MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncombf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncombf 24928
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ))
2 cncff 24162 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
4 simp2 1137 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐹:𝐴𝐵)
5 fco 6680 . . . 4 ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
63, 4, 5syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
74fdmd 6667 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
8 mbfdm 24896 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
983ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
107, 9eqeltrrd 2839 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
11 mblss 24801 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 cnex 11058 . . . 4 ℂ ∈ V
14 reex 11068 . . . 4 ℝ ∈ V
15 elpm2r 8709 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
1613, 14, 15mpanl12 700 . . 3 (((𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
176, 12, 16syl2anc 585 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
18 coeq1 5804 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19 coass 6208 . . . . . . . . 9 ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹))
2018, 19eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹)))
2120cnveqd 5822 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹)))
2221imaeq1d 6003 . . . . . 6 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥))
2322eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
24 cnvco 5832 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝐹) = (𝐹𝑔)
2524imaeq1i 6001 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((𝐹𝑔) “ 𝑥)
26 imaco 6194 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑔) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝑔𝑥))
2725, 26eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝑔𝑥))
28 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
29 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐹:𝐴𝐵)
30 cncfrss 24160 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3130adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
32 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ))
33 ax-resscn 11034 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)
3634tgioo2 24072 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3734, 35, 36cncfcn 24179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐵cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
3831, 33, 37sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝐵cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
3932, 38eleqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
40 retopbas 24030 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) ∈ TopBases
41 bastg 22222 . . . . . . . . . . . 12 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
43 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ ran (,))
4442, 43sselid 3934 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
45 cnima 22522 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
4639, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
4734, 35mbfimaopn2 24927 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)) → (𝐹 “ (𝑔𝑥)) ∈ dom vol)
4828, 29, 31, 46, 47syl31anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝐹 “ (𝑔𝑥)) ∈ dom vol)
4927, 48eqeltrid 2842 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
5049ralrimiva 3140 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
51503adantl3 1168 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
52 recncf 24171 . . . . . . . 8 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
5352a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
541, 53cncfco 24176 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
5554adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
5623, 51, 55rspcdva 3575 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
57 coeq1 5804 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58 coass 6208 . . . . . . . . 9 ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹))
5957, 58eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹)))
6059cnveqd 5822 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹)))
6160imaeq1d 6003 . . . . . 6 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥))
6261eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
63 imcncf 24172 . . . . . . . 8 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
651, 64cncfco 24176 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
6665adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
6762, 51, 66rspcdva 3575 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
6856, 67jca 513 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
6968ralrimiva 3140 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
70 ismbf1 24894 . 2 ((𝐺𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
7117, 69, 70sylanbrc 584 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  Vcvv 3442  wss 3902  ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626  cima 5628  ccom 5629  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  pm cpm 8692  cc 10975  cr 10976  (,)cioo 13185  cre 14908  cim 14909  t crest 17229  TopOpenctopn 17230  topGenctg 17246  fldccnfld 20703  TopBasesctb 22201   Cn ccn 22481  cnccncf 24145  volcvol 24733  MblFncmbf 24884
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cc 10297  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5063  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-omul 8377  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-dju 9763  df-card 9801  df-acn 9804  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-seq 13828  df-exp 13889  df-hash 14151  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-ovol 24734  df-vol 24735  df-mbf 24889
This theorem is referenced by:  iblabslem  25098  iblabs  25099  bddmulibl  25109
  Copyright terms: Public domain W3C validator