Theorem divcncff 46646

Description: The quotient of two continuous complex functions is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcncff.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
divcncff.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})))

Assertion

Ref	Expression
divcncff	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Proof of Theorem divcncff

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcncff.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ))
2		cncfrss 25087	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
3		cnex 11199	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	ssex 5296	. . . 4 ⊢ (𝑋 ⊆ ℂ → 𝑋 ∈ V)
5	1, 2, 4	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
6		cncff 25089	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
8	7	ffvelcdmda 7086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
9		divcncff.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})))
10		cncff 25089	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})) → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶(ℂ ∖ {0}))
12	11	ffvelcdmda 7086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ (ℂ ∖ {0}))
13	7	feqmptd 6956	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
14	11	feqmptd 6956	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
15	5, 8, 12, 13, 14	offval2 7707	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))))
16	13, 1	eqeltrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
17	14, 9	eqeltrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ (𝑋–cn→(ℂ ∖ {0})))
18	16, 17	divcncf 25643	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝐹‘𝑥) / (𝐺‘𝑥))) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
19	15, 18	eqeltrd 2866	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / 𝐺) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905   ⊆ wss 3908  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∘_f cof 7685  ℂcc 11116  0cc0 11118   / cdiv 11889  –cn→ccncf 25072

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195  ax-pre-sup 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7687  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-starv 17350  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-unif 17358  df-hom 17359  df-cco 17360  df-rest 17500  df-topn 17501  df-0g 17519  df-gsum 17520  df-topgen 17521  df-pt 17522  df-prds 17525  df-xrs 17581  df-qtop 17586  df-imas 17587  df-xps 17589  df-mre 17663  df-mrc 17664  df-acs 17666  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-submnd 18873  df-mulg 19165  df-cntz 19418  df-cmn 19883  df-psmet 21551  df-xmet 21552  df-met 21553  df-bl 21554  df-mopn 21555  df-cnfld 21560  df-top 23088  df-topon 23105  df-topsp 23127  df-bases 23140  df-cn 23421  df-cnp 23422  df-tx 23756  df-hmeo 23949  df-xms 24514  df-ms 24515  df-tms 24516  df-cncf 25074

This theorem is used by:  dvdivcncf  46682