Theorem cncombf 25798

Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncombf	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem cncombf

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ))
2		cncff 25033	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
4		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fco 6732	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
6	3, 4, 5	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
7	4	fdmd 6718	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
8		mbfdm 25766	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	7, 9	eqeltrrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
11		mblss 25671	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		cnex 11182	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14		reex 11192	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
15		elpm2r 8843	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
16	13, 14, 15	mpanl12 714	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
17	6, 12, 16	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
18		coeq1 5845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19		coass 6269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
20	18, 19	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
21	20	cnveqd 5863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
22	21	imaeq1d 6063	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
23	22	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
24		cnvco 5877	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝑔)
25	24	imaeq1i 6061	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥)
26		imaco 6254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
27	25, 26	eqtri 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
28		simplll 786	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
29		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
30		cncfrss 25031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
31	30	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
32		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ))
33		ax-resscn 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)
36		tgioo4 24943	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
37	34, 35, 36	cncfcn 25050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
38	31, 33, 37	sylancl 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
39	32, 38	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
40		retopbas 24898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
41		bastg 23104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
43		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ ran (,))
44	42, 43	sselid 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
45		cnima 23403	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
46	39, 44, 45	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
47	34, 35	mbfimaopn2 25797	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
48	28, 29, 31, 46, 47	syl31anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
49	27, 48	eqeltrid 2867	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
50	49	ralrimiva 3157	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
51	50	3adantl3 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
52		recncf 25042	. . . . . . . 8 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
54	1, 53	cncfco 25047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
55	54	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
56	23, 51, 55	rspcdva 3583	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
57		coeq1 5845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58		coass 6269	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
59	57, 58	eqtrdi 2814	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
60	59	cnveqd 5863	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
61	60	imaeq1d 6063	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
62	61	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
63		imcncf 25043	. . . . . . . 8 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
65	1, 64	cncfco 25047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
66	65	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
67	62, 51, 66	rspcdva 3583	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
68	56, 67	jca 520	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
69	68	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
70		ismbf1 25764	. 2 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
71	17, 69, 70	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455   ⊆ wss 3906  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666   ∘ ccom 5667  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ↑_pm cpm 8826  ℂcc 11099  ℝcr 11100  (,)cioo 13373  ℜcre 15150  ℑcim 15151   ↾_t crest 17474  TopOpenctopn 17475  topGenctg 17491  ℂ_fldccnfld 21503  TopBasesctb 23083   Cn ccn 23362  –cn→ccncf 25016  volcvol 25603  MblFncmbf 25754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-dju 9888  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-ovol 25604  df-vol 25605  df-mbf 25759

This theorem is referenced by:  iblabslem  25968  iblabs  25969  bddmulibl  25979