Theorem bnj996 35353

Description: Technical lemma for bnj69 35407. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bnj996.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj996.2	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖 ∈ 𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = ∪ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.3	⊢ (𝜒 ↔ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 Fn 𝑛 ∧ 𝜑 ∧ 𝜓))
bnj996.4	⊢ (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj996.5	⊢ (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑝 = suc 𝑛))
bnj996.6	⊢ (𝜂 ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)))
bnj996.13	⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj996.14	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝐷 (𝑓 Fn 𝑛 ∧ 𝜑 ∧ 𝜓)}

Assertion

Ref	Expression
bnj996	⊢ ∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝜒,𝑚,𝑝   𝜂,𝑚,𝑝   𝜃,𝑓,𝑖,𝑛   𝜑,𝑖   𝑚,𝑛,𝜃,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝜓(𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑖, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝜒(𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑖, 𝑛)   𝜃(𝑦, 𝑧)   𝜏(𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑖, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝜂(𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑖, 𝑛)   𝐴(𝑧, 𝑚, 𝑝)   𝐵(𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑖, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝐷(𝑦, 𝑧, 𝑓, 𝑚, 𝑛, 𝑝)   𝑅(𝑧, 𝑚, 𝑝)   𝑋(𝑧, 𝑚, 𝑝)

Proof of Theorem bnj996

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj996.4	. . . . 5 ⊢ (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ∧ 𝑧 ∈ pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
2		bnj996.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
3		bnj996.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖 ∈ 𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = ∪ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
4		bnj996.13	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ω ∖ {∅})
5		bnj996.14	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ 𝐷 (𝑓 Fn 𝑛 ∧ 𝜑 ∧ 𝜓)}
6		bnj996.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜒 ↔ (𝑛 ∈ 𝐷 ∧ 𝑓 Fn 𝑛 ∧ 𝜑 ∧ 𝜓))
7	2, 3, 4, 5, 6	bnj917 35331	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)))
8	1, 7	bnj771 35162	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)))
9		3anass 1110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖))))
10		bnj996.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜂 ↔ (𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)))
11	10	anbi2i 634	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜂) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖))))
12	9, 11	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ 𝜂))
13	12	3exbii 1879	. . . 4 ⊢ (∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝑖 ∈ 𝑛 ∧ 𝑦 ∈ (𝑓‘𝑖)) ↔ ∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝜂))
14	8, 13	sylib 221	. . 3 ⊢ (𝜃 → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝜂))
15		bnj996.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜏 ↔ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚 ∧ 𝑝 = suc 𝑛))
16	6, 4, 15	bnj986 35352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜒 → ∃𝑚∃𝑝𝜏)
17	16	ancli 557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜒 → (𝜒 ∧ ∃𝑚∃𝑝𝜏))
18		19.42vv 1986	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑚∃𝑝𝜏))
19	17, 18	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜒 → ∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏))
20	19	anim1i 626	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜂) → (∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
21		19.41vv 1979	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑚∃𝑝((𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂) ↔ (∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
22	20, 21	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜂) → ∃𝑚∃𝑝((𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
23		df-3an 1104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ↔ ((𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
24	23	2exbii 1878	. . . . 5 ⊢ (∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂) ↔ ∃𝑚∃𝑝((𝜒 ∧ 𝜏) ∧ 𝜂))
25	22, 24	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝜂) → ∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))
26	25	2eximi 1865	. . 3 ⊢ (∃𝑛∃𝑖(𝜒 ∧ 𝜂) → ∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))
27	14, 26	bnj593 35143	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))
28		19.37v 2026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
29	28	exbii 1877	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ∃𝑚(𝜃 → ∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
30	29	bnj132 35124	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
31	30	exbii 1877	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ∃𝑖(𝜃 → ∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
32	31	bnj132 35124	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
33	32	exbii 1877	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ∃𝑛(𝜃 → ∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
34	33	bnj132 35124	. . . 4 ⊢ (∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
35	34	exbii 1877	. . 3 ⊢ (∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ ∃𝑓(𝜃 → ∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
36	35	bnj132 35124	. 2 ⊢ (∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)) ↔ (𝜃 → ∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂)))
37	27, 36	mpbir 234	1 ⊢ ∃𝑓∃𝑛∃𝑖∃𝑚∃𝑝(𝜃 → (𝜒 ∧ 𝜏 ∧ 𝜂))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569  ∃wex 1808   ∈ wcel 2142  {cab 2740  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901  ∅c0 4285  {csn 4588  ∪ ciun 4955  suc csuc 6362   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  ωcom 7860   ∧ w-bnj17 35084   predc-bnj14 35086   FrSe w-bnj15 35090   trClc-bnj18 35092

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-tr 5218  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-fn 6539  df-om 7861  df-bnj17 35085  df-bnj18 35093

This theorem is used by:  bnj1021  35363