MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncombf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cncombf 25167
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Proof of Theorem cncombf
Dummy variables π‘₯ 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1139 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚))
2 cncff 24401 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚) β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐺:π΅βŸΆβ„‚)
4 simp2 1138 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
5 fco 6739 . . . 4 ((𝐺:π΅βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
63, 4, 5syl2anc 585 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
74fdmd 6726 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
8 mbfdm 25135 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
983ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
107, 9eqeltrrd 2835 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
11 mblss 25040 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
13 cnex 11188 . . . 4 β„‚ ∈ V
14 reex 11198 . . . 4 ℝ ∈ V
15 elpm2r 8836 . . . 4 (((β„‚ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
1613, 14, 15mpanl12 701 . . 3 (((𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚ ∧ 𝐴 βŠ† ℝ) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
176, 12, 16syl2anc 585 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ))
18 coeq1 5856 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ (𝑔 ∘ 𝐹) = ((β„œ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19 coass 6262 . . . . . . . . 9 ((β„œ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
2018, 19eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ (𝑔 ∘ 𝐹) = (β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
2120cnveqd 5874 . . . . . . 7 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) = β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
2221imaeq1d 6057 . . . . . 6 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯))
2322eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑔 = (β„œ ∘ 𝐺) β†’ ((β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
24 cnvco 5884 . . . . . . . . . 10 β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) = (◑𝐹 ∘ ◑𝑔)
2524imaeq1i 6055 . . . . . . . . 9 (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = ((◑𝐹 ∘ ◑𝑔) β€œ π‘₯)
26 imaco 6248 . . . . . . . . 9 ((◑𝐹 ∘ ◑𝑔) β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (◑𝑔 β€œ π‘₯))
2725, 26eqtri 2761 . . . . . . . 8 (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (◑𝐹 β€œ (◑𝑔 β€œ π‘₯))
28 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
29 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
30 cncfrss 24399 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
3130adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝐡 βŠ† β„‚)
32 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ))
33 ax-resscn 11164 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† β„‚
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
35 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡)
3634tgioo2 24311 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
3734, 35, 36cncfcn 24418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝐡–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
3831, 33, 37sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ (𝐡–cn→ℝ) = (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
3932, 38eleqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ 𝑔 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
40 retopbas 24269 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) ∈ TopBases
41 bastg 22461 . . . . . . . . . . . 12 (ran (,) ∈ TopBases β†’ ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) βŠ† (topGenβ€˜ran (,))
43 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ π‘₯ ∈ ran (,))
4442, 43sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
45 cnima 22761 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡) Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ π‘₯ ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (◑𝑔 β€œ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡))
4639, 44, 45syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ (◑𝑔 β€œ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡))
4734, 35mbfimaopn2 25166 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐡 βŠ† β„‚) ∧ (◑𝑔 β€œ π‘₯) ∈ ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt 𝐡)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝑔 β€œ π‘₯)) ∈ dom vol)
4828, 29, 31, 46, 47syl31anc 1374 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ (◑𝐹 β€œ (◑𝑔 β€œ π‘₯)) ∈ dom vol)
4927, 48eqeltrid 2838 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐡–cn→ℝ)) β†’ (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
5049ralrimiva 3147 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐡–cn→ℝ)(β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
51503adantl3 1169 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ βˆ€π‘” ∈ (𝐡–cn→ℝ)(β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
52 recncf 24410 . . . . . . . 8 β„œ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
5352a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ β„œ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
541, 53cncfco 24415 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (β„œ ∘ 𝐺) ∈ (𝐡–cn→ℝ))
5554adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β„œ ∘ 𝐺) ∈ (𝐡–cn→ℝ))
5623, 51, 55rspcdva 3614 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
57 coeq1 5856 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ (𝑔 ∘ 𝐹) = ((β„‘ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58 coass 6262 . . . . . . . . 9 ((β„‘ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
5957, 58eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ (𝑔 ∘ 𝐹) = (β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
6059cnveqd 5874 . . . . . . 7 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) = β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
6160imaeq1d 6057 . . . . . 6 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ (β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) = (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯))
6261eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑔 = (β„‘ ∘ 𝐺) β†’ ((β—‘(𝑔 ∘ 𝐹) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ↔ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
63 imcncf 24411 . . . . . . . 8 β„‘ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ β„‘ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
651, 64cncfco 24415 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (β„‘ ∘ 𝐺) ∈ (𝐡–cn→ℝ))
6665adantr 482 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β„‘ ∘ 𝐺) ∈ (𝐡–cn→ℝ))
6762, 51, 66rspcdva 3614 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)
6856, 67jca 513 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) ∧ π‘₯ ∈ ran (,)) β†’ ((β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
6968ralrimiva 3147 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol))
70 ismbf1 25133 . 2 ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (β„‚ ↑pm ℝ) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran (,)((β—‘(β„œ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol ∧ (β—‘(β„‘ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) β€œ π‘₯) ∈ dom vol)))
7117, 69, 70sylanbrc 584 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐡 ∧ 𝐺 ∈ (𝐡–cnβ†’β„‚)) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑pm cpm 8818  β„‚cc 11105  β„cr 11106  (,)cioo 13321  β„œcre 15041  β„‘cim 15042   β†Ύt crest 17363  TopOpenctopn 17364  topGenctg 17380  β„‚fldccnfld 20937  TopBasesctb 22440   Cn ccn 22720  β€“cnβ†’ccncf 24384  volcvol 24972  MblFncmbf 25123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128
This theorem is referenced by:  iblabslem  25337  iblabs  25338  bddmulibl  25348
  Copyright terms: Public domain W3C validator