MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncombf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncombf 25508
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Proof of Theorem cncombf
Dummy variables π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24734 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„‚)
4 simp2 1136 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
5 fco 6741 . . . 4 ((𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
63, 4, 5syl2anc 583 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
74fdmd 6728 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
8 mbfdm 25476 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
983ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
107, 9eqeltrrd 2833 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
11 mblss 25381 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
13 cnex 11197 . . . 4 β„‚ ∈ V
14 reex 11207 . . . 4 ℝ ∈ V
15 elpm2r 8845 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
1613, 14, 15mpanl12 699 . . 3 (((𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
176, 12, 16syl2anc 583 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
18 coeq1 5857 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ (𝑔 ∘ 𝐹) = ((β„œ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19 coass 6264 . . . . . . . . 9 ((β„œ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
2018, 19eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ (𝑔 ∘ 𝐹) = (β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
2120cnveqd 5875 . . . . . . 7 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) = β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
2221imaeq1d 6058 . . . . . 6 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯))
2322eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ ((β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
24 cnvco 5885 . . . . . . . . . 10 β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ ◑𝑔)
2524imaeq1i 6056 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = ((◑𝐹 ∘ ◑𝑔) β€œ π‘₯)
26 imaco 6250 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 ∘ ◑𝑔) β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (◑𝑔 β€œ π‘₯))
2725, 26eqtri 2759 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (◑𝑔 β€œ π‘₯))
28 simplll 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
29 simpllr 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
30 cncfrss 24732 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
3130adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
32 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ))
33 ax-resscn 11173 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
34 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
35 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡)
3634tgioo2 24640 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3734, 35, 36cncfcn 24751 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝐡–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
3831, 33, 37sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ (𝐡–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
3932, 38eleqtrd 2834 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝑔 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
40 retopbas 24598 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) ∈ TopBases
41 bastg 22790 . . . . . . . . . . . 12 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
43 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ π‘₯ ∈ ran (,))
4442, 43sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
45 cnima 23090 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (◑𝑔 β€œ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡))
4639, 44, 45syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ (◑𝑔 β€œ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡))
4734, 35mbfimaopn2 25507 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ (◑𝑔 β€œ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝑔 β€œ π‘₯)) ∈ dom vol)
4828, 29, 31, 46, 47syl31anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝑔 β€œ π‘₯)) ∈ dom vol)
4927, 48eqeltrid 2836 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
5049ralrimiva 3145 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐡–cn→ℝ)(β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
51503adantl3 1167 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐡–cn→ℝ)(β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
52 recncf 24743 . . . . . . . 8 β„œ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
5352a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ β„œ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
541, 53cncfco 24748 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (β„œ ∘ 𝐺) ∈ (𝐡–cn→ℝ))
5554adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β„œ ∘ 𝐺) ∈ (𝐡–cn→ℝ))
5623, 51, 55rspcdva 3613 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
57 coeq1 5857 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ (𝑔 ∘ 𝐹) = ((β„‘ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58 coass 6264 . . . . . . . . 9 ((β„‘ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
5957, 58eqtrdi 2787 . . . . . . . 8 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ (𝑔 ∘ 𝐹) = (β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
6059cnveqd 5875 . . . . . . 7 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) = β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
6160imaeq1d 6058 . . . . . 6 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯))
6261eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ ((β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
63 imcncf 24744 . . . . . . . 8 β„‘ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ β„‘ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
651, 64cncfco 24748 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (β„‘ ∘ 𝐺) ∈ (𝐡–cn→ℝ))
6665adantr 480 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β„‘ ∘ 𝐺) ∈ (𝐡–cn→ℝ))
6762, 51, 66rspcdva 3613 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
6856, 67jca 511 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
6968ralrimiva 3145 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
70 ismbf1 25474 . 2 ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
7117, 69, 70sylanbrc 582 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑pm cpm 8827  β„‚cc 11114  β„cr 11115  (,)cioo 13331  β„œcre 15051  β„‘cim 15052   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  topGenctg 17390  β„‚fldccnfld 21234  TopBasesctb 22769   Cn ccn 23049  β€“cnβ†’ccncf 24717  volcvol 25313  MblFncmbf 25464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cc 10436  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-ovol 25314  df-vol 25315  df-mbf 25469
This theorem is referenced by:  iblabslem  25678  iblabs  25679  bddmulibl  25689
  Copyright terms: Public domain W3C validator