Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  clatp1cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatp1cl 31886
Description: The poset one of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clatp1cl.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
clatp1cl.1 1 = (1.‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
clatp1cl (𝑊 ∈ CLat → 1𝐵)

Proof of Theorem clatp1cl
StepHypRef Expression
1 clatp1cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2733 . . 3 (lub‘𝑊) = (lub‘𝑊)
3 clatp1cl.1 . . 3 1 = (1.‘𝑊)
41, 2, 3p1val 18322 . 2 (𝑊 ∈ CLat → 1 = ((lub‘𝑊)‘𝐵))
5 ssid 3967 . . 3 𝐵𝐵
61, 2clatlubcl 18397 . . 3 ((𝑊 ∈ CLat ∧ 𝐵𝐵) → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
75, 6mpan2 690 . 2 (𝑊 ∈ CLat → ((lub‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
84, 7eqeltrd 2834 1 (𝑊 ∈ CLat → 1𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911  cfv 6497  Basecbs 17088  lubclub 18203  1.cp1 18318  CLatccla 18392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-lub 18240  df-glb 18241  df-p1 18320  df-clat 18393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator