Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clatp1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatp1cl 30974
Description: The poset one of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clatp1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
clatp1cl.1 1 = (1.‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
clatp1cl (𝑊 ∈ CLat → 1𝐵)

Proof of Theorem clatp1cl
StepHypRef Expression
1 clatp1cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2737 . . 3 (lub‘𝑊) = (lub‘𝑊)
3 clatp1cl.1 . . 3 1 = (1.‘𝑊)
41, 2, 3p1val 17934 . 2 (𝑊 ∈ CLat → 1 = ((lub‘𝑊)‘𝐵))
5 ssid 3923 . . 3 𝐵𝐵
61, 2clatlubcl 18009 . . 3 ((𝑊 ∈ CLat ∧ 𝐵𝐵) → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
75, 6mpan2 691 . 2 (𝑊 ∈ CLat → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
84, 7eqeltrd 2838 1 (𝑊 ∈ CLat → 1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2110  wss 3866  cfv 6380  Basecbs 16760  lubclub 17816  1.cp1 17930  CLatccla 18004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-lub 17852  df-glb 17853  df-p1 17932  df-clat 18005
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator