Theorem clatp1cl 32919

Description: The poset one of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatp1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clatp1cl.1	⊢ 1 = (1.‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clatp1cl	⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatp1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatp1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (lub‘𝑊) = (lub‘𝑊)
3		clatp1cl.1	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝑊)
4	1, 2, 3	p1val 18332	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 = ((lub‘𝑊)‘𝐵))
5		ssid 3958	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	1, 2	clatlubcl 18409	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CLat ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
7	5, 6	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
8	4, 7	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6482  Basecbs 17120  lubclub 18215  1.cp1 18328  CLatccla 18404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-lub 18250  df-glb 18251  df-p1 18330  df-clat 18405

This theorem is referenced by: (None)