Theorem clatp1cl 32649

Description: The poset one of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatp1cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clatp1cl.1	⊢ 1 = (1.‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clatp1cl	⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatp1cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatp1cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (lub‘𝑊) = (lub‘𝑊)
3		clatp1cl.1	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝑊)
4	1, 2, 3	p1val 18390	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 = ((lub‘𝑊)‘𝐵))
5		ssid 3999	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	1, 2	clatlubcl 18465	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CLat ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
7	5, 6	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
8	4, 7	eqeltrd 2827	1 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 1 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943  ‘cfv 6536  Basecbs 17150  lubclub 18271  1.cp1 18386  CLatccla 18460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-lub 18308  df-glb 18309  df-p1 18388  df-clat 18461

This theorem is referenced by: (None)