Theorem cncombf 25627

Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncombf	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem cncombf

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ))
2		cncff 24854	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
4		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fco 6694	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
6	3, 4, 5	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
7	4	fdmd 6680	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
8		mbfdm 25595	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	7, 9	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
11		mblss 25500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		cnex 11119	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14		reex 11129	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
15		elpm2r 8794	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
16	13, 14, 15	mpanl12 703	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
17	6, 12, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
18		coeq1 5814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19		coass 6232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
20	18, 19	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
21	20	cnveqd 5832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
22	21	imaeq1d 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
23	22	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
24		cnvco 5842	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝑔)
25	24	imaeq1i 6024	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥)
26		imaco 6217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
27	25, 26	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
28		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
29		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
30		cncfrss 24852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ))
33		ax-resscn 11095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)
36		tgioo4 24761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
37	34, 35, 36	cncfcn 24871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
38	31, 33, 37	sylancl 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
39	32, 38	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
40		retopbas 24716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
41		bastg 22922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
43		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ ran (,))
44	42, 43	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
45		cnima 23221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
46	39, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
47	34, 35	mbfimaopn2 25626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
48	28, 29, 31, 46, 47	syl31anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
49	27, 48	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
50	49	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
51	50	3adantl3 1170	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
52		recncf 24863	. . . . . . . 8 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
54	1, 53	cncfco 24868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
56	23, 51, 55	rspcdva 3579	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
57		coeq1 5814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58		coass 6232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
59	57, 58	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
60	59	cnveqd 5832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
61	60	imaeq1d 6026	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
62	61	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
63		imcncf 24864	. . . . . . . 8 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
65	1, 64	cncfco 24868	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
67	62, 51, 66	rspcdva 3579	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
68	56, 67	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
69	68	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
70		ismbf1 25593	. 2 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
71	17, 69, 70	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633   “ cima 5635   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_pm cpm 8776  ℂcc 11036  ℝcr 11037  (,)cioo 13273  ℜcre 15032  ℑcim 15033   ↾_t crest 17352  TopOpenctopn 17353  topGenctg 17369  ℂ_fldccnfld 21321  TopBasesctb 22901   Cn ccn 23180  –cn→ccncf 24837  volcvol 25432  MblFncmbf 25583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588

This theorem is referenced by:  iblabslem  25797  iblabs  25798  bddmulibl  25808