MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cncombf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncombf 24265
Description: The composition of a continuous function with a measurable function is measurable. (More generally, 𝐺 can be a Borel-measurable function, but notably the condition that 𝐺 be only measurable is too weak, the usual counterexample taking 𝐺 to be the Cantor function and 𝐹 the indicator function of the 𝐺-image of a nonmeasurable set, which is a subset of the Cantor set and hence null and measurable.) (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncombf ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ MblFn)

Proof of Theorem cncombf
Dummy variables 𝑥 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ))
2 cncff 23501 . . . . 5 (𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐺:𝐵⟶ℂ)
4 simp2 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐹:𝐴𝐵)
5 fco 6509 . . . 4 ((𝐺:𝐵⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
63, 4, 5syl2anc 587 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
74fdmd 6501 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → dom 𝐹 = 𝐴)
8 mbfdm 24233 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
983ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
107, 9eqeltrrd 2894 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐴 ∈ dom vol)
11 mblss 24138 . . . 4 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
1210, 11syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 cnex 10611 . . . 4 ℂ ∈ V
14 reex 10621 . . . 4 ℝ ∈ V
15 elpm2r 8411 . . . 4 (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ ((𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
1613, 14, 15mpanl12 701 . . 3 (((𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
176, 12, 16syl2anc 587 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
18 coeq1 5696 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
19 coass 6089 . . . . . . . . 9 ((ℜ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹))
2018, 19eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹)))
2120cnveqd 5714 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℜ ∘ (𝐺𝐹)))
2221imaeq1d 5899 . . . . . 6 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥))
2322eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑔 = (ℜ ∘ 𝐺) → (((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
24 cnvco 5724 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝐹) = (𝐹𝑔)
2524imaeq1i 5897 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((𝐹𝑔) “ 𝑥)
26 imaco 6075 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑔) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝑔𝑥))
2725, 26eqtri 2824 . . . . . . . 8 ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = (𝐹 “ (𝑔𝑥))
28 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐹 ∈ MblFn)
29 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐹:𝐴𝐵)
30 cncfrss 23499 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ) → 𝐵 ⊆ ℂ)
3130adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝐵 ⊆ ℂ)
32 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ))
33 ax-resscn 10587 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
34 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
35 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)
3634tgioo2 23411 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
3734, 35, 36cncfcn 23518 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐵cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
3831, 33, 37sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝐵cn→ℝ) = (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
3932, 38eleqtrd 2895 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))))
40 retopbas 23369 . . . . . . . . . . . 12 ran (,) ∈ TopBases
41 bastg 21574 . . . . . . . . . . . 12 (ran (,) ∈ TopBases → ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,)))
4240, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran (,) ⊆ (topGen‘ran (,))
43 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ ran (,))
4442, 43sseldi 3916 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,)))
45 cnima 21873 . . . . . . . . . 10 ((𝑔 ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑥 ∈ (topGen‘ran (,))) → (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
4639, 44, 45syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵))
4734, 35mbfimaopn2 24264 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℂ) ∧ (𝑔𝑥) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝐵)) → (𝐹 “ (𝑔𝑥)) ∈ dom vol)
4828, 29, 31, 46, 47syl31anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → (𝐹 “ (𝑔𝑥)) ∈ dom vol)
4927, 48eqeltrid 2897 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) ∧ 𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
5049ralrimiva 3152 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
51503adantl3 1165 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ∀𝑔 ∈ (𝐵cn→ℝ)((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol)
52 recncf 23510 . . . . . . . 8 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
5352a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
541, 53cncfco 23515 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
5554adantr 484 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℜ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
5623, 51, 55rspcdva 3576 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
57 coeq1 5696 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹))
58 coass 6089 . . . . . . . . 9 ((ℑ ∘ 𝐺) ∘ 𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹))
5957, 58eqtrdi 2852 . . . . . . . 8 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹)))
6059cnveqd 5714 . . . . . . 7 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (𝑔𝐹) = (ℑ ∘ (𝐺𝐹)))
6160imaeq1d 5899 . . . . . 6 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → ((𝑔𝐹) “ 𝑥) = ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥))
6261eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑔 = (ℑ ∘ 𝐺) → (((𝑔𝐹) “ 𝑥) ∈ dom vol ↔ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
63 imcncf 23511 . . . . . . . 8 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ))
651, 64cncfco 23515 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
6665adantr 484 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (ℑ ∘ 𝐺) ∈ (𝐵cn→ℝ))
6762, 51, 66rspcdva 3576 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)
6856, 67jca 515 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) ∧ 𝑥 ∈ ran (,)) → (((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
6968ralrimiva 3152 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol))
70 ismbf1 24231 . 2 ((𝐺𝐹) ∈ MblFn ↔ ((𝐺𝐹) ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∀𝑥 ∈ ran (,)(((ℜ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol ∧ ((ℑ ∘ (𝐺𝐹)) “ 𝑥) ∈ dom vol)))
7117, 69, 70sylanbrc 586 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:𝐴𝐵𝐺 ∈ (𝐵cn→ℂ)) → (𝐺𝐹) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  Vcvv 3444  wss 3884  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cima 5526  ccom 5527  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  pm cpm 8394  cc 10528  cr 10529  (,)cioo 12730  cre 14451  cim 14452  t crest 16689  TopOpenctopn 16690  topGenctg 16706  fldccnfld 20094  TopBasesctb 21553   Cn ccn 21832  cnccncf 23484  volcvol 24070  MblFncmbf 24221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226
This theorem is referenced by:  iblabslem  24434  iblabs  24435  bddmulibl  24445
  Copyright terms: Public domain W3C validator