Theorem clatp0cl 33054

Description: The poset zero of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatp0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clatp0cl.0	⊢ 0 = (0.‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clatp0cl	⊢ (𝑊 ∈ CLat → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatp0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatp0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (glb‘𝑊) = (glb‘𝑊)
3		clatp0cl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝑊)
4	1, 2, 3	p0val 18385	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 0 = ((glb‘𝑊)‘𝐵))
5		ssid 3945	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	1, 2	clatglbcl 18465	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CLat ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((glb‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
7	5, 6	mpan2 692	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → ((glb‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
8	4, 7	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  glbcglb 18270  0.cp0 18381  CLatccla 18458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-lub 18304  df-glb 18305  df-p0 18383  df-clat 18459

This theorem is referenced by: (None)