Theorem clatp0cl 31254

Description: The poset zero of a complete lattice belongs to its base. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Feb-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatp0cl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
clatp0cl.0	⊢ 0 = (0.‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
clatp0cl	⊢ (𝑊 ∈ CLat → 0 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatp0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatp0cl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (glb‘𝑊) = (glb‘𝑊)
3		clatp0cl.0	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝑊)
4	1, 2, 3	p0val 18145	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 0 = ((glb‘𝑊)‘𝐵))
5		ssid 3943	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ 𝐵
6	1, 2	clatglbcl 18223	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ CLat ∧ 𝐵 ⊆ 𝐵) → ((glb‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
7	5, 6	mpan2 688	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → ((glb‘𝑊)‘𝐵) ∈ 𝐵)
8	4, 7	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝑊 ∈ CLat → 0 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  glbcglb 18028  0.cp0 18141  CLatccla 18216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-lub 18064  df-glb 18065  df-p0 18143  df-clat 18217

This theorem is referenced by: (None)