Users' Mathboxes Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj996 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj996 33967
Description: Technical lemma for bnj69 34021. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj996.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj996.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.3 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
bnj996.4 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.5 (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚𝑝 = suc 𝑛))
bnj996.6 (𝜂 ↔ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
bnj996.13 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj996.14 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
Assertion
Ref Expression
bnj996 𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝜒,𝑚,𝑝   𝜂,𝑚,𝑝   𝜃,𝑓,𝑖,𝑛   𝜑,𝑖   𝑚,𝑛,𝜃,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜓(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜃(𝑦,𝑧)   𝜏(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝜂(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐴(𝑧,𝑚,𝑝)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑚,𝑛,𝑝)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑓,𝑚,𝑛,𝑝)   𝑅(𝑧,𝑚,𝑝)   𝑋(𝑧,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem bnj996
StepHypRef Expression
1 bnj996.4 . . . . 5 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
2 bnj996.1 . . . . . 6 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
3 bnj996.2 . . . . . 6 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4 bnj996.13 . . . . . 6 𝐷 = (ω ∖ {∅})
5 bnj996.14 . . . . . 6 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
6 bnj996.3 . . . . . 6 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
72, 3, 4, 5, 6bnj917 33945 . . . . 5 (𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
81, 7bnj771 33775 . . . 4 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
9 3anass 1096 . . . . . 6 ((𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖))))
10 bnj996.6 . . . . . . 7 (𝜂 ↔ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)))
1110anbi2i 624 . . . . . 6 ((𝜒𝜂) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖))))
129, 11bitr4i 278 . . . . 5 ((𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝜂))
13123exbii 1853 . . . 4 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑦 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝜂))
148, 13sylib 217 . . 3 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝜂))
15 bnj996.5 . . . . . . . . . 10 (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚𝑝 = suc 𝑛))
166, 4, 15bnj986 33966 . . . . . . . . 9 (𝜒 → ∃𝑚𝑝𝜏)
1716ancli 550 . . . . . . . 8 (𝜒 → (𝜒 ∧ ∃𝑚𝑝𝜏))
18 19.42vv 1962 . . . . . . . 8 (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑚𝑝𝜏))
1917, 18sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜒 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏))
2019anim1i 616 . . . . . 6 ((𝜒𝜂) → (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
21 19.41vv 1955 . . . . . 6 (∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂) ↔ (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
2220, 21sylibr 233 . . . . 5 ((𝜒𝜂) → ∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
23 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝜒𝜏𝜂) ↔ ((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
24232exbii 1852 . . . . 5 (∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂) ↔ ∃𝑚𝑝((𝜒𝜏) ∧ 𝜂))
2522, 24sylibr 233 . . . 4 ((𝜒𝜂) → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
26252eximi 1839 . . 3 (∃𝑛𝑖(𝜒𝜂) → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
2714, 26bnj593 33756 . 2 (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂))
28 19.37v 1996 . . . . . . . . . 10 (∃𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
2928exbii 1851 . . . . . . . . 9 (∃𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑚(𝜃 → ∃𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3029bnj132 33737 . . . . . . . 8 (∃𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3130exbii 1851 . . . . . . 7 (∃𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑖(𝜃 → ∃𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3231bnj132 33737 . . . . . 6 (∃𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3332exbii 1851 . . . . 5 (∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑛(𝜃 → ∃𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3433bnj132 33737 . . . 4 (∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3534exbii 1851 . . 3 (∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ ∃𝑓(𝜃 → ∃𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3635bnj132 33737 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜒𝜏𝜂)))
3727, 36mpbir 230 1 𝑓𝑛𝑖𝑚𝑝(𝜃 → (𝜒𝜏𝜂))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wral 3062  wrex 3071  cdif 3946  c0 4323  {csn 4629   ciun 4998  suc csuc 6367   Fn wfn 6539  cfv 6544  ωcom 7855  w-bnj17 33697   predc-bnj14 33699   FrSe w-bnj15 33703   trClc-bnj18 33705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-tr 5267  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-fn 6547  df-om 7856  df-bnj17 33698  df-bnj18 33706
This theorem is referenced by:  bnj1021  33977
  Copyright terms: Public domain W3C validator