})
Assertion
Ref Expression
bnj168 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → ∃𝑚𝐷 𝑛 = suc 𝑚)
Distinct variable group:   𝑚,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem bnj168
StepHypRef Expression
1 bnj168.1 . . . . . . . . . 10 𝐷 = (ω ∖ {∅})
21bnj158 31136 . . . . . . . . 9 (𝑛𝐷 → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
32anim2i 597 . . . . . . . 8 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → (𝑛 ≠ 1𝑜 ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
4 r19.42v 3240 . . . . . . . 8 (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) ↔ (𝑛 ≠ 1𝑜 ∧ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
53, 4sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚))
6 neeq1 3005 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = suc 𝑚 → (𝑛 ≠ 1𝑜 ↔ suc 𝑚 ≠ 1𝑜))
76biimpac 464 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) → suc 𝑚 ≠ 1𝑜)
8 df-1o 7714 . . . . . . . . . . . . 13 1𝑜 = suc ∅
98eqeq2i 2783 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑚 = 1𝑜 ↔ suc 𝑚 = suc ∅)
10 nnon 7219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ On)
11 0elon 5922 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ∈ On
12 suc11 5975 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (suc 𝑚 = suc ∅ ↔ 𝑚 = ∅))
1310, 11, 12sylancl 568 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ω → (suc 𝑚 = suc ∅ ↔ 𝑚 = ∅))
149, 13syl5rbb 273 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ω → (𝑚 = ∅ ↔ suc 𝑚 = 1𝑜))
1514necon3bid 2987 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ω → (𝑚 ≠ ∅ ↔ suc 𝑚 ≠ 1𝑜))
167, 15syl5ibr 236 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ω → ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) → 𝑚 ≠ ∅))
1716ancld 534 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ω → ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) → ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅)))
1817reximia 3157 . . . . . . 7 (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅))
195, 18syl 17 . . . . . 6 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅))
20 anass 459 . . . . . . 7 (((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ (𝑛 ≠ 1𝑜 ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)))
2120rexbii 3189 . . . . . 6 (∃𝑚 ∈ ω ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛 = suc 𝑚) ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1𝑜 ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)))
2219, 21sylib 208 . . . . 5 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 ≠ 1𝑜 ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)))
23 simpr 471 . . . . 5 ((𝑛 ≠ 1𝑜 ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)) → (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅))
2422, 23bnj31 31126 . . . 4 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → ∃𝑚 ∈ ω (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅))
25 df-rex 3067 . . . 4 (∃𝑚 ∈ ω (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅) ↔ ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)))
2624, 25sylib 208 . . 3 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → ∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)))
27 simpr 471 . . . . . . 7 ((𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅) → 𝑚 ≠ ∅)
2827anim2i 597 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)) → (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅))
291eleq2i 2842 . . . . . . 7 (𝑚𝐷𝑚 ∈ (ω ∖ {∅}))
30 eldifsn 4454 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ (ω ∖ {∅}) ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅))
3129, 30bitr2i 265 . . . . . 6 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≠ ∅) ↔ 𝑚𝐷)
3228, 31sylib 208 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)) → 𝑚𝐷)
33 simprl 748 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)) → 𝑛 = suc 𝑚)
3432, 33jca 497 . . . 4 ((𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)) → (𝑚𝐷𝑛 = suc 𝑚))
3534eximi 1910 . . 3 (∃𝑚(𝑚 ∈ ω ∧ (𝑛 = suc 𝑚𝑚 ≠ ∅)) → ∃𝑚(𝑚𝐷𝑛 = suc 𝑚))
3626, 35syl 17 . 2 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → ∃𝑚(𝑚𝐷𝑛 = suc 𝑚))
37 df-rex 3067 . 2 (∃𝑚𝐷 𝑛 = suc 𝑚 ↔ ∃𝑚(𝑚𝐷𝑛 = suc 𝑚))
3836, 37sylibr 224 1 ((𝑛 ≠ 1𝑜𝑛𝐷) → ∃𝑚𝐷 𝑛 = suc 𝑚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  cdif 3721  c0 4064  {csn 4317  Oncon0 5867  suc csuc 5869  ωcom 7213  1𝑜c1o 7707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-tr 4888  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-om 7214  df-1o 7714
This theorem is referenced by:  bnj600  31328
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