Theorem clatp1cl 32698

Description: The poset one of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatp1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clatp1cl.1	⊢ 1 = (1.‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clatp1cl	⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatp1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatp1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2728	. . 3 ⊢ (lub‘𝑊) = (lub‘𝑊)
3		clatp1cl.1	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝑊)
4	1, 2, 3	p1val 18413	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 = ((lub‘𝑊)‘𝐵))
5		ssid 4000	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	1, 2	clatlubcl 18488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CLat ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
7	5, 6	mpan2 690	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
8	4, 7	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  lubclub 18294  1.cp1 18409  CLatccla 18483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-lub 18331  df-glb 18332  df-p1 18411  df-clat 18484

This theorem is referenced by: (None)