Theorem cncombf 24261

Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncombf	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem cncombf

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ))
2		cncff 23503	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
4		simp2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fco 6533	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
6	3, 4, 5	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
7	4	fdmd 6525	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
8		mbfdm 24229	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	8	3ad2ant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	7, 9	eqeltrrd 2916	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
11		mblss 24134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		cnex 10620	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14		reex 10630	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
15		elpm2r 8426	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
16	13, 14, 15	mpanl12 700	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
17	6, 12, 16	syl2anc 586	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
18		coeq1 5730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19		coass 6120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
20	18, 19	syl6eq 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
21	20	cnveqd 5748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
22	21	imaeq1d 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
23	22	eleq1d 2899	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
24		cnvco 5758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝑔)
25	24	imaeq1i 5928	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥)
26		imaco 6106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
27	25, 26	eqtri 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
28		simplll 773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
29		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
30		cncfrss 23501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
31	30	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
32		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ))
33		ax-resscn 10596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35		eqid 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)
36	34	tgioo2 23413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
37	34, 35, 36	cncfcn 23519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
38	31, 33, 37	sylancl 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
39	32, 38	eleqtrd 2917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
40		retopbas 23371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
41		bastg 21576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
43		simplr 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ ran (,))
44	42, 43	sseldi 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
45		cnima 21875	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
46	39, 44, 45	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
47	34, 35	mbfimaopn2 24260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
48	28, 29, 31, 46, 47	syl31anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
49	27, 48	eqeltrid 2919	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
50	49	ralrimiva 3184	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
51	50	3adantl3 1164	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
52		recncf 23512	. . . . . . . 8 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
54	1, 53	cncfco 23517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
55	54	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
56	23, 51, 55	rspcdva 3627	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
57		coeq1 5730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58		coass 6120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
59	57, 58	syl6eq 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
60	59	cnveqd 5748	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
61	60	imaeq1d 5930	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
62	61	eleq1d 2899	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
63		imcncf 23513	. . . . . . . 8 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
65	1, 64	cncfco 23517	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
66	65	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
67	62, 51, 66	rspcdva 3627	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
68	56, 67	jca 514	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
69	68	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
70		ismbf1 24227	. 2 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
71	17, 69, 70	sylanbrc 585	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496   ⊆ wss 3938  ^◡ccnv 5556  dom cdm 5557  ran crn 5558   “ cima 5560   ∘ ccom 5561  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_pm cpm 8409  ℂcc 10537  ℝcr 10538  (,)cioo 12741  ℜcre 14458  ℑcim 14459   ↾_t crest 16696  TopOpenctopn 16697  topGenctg 16713  ℂ_fldccnfld 20547  TopBasesctb 21555   Cn ccn 21834  –cn→ccncf 23486  volcvol 24066  MblFncmbf 24217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-mbf 24222

This theorem is referenced by:  iblabslem  24430  iblabs  24431  bddmulibl  24441