Theorem cncombf 24727

Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncombf	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem cncombf

Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ))
2		cncff 23962	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
4		simp2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
5		fco 6608	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
7	4	fdmd 6595	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
8		mbfdm 24695	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	8	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	7, 9	eqeltrrd 2840	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
11		mblss 24600	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13		cnex 10883	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
14		reex 10893	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
15		elpm2r 8591	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
16	13, 14, 15	mpanl12 698	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
17	6, 12, 16	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
18		coeq1 5755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19		coass 6158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
20	18, 19	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
21	20	cnveqd 5773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
22	21	imaeq1d 5957	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
23	22	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
24		cnvco 5783	. . . . . . . . . 10 ⊢ ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ ◡𝑔)
25	24	imaeq1i 5955	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥)
26		imaco 6144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐹 ∘ ◡𝑔) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
27	25, 26	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥))
28		simplll 771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
29		simpllr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
30		cncfrss 23960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
32		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ))
33		ax-resscn 10859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
34		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)
36	34	tgioo2 23872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
37	34, 35, 36	cncfcn 23979	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
38	31, 33, 37	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (𝐵–cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
39	32, 38	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
40		retopbas 23830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ran (,) ∈ TopBases
41		bastg 22024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
43		simplr 765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ ran (,))
44	42, 43	sselid 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
45		cnima 22324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
46	39, 44, 45	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
47	34, 35	mbfimaopn2 24726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) ∧ (◡𝑔 “ 𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
48	28, 29, 31, 46, 47	syl31anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡𝐹 “ (◡𝑔 “ 𝑥)) ∈ dom vol)
49	27, 48	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
50	49	ralrimiva 3107	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
51	50	3adantl3 1166	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵–cn→ℝ)(◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
52		recncf 23971	. . . . . . . 8 ⊢ ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
54	1, 53	cncfco 23976	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
56	23, 51, 55	rspcdva 3554	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
57		coeq1 5755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58		coass 6158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹))
59	57, 58	eqtrdi 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔 ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
60	59	cnveqd 5773	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ◡(𝑔 ∘ 𝐹) = ◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)))
61	60	imaeq1d 5957	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) = (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥))
62	61	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ((◡(𝑔 ∘ 𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
63		imcncf 23972	. . . . . . . 8 ⊢ ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
65	1, 64	cncfco 23976	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵–cn→ℝ))
67	62, 51, 66	rspcdva 3554	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
68	56, 67	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
69	68	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
70		ismbf1 24693	. 2 ⊢ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺 ∘ 𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)((◡(ℜ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ (◡(ℑ ∘ (𝐺 ∘ 𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
71	17, 69, 70	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐺 ∈ (𝐵–cn→ℂ)) → (𝐺 ∘ 𝐹) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ^◡ccnv 5579  dom cdm 5580  ran crn 5581   “ cima 5583   ∘ ccom 5584  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_pm cpm 8574  ℂcc 10800  ℝcr 10801  (,)cioo 13008  ℜcre 14736  ℑcim 14737   ↾_t crest 17048  TopOpenctopn 17049  topGenctg 17065  ℂ_fldccnfld 20510  TopBasesctb 22003   Cn ccn 22283  –cn→ccncf 23945  volcvol 24532  MblFncmbf 24683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-disj 5036  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-ovol 24533  df-vol 24534  df-mbf 24688

This theorem is referenced by:  iblabslem  24897  iblabs  24898  bddmulibl  24908