Theorem cncfmpt2f 24833

Description: Composition of continuous functions. –cn→ analogue of cnmpt12f 23579. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfmpt2f.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
cncfmpt2f.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
cncfmpt2f.3	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
cncfmpt2f.4	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Assertion

Ref	Expression
cncfmpt2f	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝜑,𝑥   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem cncfmpt2f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfmpt2f.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2	1	cnfldtopon 24695	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ)
3		cncfmpt2f.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
4		cncfrss 24809	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ (𝑋–cn→ℂ) → 𝑋 ⊆ ℂ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
6		resttopon 23074	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐽 ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
7	2, 5, 6	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ↾t 𝑋) ∈ (TopOn‘𝑋))
8		ssid 3957	. . . . 5 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ↾t 𝑋) = (𝐽 ↾t 𝑋)
10	2	toponrestid 22834	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐽 ↾t ℂ)
11	1, 9, 10	cncfcn 24828	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑋–cn→ℂ) = ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
12	5, 8, 11	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋–cn→ℂ) = ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
13	3, 12	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐴) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
14		cncfmpt2f.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ (𝑋–cn→ℂ))
15	14, 12	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ 𝐵) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
16		cncfmpt2f.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽))
17	7, 13, 15, 16	cnmpt12f 23579	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ ((𝐽 ↾t 𝑋) Cn 𝐽))
18	17, 12	eleqtrrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐴𝐹𝐵)) ∈ (𝑋–cn→ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11001   ↾_t crest 17321  TopOpenctopn 17322  ℂ_fldccnfld 21289  TopOnctopon 22823   Cn ccn 23137   ×_t ctx 23473  –cn→ccncf 24794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-xneg 13008  df-xadd 13009  df-xmul 13010  df-fz 13405  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-rest 17323  df-topn 17324  df-topgen 17344  df-psmet 21281  df-xmet 21282  df-met 21283  df-bl 21284  df-mopn 21285  df-cnfld 21290  df-top 22807  df-topon 22824  df-topsp 22846  df-bases 22859  df-cn 23140  df-cnp 23141  df-tx 23475  df-xms 24233  df-ms 24234  df-cncf 24796

This theorem is referenced by:  cncfmpt2ss  24834  addccncf  24835  sub1cncf  24837  sub2cncf  24838  negcncf  24840  negcncfOLD  24841  addcncf  25369  subcncf  25370  mulcncfOLD  25372  dvcnp2OLD  25847  dvlipcn  25924  dvfsumabs  25954  ftc2  25976  itgparts  25979  taylthlem2  26307  taylthlem2OLD  26308  sincn  26379  coscn  26380  logcn  26581  loglesqrt  26696  lgamgulmlem2  26965  pntlem3  27545  logdivsqrle  34658  ftc1cnnclem  37730  ftc2nc  37741  areacirclem4  37750  areaquad  43248