Theorem cncombf 25712

Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncombf	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem cncombf

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ))
2		cncff 24938	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
4		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fco 6771	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
7	4	fdmd 6757	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
8		mbfdm 25680	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	7, 9	eqeltrrd 2845	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
11		mblss 25585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		cnex 11265	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14		reex 11275	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
15		elpm2r 8903	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
16	13, 14, 15	mpanl12 701	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
17	6, 12, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
18		coeq1 5882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19		coass 6296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
20	18, 19	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
21	20	cnveqd 5900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
22	21	imaeq1d 6088	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
23	22	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
24		cnvco 5910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝑔)
25	24	imaeq1i 6086	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥)
26		imaco 6282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
27	25, 26	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
28		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
29		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
30		cncfrss 24936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ))
33		ax-resscn 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)
36	34	tgioo2 24844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
37	34, 35, 36	cncfcn 24955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
38	31, 33, 37	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
39	32, 38	eleqtrd 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
40		retopbas 24802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
41		bastg 22994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
43		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ ran (,))
44	42, 43	sselid 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
45		cnima 23294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
46	39, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
47	34, 35	mbfimaopn2 25711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
48	28, 29, 31, 46, 47	syl31anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
49	27, 48	eqeltrid 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
50	49	ralrimiva 3152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
51	50	3adantl3 1168	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
52		recncf 24947	. . . . . . . 8 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
54	1, 53	cncfco 24952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
56	23, 51, 55	rspcdva 3636	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
57		coeq1 5882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58		coass 6296	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
59	57, 58	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
60	59	cnveqd 5900	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
61	60	imaeq1d 6088	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
62	61	eleq1d 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
63		imcncf 24948	. . . . . . . 8 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
65	1, 64	cncfco 24952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
67	62, 51, 66	rspcdva 3636	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
68	56, 67	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
69	68	ralrimiva 3152	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
70		ismbf1 25678	. 2 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
71	17, 69, 70	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703   ∘ ccom 5704  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_pm cpm 8885  ℂcc 11182  ℝcr 11183  (,)cioo 13407  ℜcre 15146  ℑcim 15147   ↾_t crest 17480  TopOpenctopn 17481  topGenctg 17497  ℂ_fldccnfld 21387  TopBasesctb 22973   Cn ccn 23253  –cn→ccncf 24921  volcvol 25517  MblFncmbf 25668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673

This theorem is referenced by:  iblabslem  25883  iblabs  25884  bddmulibl  25894